Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Произведение двух таких пэр, по определению, положим равным (аь Ь|) (аь Ьз) = (а~аз, Ь!Ьт). Легко видеть, что множество 6 пэр (а, Ь) с тэк определенным умно. жеинем ивлиетсэ г р у п и о й, единицей которой служит пара (аь, Ь,), где аь — единица группы А, в Ьг — единица группы В. Множество 6, й э! классы соппяжкнных алимвнтов гриппы 297 пар вида (а, Ь,) образует в О и о д г р у и и у, и з о м о р ф н у ю, очевидно, группе А, а множество 6о пар вида (аь Ь) — подгруппу, изоморфную В. Покажем, что группа 6 является прямым произведением своих подгрупп Оо и Оо. Действительно, пересечение подгрупп 6~ и 6, состоит толька из единицы — пары (а,, Ь,), Каждый элемент (а, Ь) из 6 является ароизведением элемента (а, Ь,) из 6, и элемента (ао, Ь) из Оз. Наконец, каждая из подгрупп Оо и Оо является в О н о р м а л ь н о й подгруппой.
Покажем это, например, для Оь Рассмотрим произведение е-'(а', Ьо)е, где в = (а, Ь)— произвольный элемент из О, а (а', Ь,) принадлежит Оь Мы имеем, очевидно, а-'(а', Ь ) е (а, Ь) '(а', Ь ) (а, Ь) (а ', Ь ') (а', Ьо) (а, Ь) = (а 'а'а, Ьо) ов Ои и значит, подгрупна О, — нормальная. Так, например, прямое произведение А Х В двух циклических групп А = (еь а) и В (ео, Ь) второго порядка состоит из четырех элементов е (еь ео) а = (а, ео), Ь = (еь Ь), аЬ = (а, Ь). Легко видеть, что эта группа изоморфна клейновской грузие У четвертого порядка. Прямое произведение циклической группы а = (еь а) второго порядка и циклической группы В = (е„ Ь, Ьо) третьего порядка состоит нз элементов е = (еь ео), а = (а, ео), Ь = (еь Ь), аЬ = (а, Ь), Ь' = (еь Ь'), аЬ'= (а, Ь') н является циклической группой шестого порядка, так нак, например, (аЬ)' = Ь', (ль)' = а, (аЬ)' = Ь, (оЬ)' = аЬ', (аЬ)о = е, $9.
Классы сопряженных элементов группы О п р е д е л е н и е 6. Пусть б — произвольная (для определенности, мультипликативная) груляа и а — один из ее элементов, Каждый элемент Ь вида й-'ад, еде денб, называется сопряженным с а. (Условимся писать в этом случае Ь а.) Говорят еще, что элемент Ь получается трансформированием элемента а с помощью элемента х, Отметим следующие свойства отношения сопряженности ж: 1, Каждый элемент сопряжен самому себе, а ж а (рефлексив ность отношения ж),— так как а= = е-'ае. 22В ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП ~ГЛ.
Х 2. Если элемент Ь ж а, то а ж Ь (сим м етричность отношения ) — так как из равенства Ь = = д 'ад вытекает, что а = дЬхг-' = (д ')-'Ьд-'. 3. Если ажЬ и Ьжс, то асс (транзитивн о с т ь отношения — ). Действительно, из равенств а = дз'Ьд„ Ь = д,'сде вытекает, что а = а,'д,'сйауз = = (йвуг) с (Ктегг). Таким образом, отношение сопряженности ж рефлексивно, симметрично и транзитивно, а значит, оно является отношением э к в и вал ентн ости (см. стр. 289) и определяет разбиение группы 0 на непересекающиеся классы сопряженных между собой влеменгов. Множество элементов, сопряженных с данным элементом а (т. е. элементов вида д 'ад, где ды б), мы обозначим через К(а). Очевидно, что а си К(а). Классы сопряженных элементов состоят, вообще говоря, не из одного и того же числа элементов.
Единица всегда образует отдельный класс, так как д-'ед = е при любом д. Вообще, каждый влемент, перестановочный со всеми остальными элементами группы, образует отдельный класс. В коммутативной группе каждый элемент образует отдельный класс, и значит, в коммугатиВНой ЕРУППЕ ЧиСЛО КЛаССОВ СОПРЯЖЕННЫХ ВЛЕМЕНГОВ равно порядку группы. В некоммутативной группе число классов м е н ь ш е порядка группы. Порядки сопряженных между собой элементов одинаковы, Действительно, если а" = е и Ь = д-' ад, то Ь д 'ад д 'ад ... ° й-'ад = й 'аьй = е, Обратно, если Ь" = е, то и а = е, и значит, те наименьшие степени, в которых элементы а и Ь равны единице, одинаковы. Пример.
В симметричесной группе зз элемент Р, первого по. рядка, элементы Рт, Рь Р4 — порядка 2, элементы Рз и Р, — поряд. ка 3. Единичный элемент Р~ сопряжен только сам с собой. Три элемента порядка 2 сопряжены между собой, так как, например, Рэ Ртрэ Ра и Ра Ргра Рм Элементы Рэ и Р, тоже сопряжены между собой, так как Р, зР,Р, Р,. Но элементы Рь Рз, Р4 второго порядка не могут быть сопряжены с элементами Р, и Рв третьего порядна. Таним образом, группа Вэ состоит из трех классов сопряженных элементов: (Р~), (Рь Ръ Рз). (Рь Ра), $ э) клАссы сОпРяженных элементОВ ГРуппы 299 Ыы видим, что число элементов в каждом нлассе делит порядок группы. Теореме 8, Число элементов в каждом классесоиряженных между собой элементов конечной груипы является делителем порядка группы.
Доказательство. Пусть 6 — произвольная конечная группа н а ен О. Обозначим через Ф(а) множество всех элементов группы, перестановочных с а, йг(а) называется лормаллзагором элемента а. Проверим, что гу(а) является подгруппой группы б. действительно, если Ь св Аг(а) и с а Н(а), то аь = Ьа и ас =са, а тогда и а(ьс) (аЬ)с (Ьа)с = Ь(ас) Ь(са) (Ьс)а, т. е. и Ьс гм И(а), Рассмотрим разложение группы О на п р а в ы е смежные классы по подгруппе ЬГ = Ы(а) н докажем, что между этими классами и элементами, сопряженными с а, сушествует взаимно однозначное соответствие. Для этого покажем, что если два элемента х и у принадлежат олному н тому же смежному классу 0 по й', то при трансформировании ими элемента а получается одни и тот же элемент Ь (сопряженный с а), и обратно, Пусть элементы х и у принадлежат одному и тому же смежному классу 6 по й(; тогда у = йх, где Ь ен АГ.
Если х 'ах = Ь, то и у-'ау = х-'й 'айх = х"'ах Ь. Обратно, пусть р 'ар Ь и д-'ад = Ь. Тогда р = (рд-')д, и нам надо показать, что рд-' ем тд. Но произведение (рд ')-'а(рд ') = д(р-'ар)д-' дьд ' = а, и значит, а(рд-') (рд ')а, откуда рд-'е Н и р я йгд, т. е. элементы р и д принадлежат одному и тому же смежному классу О по й. Так получается взаимно однозначное соответствие между правыми смежными классами группы 6 по подгруппе Ф = Н(а) и элементами, сопряженными с а (элементу Ь е- ау, сопряженному с а, соответствует правый смежный нласс, состоящий из всех тех элементов у группы 6, при трансформировании которыми элемента а получается Ь).
Следовательно, число элементов, сопряженных с а, равно числу классов в разложении группы 6 по подгруппе Аг(а), т. е. равно индексу нормалазагора элемента а з группе 0 и, значит, является делителем порядка группы (см. доказательство теоремы Лагранжа). Т е о р ем а 9. Для того чтобы подгруппа сг1 групиьс б была нормальной подгруппой, необходимо и доста. точно, чтобы она содержала вместе с каждым своим влементом а и весь класс сопряженных с ним элементов К(а).
Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения нормальной подгруппы. Пересечение 2 нормалнзаторов всех элементов группы 0 является подгруппой з 6 (как и пересечение любого множества подгрупп). зоо ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП ~ГЛ. Х Оно состоит из всех тех элементов группы, каждый из которых коммутирует с о в с е и и элементами группы, и называется центром группы. Центр вруллы лвллетсл, очевидно, ев нормальной лодгрдллой.
$10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп Т е о р е м а 1О. Пусть группа б равна прямому произведению 61',к,' бз своих подгрупп 61 и 61. Тогда, если А, есть класс сопряженньсх элементов группы 61, а Аз — класс сопряженных элементов группы бм то всевозможные произведения вида а,аго где а, емА1, аземАН образуют класс сопряженных элементов салгбй группы б, и обратно, каждый класс сопряженных элементов группы б получается таким образом. Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам надо показать, что если а1 ж Ьг в группе 61 и аз Ьз — в 61, то а~аз ж ЬА в группе б = 61 рс', бм и наоборот.
Пусть Ь, = д,'азат и Ь, = у,таеуз (Где д11м 6, и Уз ~ бз). Тогда, так как элементы из подгРУпп 61 и бз коммутируют между собой, имеем -1 1т -1 -1 -1 Ь,Ь, = (дт атдт) (де атуз) = йт дз азаздтуз = = (дздз)-1 а,аз(дтдз) = (у1дз) 'а,а,(угу), и значит, Ь,Ь1 ж агах в группе 6. Обратно, предположим, что элементы а,аз и ЬА прямого произведения 6 = 61,'н', 61 сопряжены в б, т.е.что Ь,Ь, = у-за1азу, где д н 6 н, значит, у = д~дз, д1 гм 61, утгм бх. Тогда Ь,Ьз = (дздз)-' а,а, 1узуз) =- у, 'дз 'атазйз уз = = (дз 'аздт) (д,'азде), откуда, ввиду единственности разложения элементов прямого произведения на компоненты из разных сомножителей, получаем Ь, = у, 'агут и Ь, = д,'азу„т.
е, Ь1 аг, в группе 61 и Ьз ж аз — в группе 61. С л е д с т в и е. Если группа 6, содержит р классов, а группа бз — д классов сопряженных элементов, то число классов сопряженных элементов группы б = = 61,н, 61 равно рд. ГОМОМОРФИЗМ ГРУПП ЗО) $ и! $11 Гомоморфизм групп О п р е д е л е н и е 7. Говорят, что группа 6 гомоморфна группе О', или что и,пеется гомоморфное отображение )' группы 6 на груггпу 6', если каждому элементу х группы О поставлен в соответствие определенньгй элелгент )(х) группы 6' (причем каждый элелгент группы 6' поставлен в соответствие хотя бьг одному элементу группы 6) так, что для всех элементов х, уев О 1(ху) = )(х)~(у). Как и изоморфизм, это соответствие «сохраняет групповую операцию». Чем же тогда гомоморфизм от- личается от изоморфизма? Тем, что здесь отображение группы 6 на группу 6' не и р ед п ол а га ется аз а- имно однозначным: каждому элементу х группы 6 отвечает один определенный элемент )(х) из О', но разным элементам из 6 может быть поставлен в соот- ветствии один и тот же элемент из О'.
Таким образом, иэоморфизм является частным случаем гомоморфизма. Рассмотрим и«сколько п р и м е р о в. Группа симметрии ромба У с элементами е, и, Ь, аь (и «опрехелиюнгнми соотношениями» аэ = = Ь' = е, аЬ = Ьо) гомоморфна циклической группе Сэ второго порядка с элементами Е, А(А' = Е): можно положить, например, 1(г) = 1(а) = Е 1(Ь) = )(аь) = А. Легко видеть, что проиэвелению любых двух элелгентов группы С отвечает проиэвсление соответствуюших элементов группы С'. Гомоморфное отображение группы У на группу Сэ можно уста- новить и иначе: гр(е) = ф(Ь) = Е, ф(а) = ф(аь) = А, или еше так: «Р(е) = «Р(аЬ) = Е, гР(а) = гу(Ь) = А, Другой пример. Циклическая группа С, шестого порядка с эле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
