Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 47
Текст из файла (страница 47)
ментами е, а, а', а', а«, а' гомоморфна циклической группе Сэ второго порядка (Е, А): 1 (г) 1 (аг) = )(а«) = Е, 1(а) = 1(а') 1(аэ) = А, и циклической группе Сэ третьего пор~дка (Е, В, Вх): ф(е) = ф(а') = Е, ф(а) = ф(а') = В, ф(а') = ф(а') Вэ. Каждая группа гомоморфна себе самой (ибо можно положить )(х) = х для всех элементов хя 6). Каждая группа гомоморфна единичной группе (состоящей из 302 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП (ГЛ. Х одного единичного элемента Е): для доказательства достаточно положить /(х) = Е для в с е х элементов «еи б. Легко видеть, что если / — гомоморфное отображение группы 6 на группу 6', то /(е) = е', где е — единица группы б, а е' — единица группы 6' н [/(х)!-! = =/(х '). Это доказывается так же, как соответствующие утверждения для изоморфного отображения (см.
$4). Каким вообще группам может быть гомоморфна данная группа б? На этот вопрос полностью отвечает следующая Теорема о гомоморфизмах. Каждая груп. па еомоморфна любой своей фактор-группе. Обратно, если группа 6 гомоморфна группе 6', то 6' изоморфна фактор-группе группы б по некоторой нормальной подгруппе Н. Таким образом, группы, которым гомоморфна данная группа 6 это, с точностью до изоморфизма, — все ее фактор-группы и только они.
Следовательно, — в случае конечной группы б — порядок каждой такой группы является делителем порядка группы. Дои а вате льет во. !. Пусть Н вЂ” нормальная подгруппа группы 6. Рассмотрим фактор-группу О/Н группы О по Н. Поставим в соответствие каждому элементу х группы 6 тот смежный класс, в котором содержится этот элемент, т. е. положим /(х) = хН. Тогда /(у) = уН и /(ху) хуН. Но хуН = хН уН = /(х)/(у), и значит, /(ху) =/(х)/(у), т. е. группа О гомоморфна своей фантор. группе 6/Н. П, Пусть группа О гомоморфна группе О'.
Рассмотрим множе. ство Н всех тех элементов группы 6, которые отображаются в еди. ниву г' группы О', т. е. таких, что /(х) = е'. Покажем, что Н вЂ” п о дг р у и п а в О. Действительно, если Ь1 еи Н и Ьэ ю Н, то /(Ь,) = е' и /(Ьз) = е', а тогда и /(ЬА) = /(Ь~)/(Ьз) = е', т. е. и Ьлйз чя Н.
Далее, если Ь чв Н, то /(Ь) = е' н /(Ь ') = [/(Ь)] -' = е', т. е. н Ь ' ю Н. Эта подгруппа Н, называемая ядром гомоморфязма /, является нормальной, тах хаи если ЬеиН, т. е. /(Ь) е', то для любого элемента у чн О /(д-'Ьу) = /(у-')/(Ь)/(у) = [/(у)) 'е'/(у) = г', я значит, у-'Ьу св Н. Покажем теперь, что фактор-группа О/Н изоморфна О'. Фаитор-группа О/Н образована смежными классами группы 6 по подгруппе Н.
Все элементы ядра н только они, отображаются в единицу группы О'. Покажем, что все элементы одного и того же смежного класса 6 по Н отображаются в один и тот же элемент группы ГОМОМОРФИЗМ ГРУПП $!Ц зоз О'. Действительно, если элементы х и у группы 0 принадлежат одному и тому же смежному классу по Н, то х = уп, где /! щН, а тогда /(к) /(у)/(й) = /(у) ' /(у), и значит, элементы х и у отображаются в один и тот же элемент группы 0'. Обратно, если /(и) = /(и), то /(и-'и) = /(к-')/(и) = [/(к)) '[/(иЦ е' и значит, и-'о чм Н, т. е.
и щ иН, и элементы и и и принадлежат од. ному и тому же смежному классу. Мы установили взаимно однозначное соответствие между эле- ментами группы С' н смежными классами группы 0 по Н. Покажем, что это соответствие является изоморфным. Пусть к и у — элементы группы О, хН и уН вЂ” содержащие ик классы, х, /(х) и у! = /(у) — соответствующие им элементы груп. пы 0'. Классу хН фактор-группы О/Н поставим в соответствие эле- мент х, /(х) группы О'. Тогда имеем кН +-» х! = /(х), уН+-» у! — — / (у), куН ч-» /(ху), Но куН = хН ° уН, а /(ху) = /(х)/(у), и значит, ,Н .,Н , /(к)/(У), т.
е, взаимно однозначное соответствие ~-» между фактор-группой О/Н и О' есокраняет групповую операцию», и значит, группы О/Н н 0' нзоморфвы. ГЛАВА Х! ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР В этой главе рассматриваются преобразования обычного трехмерного (евклидова) пространства Я (определение преобразования см.
в $ 3 главы Х). $1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы Определение. Движением называется такое преобразование вещественного евклидова пространства Д, при котором расстояния между точками не меняются: если точка Р переходит в Р', а точка Π— в О', то расстояние Р'О' равно РО.
Такие преобразования образуют, очевидно, группу, называемую группой движений евклидова пространства, нли евклидовой группой. В группе движений пространства й выделим множество тех движений, при которых некоторая фиксированная точка О (начало координат) остается н е п ода и жной, т. е. переходит сама в себя. Такие движения тоже, очевидно, образуют группу — подгруппу группы движений, называемую иентроевклидовой, или полной ортогональной группой.
Каждому движению с неподвижной точкой О отве. чает определенное преобразование соответствующего векторного пространства: если точка Р переходит в Р', то вектор ОР переходит в вектор ОР'. При этом преобразовании длины векторов не меняются; легко видеть, что не меняются также и углы между векторами, т. е. рассматриваемое преобразование сохраняет скалярное произведение векторов. Покажем, что преобразование за евклидова векторного пространства, сохраняющее скалярное произведение, т. е.
такое, что (,Фх, Фу) = (х, у) при всех х, Фп ГРУППА ДВИЖЕНИЙ И ЕЕ ПОДГРУППЫ 305 уен)с, является линейньсм (и следовательно, ортогональнымм) л р е о б р а з о в а н и е м, т. е. что лФ (х + у) = = ФХ+Лсд И Л!'(аХ) = аЛГХ Прн ВСЕХ Х, уан)вв И Прсизвольном а. Действительно, имеем (лР(х+ у) — лсх — лФд, ла(х+ у) — лРх — лау) = = (.Ф (х + у), л5 (х + у) ) — (лФх, ла (х + у) )— — (лау, лС (х+у) ) — (.Ф (х+у), лРх) + (лРх, 55'х) + +(Фу, Фх) — (Ф(х+у), Фу)+(лах, Фу)+(лву, лау) = =(х+у, х+у) — (х, х+ у) — (у, х+у) — (х+у, х) + +(х, х)+(д, х) — (х+ у, у)+(х, у)+(у, у) = = ((х + у) — х — у, (х+ у) — х — у) = О, с в 1 О О О С05 ф — 510 ф О 5!П 1Г С05 ф~ (2) 11 Л.
И. Гававппв откуда (поскольку пространство — евклидово) ла(х+у) — лвх — лву = О и .Ф(х+у) = лух+лгд Далее имеем (Ла(аХ) — аФХ, .4(аХ) — СьгвСХ) = (Лс(аХ), ЛФ(аХ) )— — а(лФх,,Ф(ах)) — а(лс(ах),,Фх)+ аз(лЗх, лух) = = (ах, ах) — сс(х, ах) — а(ах, х) + аз(х, х) = О, и значит, лс (ах) — алв'.х = О, т. е. лс(ах) = аФх Таким образом, полная ортогональная группа — зто группа всех (линейных) ортогональных преобразований векторного пространства. Пусть теперь )с — т р е х м е р н о е евклидово простран- ство.
Напомним, что матрица ортогонального преобразо- вания трехмерного пространства в некотором ортонорми- рованном базисе приводится либо к виду с ! О О О С05 10 — 510 10 (() О 5!и Ч1 005 1р.~ (и тогда преобразование представляет собой поворот вокруг некоторой оси — «новой» оси х), либо к виду Зпа ггтппы симметгии гаометгичвских еигхн 1гл. х! (в этом случае преобразование состоит из поворота вокруг невой оси х и симметрии относительно плоскости, перпендикулярной к этой оси; ясно, что если ф кратно 2пй, то «поворот» представляет собой то.кдественное преобразование). Определитель преобразования (1) первого рода (поворота вокруг какой-то осн, проходящей через начало координат), равен + 1, а определитель преобразования (2) второго рода равен — 1.
Поэтому все преобразования первого рода (вращения) образуют подгруппу полной ортогональной группы, называемую группой вращений (трехмерного) пространства. На плоскости матрица ортогонального преобразования приводится либо к виду ~$!и ф с05 ф~' " " ~0 — 1~' В первом случае (преобразование первого рода) это — п о в о р о т вокруг начала координат на угол !р; определитель его матрицы равен + 1.
Во втором случае (преобразование второго рода) это — симметрия относительно некоторой прямой — «новой» оси х, определитель его матрицы равен — 1. Все повороты плоскости образуют подгруппу ортогональной группы — группу вращений плоскости. Ясно, что все рассматриваемые нами пока группы (евклидова, ортогональная, группа вращений) — бесконечны. Дальше нас будут интересовать различные конечи ы е подгруппы полной ортогональной группы и группы вращений, которые могут быть получены следующим образом. Возьмем какую-нибудь (в определенном смысле «симметричную») фигуру плоскости или пространства и рассмотрим всевозможные ортогональные преобразования (или всевозможные вращения), переводящие эту фигуру в себя. Все такие преобразования, очевидно, образуют группу.
Мы будем называть ее группой симметрии (соответственно группой вращений) рассматриваемой фигуры (в случае пространства иногда говорят не «фигура», а «тело»). Понятие группы симметрии фигуры является математическим эквивалентом общежитейского представления о «симметричных» и «несимметричных» фигурах, которое $0 ГРУППА ДВИЖЕНИЙ Н ЕЕ ПОДГРУППЫ 307 само по себе точного смысла не имеет (поэтому выше мы заключили слово «симметричное» в кавычки): «степень симметричности» фигуры определяется «богатством» ее группы симметрии. Так, например, ясно, что ромб «менее симметричен», чем квадрат,— и группа симметрии ромба содержит всего 4 элемента, тогда как группа симметрии квадрата -8 элементов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
