Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 51
Текст из файла (страница 51)
Если группа б изоморфна группе б', то представление Г группы б группой б* называется точным; в противном случае представление Г; по определению, неточное. Если б есть группа линейных операторов, то она сама является одним из своих линейных представлений (причем, очевидно, точным); это представление называют основным представлением группы б, Рассмотрим несколько примеров. 1. Найдем все одномерные представления циклической группы Св второго порядка.
Эта группа состоит нз двух элементов е и а, причем а'= е. Пусть Г будет одномерное представление группы Сь Тогда Г(е) = 1. Предположим, что Г(а) = а; тогда Г(а') = (Г(а))з= = а'. Но так как аз = е, то Г(ав) = Г(е) = 1, и значит, сев = 1, т. е. а = ~ 1. Это дает два одномерных представления Г! и Гг группы Сел С, в ~ а Г ! 1 Здесь первое представление: Г1 (е) = 1, Г~ (а) = 1— единичное (неточное); второе: Гв(е) = 1, Гт(а) = — 1— точное. 2. Найдем все одномерные представления группы Св — циклической группы четвертого порядка.
Эта груп- ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ 327 Фн па состоит нз четырех элементов е, а, а', а', причем а'= е. Пусть Г(а) = а. Тогда Г(а') =а', Г(и') = а', а Г(аа) = аа, и значит, аа = 1, т. е. са=у 1. Поэтому са может равняться 1, а, — 1, — а, что дает четыре одномерных представления: г, первое нз которых — единичное; два последних представления являются точными. 3. Пусть Р' — группа симметрии ромба. Она состоит нз четырех элементов е, а, Ь и аЬ = Ьа, причем аэ = = Ь' = е. Если à — одномерное представление этой группы и Г(а) = а, Г(Ь) = р, то Г(аг) = аг = 1 и Г(Ь') = рг = 1, т.
е. а = ~ 1 и р = ~ 1. Это дает четыре одномерных представления (ни одно нз которых не является точным): — 1 328 ЛИНЕПНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП ~ГЛ. ХН 4. Найдем одномерные представления диэдрольном группы Р, 55*). Элементы группы: е, г, гз, в, зг, вгз. Пусть à — одномерное представление Р,; поскольку г и гз сопряжены между собой, если Г(г) = а, то Г(г') = =а'= Г(г) = а, т. е. а'=а,— и так как а ныл, то а = 1.
Далее, если Г(в) = р, то Г(з') = ()5 = 1, и 3 = = ~ 1. Это дает два одномерных представления группы Р;. или, короче (поскольку элементы г и гз, а также элементы з, вг и вгз сопряжены между собой): г, гз 5,5Г 5Г Гз б. Построим двумерное представление группы Рз. Эта группа изоморфна группе симметрии правильного треугольника, т. е. Рз есть группа преобразованийй плоскости, а значит, она сама является одним из своих представлений. Найдем матрицы этого (основного) представления. Пусть АВС вЂ” правильный треугольник с центром О (рис. 39), Совместим точку О с началом координаг, а вершину А треугольника расположим на положительной стороне оси Ох. Обозначим через г поворот вокруг центра треугольника на угол 2п/3, тогда гз — поворот на ') — знак изоморфизма групп.
З22 ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ угол 4п/3; через з обозначим симметрию относительно оси Ох. Соответствующие матрицы будут иметь вид 2п , 2н 005 — 5! П з з 2п 2п ЮП 005 з з Г (е) = Е, Г (г) = 1 1 2 — — Уз —— Г(г') = Г() =[! 1 1 2 2 — — — — Уз1 —,' Уз Г(зг') = Г(ег) = -+ +в з~ 1 1 — Уз— 2 2 (Г(зг) и Г(згт) находятся перемножением матриц; Г(зг) = Г(5) . Г(г) и Г(згс) = Г(з) ° Г(гс).] Рис. 39. 6.
Диэдральную группу 05 можно интерпретировать и как группу движений трехмерного пространство— как группу вращений диэдра. Если лежащий в основании диэдра треугольник расположить как в примере б, а ось Ог направить перпендикулярно к плоскости треугольника и если г — это поворот вокруг оси Ог иа угол 2п/3, а а — поворот вокруг осн Ох на угол и, то 12л.и.г 0 5 330 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП 1ГЛ, ХН соответствующие матрицы будут иметь вид 1 2 о Г! о о1 Г (е) = ~ О ! О ~, Г (г) = О О 1 о Г(г') = Г! О 01 Г(з) ~о ! о~ Г(„) ΠΠ— 1 О Г(зг') = Как будет показано дальше (в 5 3 гл. Х111), полученное трехмерное представление группы Пз в некотором смысле «хуже» найденных выше одномерных (пример 1) и двумерного (пример 5) представлений этой группы (оно распадается в «прямую сумму» одномерных и двумерных представлений).
2 2. Изоморфные представления Определение 2. Пусть Г, и Г,— два представления группы 0 в пространствах й! и Ке соответственно, причем размерности пространств )т! и )ГВ одинаковы, т. е. пространства й! и )гт из о мор фи ы (см. $ 5 главы 11). Представления Г, и Г, называются изоморфными (эквивалентными, подобными), если МГ! — — ГВ Аь, где Ж вЂ” изол!орфное отображение пространства й! на )тх. (Ясно, что изомоРфные пРедставлениЯ имеют одинаковые степени) ! 2 1 — Уз 2 О 1 — Уз О 2 1 — — О О 1 1 2 1 — —,Уз О 1 2 1 — 2 Уз О 2Уз О 1 1 — О 2 Π— 1 1 2 ! 2 Уз О 1 — — Уз о 2 1 2 Π— 1 ЗЗ1 ИЗОМОРФНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ Равенство «эГ~ =ГВЯ означает, что «гуГ~(а) = =Ге(а)Ж для любого элемента а~ О, а это, в свою очередь, означает, что для любого вектора х и Я~ ЯТ,(а)х = Гз(а)Жх.
(1) Поясним «геометрический смысл» последнего равенства. Пусть хн)г, и у = Ух~ Ни Тогда равенство (1) означает, что УеГ~(а)х = Ге(а)у, т. е. что если х у (вектор х ~н Н1 соответствует вектору у и К, прн изоморфном отображении Ж пространства Я, на Н,), то Г,(а)х Гз(а)у, т. е. образы Г~(а)х н Ге(а)у элементов х и у для любого а~ 0 тоже соответствуют друг другу при отображении Я; мэ (Г~ (а) х) = Г, (а) у. Иными словами, безразлично, отобразить ли сначала вектор х ~ й, посредством Я в пространство )(и а потом применить к полученному вектору Мх преобразование, соответствующее элементу а~ 6, нли сделать это в обратном порядке; здесь выполняется следующая «коммутативная диаграмма»; М х — мэ' (х) гк«>! (гкю М Г, (а) х — Ав Г, (а) х = Г, (а) уу (х) Изоморфное отображение Ж пространства Н1 на Не может быть задано квадратной (невырожденной) матрицей Н.
Тогда для каждого а ~ 6 соответствующие м а т р и ц ы Г1(а) и Ге(а) изоморфных представлений Г, и Г, связаны соотношением НГ,(а) = Г»(а)Н, которое можно переписать в виде Г1(а) = Н-Те(а) Н. Это означает, что если пространство Н1 отождествить с (изоморфным ему) пространством )се и матрицу Н рассматривать как матрицу перехода к новому базису в этом пространстве, то Г1(а) и Ге(а) — это матрицы $2» 332 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП !ГЛ. ХП одного и того же оператора, взятые в разных базисах. 3 з д з ч в. Покажите, что отображения Г, и Гз ,, (,) [! о1 , , ) [- !)й -!)й~ Г (,, [- )Уй !)й~ г,(з) = [о г~, г,(з.) = [ ' ',1, г, ( ) = [ являются предстзвленнями диэлрзльной группы 0з, и проверьте, что эти вредстзвлеьия и з о м о р ф и ы.
$ 3. Подпредставление О п р е д е л е н и е 3. Пусть à — представление группы 6, )с — пространство представления и )т! — надпространство )т, инвариантное относительно всех операторов, соответствующих элементам группь! 6 (в таком случае говорят, что подпространство й! инвариантно относительно группы 6). Тогда каждому элементу а ни 6 можно сопоставить оператор Г(а), действующий в п одп р остр а нстве )т!!. Эти операторы также образуют представление группы 6 (поскольку, если х~)т„ то Г(а)х~)тг! для каждого а~ 6 и равенство Г(аб) х = Г(а) Г ((г) х выполняется для всех векторов х ~ )т!, так как оно справедливо для любого вектора хси )с, а )т! с)с). Представление Г! группы 6 в пространстве )с! называется подпредставл ен и ем представления Г. П р и м е р.
Рассмотрим двумерное представление циклической группы Сз второго порядка: Г (е) = [ 1, Г (а) (Легко видеть, что (Г(е))' Г(е) н, знзчит, это действительно— представление.) Пусть еь ет — тот базис пространства й, в котором взяты эти матрицы. Вектор е, + ез является собственным для обоих ппямля сумма предстлвлении ззз преобразований Г(е) и Г(а), так каи Г(е) (е~ + ез) = Г(е)е1 + Г(е)ез =ею + ез, Г(а) (е, + е,) = Г(а) е, + Г(а) ез = ез + ез = е, + ез.
Следовательно, порожденное им одномерное подпространство )1~ = (е, + ед инвариантно относительно группы Сз. Соответствующее подпредстаазенне Г, является одпомерныи единичным представлением группы Сз. Г,(е) (е~ + ез) = е~ + еь Г, (а) (е1 + ез) = е, + еь или, в матричной форме: Г~(е) = 1, Г1(а) = 1. $4. Прямая сумма представлений О и р е д е л е н и е 4.
Если пространство представления й группы сг является прямой суммой )с' = )чзз (ц)ззз надпространств К, и )сз, инв ар иан тных относительно группы б, то в каждом из этих надпространств представление Г определяет по подпредставлению; обозначим эти подпредставления через Г~ и Гз. Говорят, что представление Г является прямой суммой подпредставлений Г, и Гз, что записывается так: Г=Г Егз. Рассмотрим два п р и и е р а. 1, Пусть à — двумерное представление группы Сь введенное в предыдущем параграфе. Иы видели, что надпространство )г, = = (е, + е,) инвариантно относительно группы Сз.
Подпространство )(з = (е, — ез) тоже инвариантно относительно Сз, так как Г(е) (е~ — ез) = Г(е)е~ — Г(е)ез ег — ез, Г(а) (е, — ез) = Г (а) е, — Г (а) ез = ез — е, = — (е, — е,). В базисе й = е, + ез, )з = е, — ез — матрицы нашего представления ямеют впд Г(е) =~ 1 н Г(а) =~ таким образом, рассматриваемое представление является прямой суммой двух одномерных представлений: Г = Г~О+ Гз, где Г~(е) 1, Гз(а) 1 Гз(е) = 1, Гз(а) = — 1. 334 ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП (ГЛ Х!Г 2. Рассмотрим двумерное представление никлической группы С4 Г (е) = [1 О] Г(а) = [О ], Г(оз) = [ Г(а') = [ (проверьте сами, что зто действительно представление!). Так как пространство представления двумерно, то ипварнантные подпространства (если они сунгествугот) одномерны, и значит, для того чтобы найти их, мы должны найти собственные векторы преобразования Г(а) — они будут собственными и для остальных преобразований, поскольку Г(а') = [Г(о)]' и Г(о') = [Г(о)]'.
Собственные значения преобразования Г(а) находятся нз уран. пения ~=Лз+(=О, и значит, Л = ~ 1. При А = 1 собственные векторы находятся из уравнения — (х,— — х, = О, откуда х, = — гхь и собственный вектор [, = (1, — 1), При А = — 1 собственные векторы находятся из уравнения гх, — х, = О, откуда хз — — гхь т. е.[т = (1, г).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
