Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 48
Текст из файла (страница 48)
(Найдите сами все элементы группы симметрии квадрата; полное описание этой группы, входящей в серию диэдр аль ныхгрупп и обозначаемой через Вь дается ниже, в $4.) 4 Л 8 е1 А1 б) Рис. 28. Далее, можно сказать, что правильный шестиуголь. ник «более симметричен», чем правильный треугольник. Ведь правильный шестиугольник АВСОЕР переходит в себя при всех тех преобразованиях, при которых переходит в себя треугольник АСВ (рис.
28, а) — при поворотах (вокруг центра) на углы 120' и 240' и симметриях относительно прямых АР, ВБ и СР, но, кроме того, шестиугольник переходит в себя еще и при поворотах на углы 60', 180' и 300', а также при симметриях относительно прямых МЙ1, РС7 и Ю. Группа симметрии правильного треугольника О» содержит 6, а группа симметрии правильного шестиугольника О« — 12 элементов (см.
ниже, 5 4). «Особенно симметричен» круг, он «гораздо более симметричен», чем любой (даже правильный) многоугольник. Действительно, круг переходит в себя при всех преобразованиях, при которых переходит в себя любой (впнсаппый в этот круг) правильный п-угольник, Зоа ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР !ГЛ. Х1 (рис. 28, б), поэтому группа симметрии круга бескон е ч н а. Легко видеть, что группа в р а и4 е и и й круга изоморфна группе комплексных чисел, по модулю равных 1.
Действительно, круг переходит в себя при повороте (вокруг его центра) на любой угол а, где а достаточно брать в пределах от О до 2п, О ~ а ( 2л. Повороту ф на угол и поставим в соответствие комплексное число (по модулю равное 1) г, = соз а + 1з(п а; тогда повороту !р на угол й будет соответствовать число гч = соз р + 1 з(п 3, а повороту <р!Р на угол а + 3 — число г,э = соз (а+ 8)+ ! з(п(а+ р), равное, очевидно, ПРОИЗВЕДЕНИЮ Г, Гэ.
й 2. Сопряженные элементы в группе вращений трехмерного пространства Как известно, осью называют прямую, на которой задано определенное направление, или направленную и р ям у ю. Ось, проходящую через начало координат, можно задать некоторым вектором. Говоря о пово. роте вокруг оси 1 на угол !Р, имеют в виду поворот в положи тельном напра зле ни и, т. е. против часовой стрелки, если смотреть с положительного направления оси 1. Пусть сначала 6 — произвольная группа линейных преобразований трехмерного векторного пространства и лР ~ 6. Элемент Я сопряжен с ггг в группе 6, если найдется такое ег ~ 6, что Я = Ж !.Ф$' (и значит, лг = еРЯет ').
Выясним геометрический смысл понятия сопряженности. Для этого вернемся к равенству (4) на стр. 113. При и = 3 оно принимает вид Ф Г чг-!.ФЖе! = а„е, + а,!е, + а„.е„1 = 1, 2, 3, и его можно интерпретировать следующим образом: преобразование %'-!.И1$" в базисе еь ег, ег имеет ту же матрицу, что преобразование мг в базисе Р Р е, = Же„е, = %'ем е, = !Р ем получающемся из базиса еь ем ег посредством преобразования йт. Пусть теперь 6 — г р у п п а в р а щ е н и й (трехмер.
ного) пространства. Тогда если Я вЂ” поворот вокруг оси 1 39 ГРУППА ВРАШЕНИН ПРАВИЛЬНОГО л-УГОЛЪНИКА 399 (, определяемой вектором х (короче, поворот вокруг оси х) на угол гр, то сопряженный поворот .Ф = $ГЯ$" '— это поворот вокруг оси $'х на тот же с а м ы й угол ~р. Оси х и $х, где $'еп 6, называются эквивалентны м и (относительно группы 0). Таким, образом, сопряженные повороты в группе вращений трехмерного евклидова пространства — это повороты вокруг эквивалентных осей на один и тот же угол. Обратно, если Я есть поворот вокруг некоторой оси х, а Ф вЂ” поворот вокруг эквивалентной оси $'х на один и тот же угол ~р, то повороты л2 и Я сопряжены между собой, так как в этом сл9 чае Я = $' '.Ф$'.
ф 3. Группа вращений правильного и-угольника С„ Эта группа уже рассматривалась на стр. 279. Правильный и-угольник (рис. 29, а) совмещается сам с со2п бой прн и поворотах вокруг его центра на углы О,— 2п 2п — 2, ..., — (и — 1). Обозначим теперь эти повороты сои '''' л ответственно через е, г, г', ..., г" '.
Образованная ими Я лл ла дь г,4, Лг ГО о) Рнс. 29. группа является ци кл и чес кой группой порядка п. и обозначается символом С„. Легко видеть, что такова же и группа вращений пра. вильной и-угольной пирамиды: такая пирамида пере11а Л. и. Голоаааа 3!О ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР !ГЛ. Х! ходит в себя при поворотах вокруг оси АВ на те же 2л 2л 2л углы О, —, — 2,..., — (и — 1) (рис.
29, б). Группа С, коммутативна, и значит, число классов сопряженных элементов этой группы равно ее порядку. й 4. Диэдральные группы Р„ Диэдральную группу тоже можно интерпретировать по-разному. Например, можно определить ее как группу симметрии того же правильного п-угольника. Тогда 2л 2л к п поворотам вокруг центра на углы О, —, — 2,... л' л 2л ..., — (и — 1)добавятся п от раж е н и й относительно осей симметрии многоугольника. Покажем, что никаких других элементов эта группа не содержит, т. е. что она состоит в точности из 2п элементов. Группа симметрии и-угольника 0„ содержит, очевидно, подгруппу С„, состоящую из всех поворотов вокруг центра.
Пусть е, г, г', ..., г" ' — все элементы этой подгруппы (напомним, что г — поворот вокруг центра на 2л'! угол — !. Обозначим через в отражение относительно л !' одной какой-нибудь ф и к с и р о в а н н о й оси симметрии многоугольника. Тогда за = е. Пусть д — произвольный элемент группы 0„. Тогда д есть ортогональное преобразование, определитель которого равен, следовательно, + 1 или — 1.
Если )д( = + 1, то это — вращение, и значит, д = г', где й = О, 1, ..., п — 1. Если определитель )д( = — 1, то определитель произведения вд равен + 1 (так как определитель в равен — 1), и значит, вд ен С„, т. е. Ед = г", откуда следует, что д = зг". Таким образом, каждый элемент группы 0„может быть представлен либо в виде г", либо в виде зг", где й = О, 1, ..., п — 1.
Значит, порядок группь! Р„равен 2п. Диэдральную группу 0„можно интерпретировать и иначе: ее можно рассматривать как г р у п п у а р а щ ений правильного п-угольника, но не в его плоскости, а в пространстве. Тогда г" — это поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости многоугольника и про- зи ДИЭДРАЛЬНЫН ГРУППЫ 2п ходящей через его центр, иа угол — й, а з — по во р от и в пространстве вокруг одной из осей симметрии многоугольника на угол л. Наконец, диэдральную группу можно еще рассматривать как группу вращений правильного диэдр а — правильной бипирамиды, состоящей из двух одинаковых правильных пирамид, сложенных своими основаниями (рис.
30). Тогда Г' — это поворот вокруг оси 2п АВ диэдра на угол — й, а в — одно из «опрокидываний» вЂ” поворот на угол п вокруг одной из осей симметрии лежащего в основании диэдра многоугольника. При и = 1 диэдр вырождается в отрезок, и группа Р1 изоморфна См ! При и = 2 диэдр вырождается в г ромб,и группа Р, изоморфна группе г симметрии ромба К При и = 3 получается группе симметрии треу- 4» ~ тв у Аа гольника; легко видеть, что она изо- а 4 2 морфна 5а — группе подстановок трех его вершин.
При и > 3 диэд- г ральные группы некоммутативны. I 0/ Найдем классы сопряженных элементов диэдральной группы. При поворотах вокруг горизон- Рас. 30. тальных осей (осей симметрии многоугольника) вертикальная ось АВ диэдра переходит в ВА (опрокидывается); она является, как говорят, двусторонней осью — ось АВ эквивалентна ВА. Следовательно, поворот вокруг оси АВ на угол а сопряжен с поворотом вокруг оси ВА на тот же угол а, т, е. с поворотом вокруг оси АВ на угол — а. Таким об. разом, повороты Г' и Г" " сопряжены между собой, причем, очевидно, имеет место равенство Згаз Г~-а (Проверьте сами это равенство, выписав и перемно. жив соответствующие матрицы!) Никакой другой оси ось АВ не эквивалентна, и поворот Г' сопряжен тол ь- КО С Гн-а ыа' 3!2 ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР !ГЛ.
Х! Следовательно, при нечетном п повороты вокруг оси АВ разбиваются на классы сопряженных элементов следующим образом: ( 2-1 пЕЦ (Е) (Г Гп-1) (Г2 Гп-2) )Г 2 а+! Число таких классов равно —. При четном и пово- 2 ' роты вокруг оси АВ разбиваются на классы: и и ) (и) ;+1) (;) (е) (г Гп-1) (Г2 Гп-2) (Г2 Г2 ) Л Число этих классов равно — + 1. 2 Далее, при нечетном и все горизонтальные оси вращения эквивалентны между собой (рис. 31, а) — они а/ Рис 3!. переходят друг в друга при поворотах вокруг вертикальной оси АВ.
А так как углы поворотов вокруг всех этих осей одинаковы — они равны и, то все эти повороты сопряжены между собой и образуют один класс сопряженных элементов. При четном и многоугольник имеет оси симметрии двух типов: диагонали и прямые, соединяющие середины противоположных сторон (рнс. 31, б). Все первые оси между собой эквивалентны. Все вторые — тоже, но первые во вторые не переводятся никаким вращением— они не эквивалентны. Значит, при четном и повороты вокруг горизонтальных осей образуют да а кл а оса со- з~з ГРУППА ВРАШЕНИИ ТЕТРАЭДРА 1 пряженных элементов: (з, зг', зг', ..., зг"-') и (зг, зг', ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
