Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Действительно, если и = Фз, то а" = (а')' = е, С другой стороны, если а" ==в и и = йр+ д, где 0< у <я, то, так как а"= =а"Р ° а' = а' = е, н й — наименьшая положительная степень, в которой а" = е, то о = 0; и и делится на й. В этом случае элемент а называется элементом Ьго порядка. Если все степени элемента а различны, то он называется элементом бесконечного порядка. (Таким будет, например, любой отличный от 0 элемент аддитивной группы целых чисел.) Для того чтобы убедиться в том, что данное множество 01 элементов к о н е ч н о й группы образует в ней подгруппу, достаточно проверить, что произведение (сумма) любых двух элементов множества 01 принадлежит Оь Действительно, в конечной группе каждый элемент а — конечного порядка, н если а ~в ОГ и а" = е Ь*уа у ~~у*. = . г д н множеству 01), то а"-' ° а = а ° а'-' = е, н элемент а'-'~ 01 является обратным к а.
Легко видеть, что пересечение двух подгрупп группы 0 само является подгруппой в О. Каждая группа имеет подгруппу, состоящую из одной единицы (нуля), н каждая группа сама является своей подгруппой (эти подгруппы называются несобственным и). Ясно, 280 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП !ГЛ. Х что подгруппа коммугативной группы всегда будет коммутативной, в то время как подгруппа некоммутативной группы может быть и некоммутативной, и коммутативной; так, (некоммутатнвная) полная линейная группа содержит коммутативную подгруппу скалярных матриц.
ф 3. Группы преобразований. Симметрическая группа и-й степени Важный класс групп составляют так называемые группы и реобр аз о в а ний. Пусть М вЂ” произволь- ное множество. Преобразованием множества М мы теперь будем называть любое взаимно одно- з н а ч н о е отображение Р етого множества на себя, Это значит, что для каждого элемента х из М однознач- но определен его образ Рх= х'ыМ, причем каждый элемент х' из М служит образом единственного элемен- та х, называемого его прообразом.
У м н о ж е и и е м преобразований называется после- довательное выполнение их одного за другим: по опре- делению, (РЯ) х = РЯх). Умножение преобразований ассоииативно — это можно доказать точно так же, как доказывалось выше для линейных операторов. (5 2 главы )П), но, вообще говоря, н е к о м м у т а т и в н о (не коммутативно уже умножение линейных операторов). Роль единицы в этом умножении играет тождественное преобразование Е, ставящее в соответствие каждому элементу х из М его самого.
Для каждого преобразования Р множества М существуег обратное преобразование Р-', ставящее в соответствие каждому элементу х' из М его (единственный по условию) прообраз х; при этом, очевидно, РР '= Р-'Р= Е. Если множество М конечно и состоит из и элементов, то всевозможные взаимно однозначные отображения этого множества на себя называются подстановками, а соответствующая группа преобразований обозначается через Я„и называется группой подстановок нз и элементов, илн симметрической группой и-й степени. ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИИ 281 » з! Рассмотрим симметрическую группу третьей степени 5ь — группу всех взаимно однозначных отображений множества, состоящего из трех элементов а, Ь, с,— например, это могут быть числа 1, 2, 3, на себя.
Так как из трех элементов можно составить всего шесть различных перестановок: 123, 132, 321, 213, 231, 312, то и число различных подстановок для них равно шести. Обозначать их удобно следующим образом: ъ=(1 2 3) а=(! 3 2), ь=(3 2 1) Рь = (2 1 3) ь (2 3 1) в (3 1 2) !1 2 3! где, например, ( 3 !) — это такое отображение множества 1, 2, 3 на себя, при котором 1»-2 !1 отображается в 2), 2-»-3 и 3-» 1. Подстановки, отличающиеся только порядком следования столбцов, например, (3 2 !) " (2 3 !)' не считаются различными. Умножение подстановок— это их последовательное выполнение !сначала правого множителя, а затем — левого), поэтому, например, "=(' ' ') (' ' ') =(' ' ') =' ибо в правом множителе 1 — «1, в левом 1-» 3, следовательно, в произведении 1-~-3, и т.
д. Единицей при этом умножении служит тождественная подста- /1 2 3'! нов ка Р,=(! 2 ) и для каждой подстановки имеется о бр атн а я ей: Р,'= Р„Р,'= Р„Р,'= Р„Р,'= ЄР= Р,. Для того чтобы получить подстановку, обратную дан- ной, надо лишь поменять местами ее строки: (! 2 3) ~ (2 3 1) (1 2 3) 282 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ.
Е Группу 5ь можно представить такой таблицей Кали: Рь Рь Рь Рв Ра Рь Рв Рв Рь Рв Рь Ра Ра Рв Рв Рь Группа 5в некоммутативна, так как, например, РвРь = Рм а РьРв = Рь (таблица Кали этой группы не симметрична относительно главной диагонали). Мы подробно рассмотрели группу подстановок из трех элементов; обратимся теперь к общему случаю. Подстановку из и элементов — например, чисел 1, 2, , и †мож обозначить символом (аь а, а ... а„) показывающим, что 1 переходит в вхь 2 — в ам и т.
д.; здесь ан ам ..., а. — Вто те же числа 1, 2, 3, ..., п, но расположенные, вообще говоря, в каком-то другом порядке. Расположение столбцов в этой записи не играет роли и, например, (2 4 З !) (4 2 З !) (З 2 ! 4)' Число подстановок из л элементов равно, очевидно, л!, ГРУППЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ 2ВЗ 4З! Перемножаются подстановки в общем случае так же, как подстановки из трех элементов. Так, на- пример, (1 2 3 4)(! 2 3 4) (! 2 3 4) (Сначала выполняется правая подстановка, а потом левая: здесь 1-1-4, а затем 4-~-1; далее, 2-~-3, а затем 3-+4, и т. д.) Умножение подстановок ассоциативно, но, вообще говоря, не коммугативно. Подстановка (1 2 З...п) играет роль единицы и называется тождественной под- становкой. У каждой подстановки имеется обратная: Группа подстановок из и элементов (симметрическая группа и-й степени) имеет, очевидно, порядок п!.
Подстановки бывают двух типов: четные и нечетные. Подстановка называется четной, если обе составляющие ее перестановки (т. е. верхняя строка и нижняя) — одинаковой четности, и нечетной — в противном случае. Это определение не зависит от способа записи подстановки: если поменять местами ее столбцы, то в обеих составляющих ее перестановках произойдет по одной транспозицин, отчего четность каждой из них измецится, а значит, четность самой подстановки ие изменится. Теорем а 1. Произведение двух подстановок одинаковой четности является четной подстановкой, а произведение двух подстановок разной четности — нечетной подстановкой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим произведение двух подстановок 284 основные понятия теозии гггпп [гл. х Если подстановки А и В одинаковой четности, то либо они обе четпы, либо обе нечетны. В первом случае перестановки а~аз...а„н |Зфг...р„, а также рарз...р„и у1уз...у„— одинаковой четности, и значит, перестановки а~аз... а„и у1уз... у„— одинаковой четности. Во втором случае перестановки ааиз...сс. и Яз... р„— разной четности, но и перестановки Яз... р„и у|та...у — тоже разной четности, а значит, перестановки а~из... и„и уауз... у„— одинаковой четности. В обоих случаях подстановка А — четна.
Если подстановки А и  — разной четности, то либо подстановка А четна, а В нечетна, либо — наоборот. В обоих случаях перестановки иааз...а„ и т1уз... у„ разной четности, и значит, подстановка А — нечетна. Следствие. Все четные подстановки симметрической группы Я„образуют в ней подгруппу. Порядок л! втой подгруппы равен, очевидно, †. Она называется ни а кап греме н но й подгруппой симметрической группы н обозначается символом А„.
й 4. Изоморфизм групп В симметрической группе третьей степени Зз имеются три подгруппы второго порядка: (Рь Р,), (Рь РД, (Рь РаУ с таблицами Кали: Ра Р, Р, Ра Ра Ра Ра Ра Р, Ра Ра Ра Р, Ра Ра Ра Если рассматривать их независимо от группы Вм они отличаются друг от друга только обозначениямизлементов. В группе Я, имеется еше подгруппа А третьего ИЗОМОРФИЗМ ГРУПП порядка (Рь Ри Рз) с таблицей Кэли: Р, РГ Р, Р, Сравним ее с группой вращений правильного треугольника: а а, Эти группы тоже отличаются только обозначениями элементов. Такие группы называются из аморфны. ми; их можно считать одинаковыми, поскольку с точки зрения их «групповых» свойств (т.
е. тех свойств, которые единственно изучаются в теории групп) они не различаются между собой. Дадим теперь определение изоморфизма групп. Оп редел ение 3. Группы б~ и бз называются и з о м о р ф н ы м и, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраня. ющее групповую операцию, т. е. такое, что если хь у~я бь хм узен бз и х| хз, у1 уз, то х1 у1 хз уз. 2 за основнын понятия твоэнн гэтпп !гл. х Соответствие можно рассматривать как такое (взаимно однозначное) отображение 1 (скажем, мультиплнкативной) группы 6~ на (например, мультипликативную же) группу бг, что для всех х, у ~ 61 ПхУ) = 7(х)7(У).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
