Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 41
Текст из файла (страница 41)
В системе 5' одновременны события А и А" (АА" (Ох'), и значит, событие А (вместе с А") предшествует О. Здесь, естественно, возникает такой вопрос: не может лн случиться так, что, например, событие О, в системе 5 послужившее причиной события А, в системе 5' окажется происходящим после А, что противоречило бы принципу причинности, Покажем, что на самом деле этого быть не может. Точки, отвечающие событиям, которые в системе 5 происходят после события О, — это все те и только те точки, которые лежат в ы ш е о с н Ох; точки, отвечающие событиям, которые происходят после события О в системе 3',— это точки, лежащие выше осн Ох'.
Так как все пространственные оси проходят внутри угла МОИ' (см. конец $ 7) н, очевидно, каждая такая прямая служит пространственной осью некоторой системы отсчета, то пвресеченив всех полуплоскоствй, лежащих вьчше какой-либо из пространственных осей,— зто угол МОЙ, заполненный всеми теми и только теми событиями, которыв следуют зи О во всех системах отсчета (его можно назвать «областью будущего»).
Аналогично, угол М'ОУ' представляет собой множество всех тех событий, которые во всех системах отсчета происходят до события О («область прошедшего>), Точки же, лежащие в углах МОИ' н ФОМ', отвечают событиям, которые в одних системах отсчета предшествуют О, а других — следуют за О. Однако ни одно из этих событий не может иметь своей причиной событие О. Действительно, если событие О послужило причиной со- 5 В1 НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ ФОРМУЛ ЛОРЕНЦА ЯЕ7 бытия А(х, 1) (см. тот же рис.
24), то какое-то возмуще- ние должно успеть дойти от О до А. Однако это невоз- можно, так как длина вектора ОА вещественна н, зна- чит, для него во всех системах отсчета х' — с'1') О, т. е. ха) се1Е, ~ — ))с, откуда х +ы' ' ~Г--: х +ор откуда имеем или, так как длина 1' стержня в системе 5' равна х,— х,, т. е. скорость и = — такого возмущения должна была бы быть больше скорости света, что невозможно. Аналогично показывается, что для л ю б ы х двух событий А и В закон причинности не нарушается: если А может служить причиной В, т.
е. если существует сигнал, распространяющийся (в данной системе отсчета 5) от А к В со скоростью о ( с, то А предшествует В во все х ине циальных системах отсчета. . Сокращение дли». Пусть в системе 5 покоится стержень длины 1; координаты концов его обозначим х1 и хь где х1 ( хз, тогда 1= хг — хь Для того чтобы измерить длину 1' стержня в системе 5', надо отметить координаты его концов в какой-то (од и н и тот же1) момент времени 1'. Если эти координаты х, и х„то по первой из формул (14) 288 СПЕИИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ !гл.
22 Таким образом, длина 1' стержня в той системе отсчета, относительно которой этот стержень движется, мень и!в, чвм длина вго 1 в той системе отсчета, относительно которой он находится в покое. Поясним этот результат на чертеже. Пусть точка А лежит иа пересечении гиперболы х2 — с212 = 12 с осью Ох (рис. 25); тогда в системе 5 ее расстояние от начала координат равно 1.
Если АА'))01, то точки А и А' в системе 5 находятся на одном и том же расстоянии 1 от начала координат. (Это — одна н та же точка, покоящаяся в системе 5, в разные моменты времени.) Но в системе 5' расстояние точки А' от начала координат равно ОА', оно м е н ьш е ОВ, равного 1. Наоборот, точка В, лежащая на пересечении гиперболы х2 — с2!2 = В с осью Ох', в системе 5' находится на расстоянии 1 от начала координат. Если ВВ'))О!', то точка В' в системе 5' находится от начала координат на том же расстоянии 1; однаРис. 28. ко в системе 5 расстояние точки В' от точки О равно ОВ'.СОА = 1 — релятивистское, т.
е. связанное с теорией относительности сокращение длин взаимно. Если о малб по сравнению со скоростью света, то указанное сокращение длин в движущейся системе отсчета настолько малб, что практически обнаружить его невозможно. Поскольку 1' = 1~тт 1 — —, ж 1(1 — —, ), 222 ! !222 то разность 1 — 1'ж — = — ~ — ) — второго порядка 2с2 2(с ) о относительно — ) Так, с космической ракеты (при скорости 12 км!Сех) диаметр Земли (12 000 км) покажется укороченным всего на 1 см.
$ щ некОтОРые следствия из ФОРмул лОРенцА ЕЕ9 4. Замедление времени. Пусть в системе 5 на неподвижных в ней часах протекает время Т от 11 до !е. т =! — !» Ф Ф Найдем значения !» соответствующее !» и 1м соответствующее Гм в одной и той же точке с абциссой х' в системе 5'. По второй из формул (14) и Р ! — — 1 —— откуда У где Т =!я — 1,— отрезок времени, протекающий в системе 5', когда в системе 5 протекает время Т от 1! до !з! значит, Таким образом, временнбй интервал Т' между двумя событиями, происходящими в одной и той же точке системы 5', которая движется относительно 5, м е н ь. ше, чем время Т, протекшее между теми же событиями в системе 5.
Поясним этот результат на чертеже. Рассмотрим гиперболу хз — сз1з = — с'Т' (рис. 26), и пусть точка А лежит на пересечении этой гиперболы с осью 01; тогда ее временное расстояние от точки О, т. е. время, протекшее от события 0 до А, в системе 5 равно Т. ЕслиАА'!!Ох, то события А и А' одновременны в системе 5,Но в системе 5' время, протекшее от 0 до А', равноОА'! оно меньше ОВ, равного Т. Наоборот, точка В в системе 5' по времени удалена от точки О на интервал Т, Если ВВ !!Ох', то события В 2ТО специлльнля теОРия Относительности 1Гл. 1х и В' одновременны в системе В'; однако в системе 5 временное расстояние точки В' от О равно ОВ' — оно меньше ОА, равного Т вЂ” лоренцово замедление време. яи взаимно.
Если скорость О мала по сравнению со скоростью света, то это замедление времени в движущейся системе отсчета составляет всего †~ †/ — оно второго поряд- 2 1,с/ ка относительно —,, и обнаружить его практически невозможно. Так, земные сутки покажутся космонавту со- 1 кратившимися меньше чем на — сея. 1О ООО 5. Увеличение массы движущегося тела.
Мы не будем рассматривать дальнейших выводов теории относительности; упомянем еще только один феномен — увеличение массы движущегося тела. Если на тело действует постоянная сила, то скорость движения его в обычных условиях возрастает пропорционально времени действия силы. Однако, ввиду существования предельной скорости, эта пропорциональность не может сохРис. 26. раняться и при больших скоростях. При скоростях, сравнимых со скоростью света, дальнейшее нарастание скорости замедляется — тело как бы оказывает большее сопротивление действующей на него силе. Можно сказать, что масса тела увеличивается. При этом оказывается, что где т — масса движущегося тела, о — скорость его движения и те — масса покоя, т.
е. масса тела в той систе- Фз1 некотоеыв следствия из еогмтл ловенца 2т1 т ~/ 2— = 1000 Убта ) 2000та ~уг зо ~ьзо. 1о — увеличивается более чем в 2000 раз.) Мы рассмотрели движение точки по прямой линии. В общем случае, когда одна пространственная система отсчета движется относительно другой равномерно и прямолинейно, направление этого движения можно принять за направление оси Ох, и тогда в классической механике х'=х — И, у'=у, г'=г, а в теории относительности О у у =у, Пространство событий в этом случае четырехмерно. Сокращение длин (только в направлении движения) и замедление времени в движущейся системе отсчета про- ,Г,.з исходят в том же отношении 1 г 1 ~у' ме отсчета, относительно которой оно покоится.
Так, в современных ускорителях электрон разгоняется до скорости, отличающейся от скорости света всего на десятки метров в секунду, при этом его масса увеличивается в тысячи раз. (Действительно, если скорость электрона о отличается от скорости света, скажем на 30 м/сея, то масса этого электрона ГЛЛВЛХ ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП $1. Примеры групп. Определение группы Рассмотрим множество всех целых чисел. При с л ожен и и двух целых чисел получается снова целое число. Если одно из слагаемых равно (целому) числу О, то сумма равна другому слагаемому: а+О *а; для каждого целого числа а нротнвоположное к нему число — а (сумма которого с данным числом а равна 0) тоже является целым.
Операция сложения (в частности, целых) чисел коммутативиа (а+ Ь Ь+ а для любых двух чисел а и Ь) и ассоциативна ((а+ Ь) + с=а+(Ь+ + с) для любых трех чисел а, Ь, с). Далее, если из множества всех целых чисел выде. лить подмножество чисел, делящихся на данное число Ь, то и оно обладает такими же свойствами. Это множество тоже чзамкнуто» относительно чоперации сложения» — сумма любых двух чисел, делящихся на Ь, делится на Ь; зто множество содержит 0 (нуль делится на лю. бое число); и, наконец, если а делится на й, то и — а делится на й. Аналогичными свойствами обладают и множество всех рациональных чисел, множество всех вещественных чисел или всех комплексных чисел — каждое из них замкнуто относительно операции сложения; нуль является одновременно числом рациональным, вещественным и комплексным; для каждого (комплексного) числа а имеется противоположное к нему число — а такое, что а+ ( — а) = О, причем — а при вещественном а будет вещественным, а прн рациональном а — рациональным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
