Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Операции над тензорами 1. Сложение. Пусть даны два тензора одинакового строения а"„"',ч и а,'"',"",,. Сумма нх в каждой системе координат определяется равенством йпг" лч = апг' лч ) а" "'ч ь ьг" др ~ьгА - Ар ~ь ь " ьр' Легко видеть, что сумма двух тензоров будет тензором такого же строения. 2. Умножение. Пусть даны два тензора багги Лд ьггггг".ггг ьгьг .ьр ггг ° - га ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ |гл, чп! какого угодно строения. Произведение их в каждом базисе определяется как совокупность и"'а+'+' чисел |а|в .Лдт,т,...т, а|в|а .Лдот,тв...т„ 4!лв" лр|а| ° -|в лала" Лр |а| ° " |а Покажем, что произведение двух тензоров — тоже тензор (в нашем случае валентности р+у+г+з, р+з раз ковариантный и у+ г раз контравариантный).
Действительно, в новом базисе а'|""лд = с" с" ... с'р Ь|'Ьг|в... Ьгда '.*"' д 4|4 ° .. лр Ла ла лр а а |д | а ° »|р и а' ' °" = СЛ'Сл' СЛвй 'Ь ' Ь™вад'Е'"'Е". Н|а с;,еа еа ' е„л,л,лч поэтому, ваа °,Лд™,т,...т„а |ага...|давтата...т~ лал - 4;Ы'.Ла 4 4 ".лр |а| - га сл с," ,... с'рсйас"'... с",'Ь!'Ь|в... Ь'ЧЬ 'Ьь ., Ьт' Х М а" -|даввг'"дв вт |,|,...|р л,л,...л, с„' ... с'Рс"' ...
с".аЬ||а ... Ь дЬт' ... Ь ' '"'е""е'. ла''' лрСН ''' | |а ''' |д Еа ''' Е в||, |рлЛ,.„Л умножение тензоров не коммутативно. рассмотрим, например, произведение двух одновалентных ковариант- ных тензоров при и = 2. Координаты одного: а, и аы координаты другого: Ь! и Ьг. Произведение ст = а,܄— дважды ковариантный тензор, координаты которого сп = ОА, см — — а,Ь„с,| = О,ЬП сгг = агЬг.
Произведение тех же тензоров в обратном порядке— дважды ковариантный тензор с координатами двв = Ьва,: д|! — — Ьа, = а|Ь|( = сн), д|г = Ь!ад= агЬ,(= ом), дг! —— Ьга| — — а,Ьг(= см), дж = Ьгаг агЬг(= сгг), Он, вообще говоря, отличен от первого. Так как скаляр, т. е.
величина, во всех системах ко- ординат имеющая одно и то же значение, является тен- зором нулевой валентности, то при умножении тензора на скаляр (т е. при умножении всех координат тензора на этот скаляр) получается тензор того же с!роения. ОПЕРАЦИИ НАД ТЕИЗОРАМИ Вычитание тензоров одинакового строения сводится к умножению вычитаемого на — 1 и сложению (при этом получается, очевидно, тензор того же строения). 3.
Свертывание тензоров. Эта специфическая для тен- зоров операция определяется следующим образом. Пусть Дан, напРимеР, тензоР отвд. Выделим в нем два какие- и нибудь индекса, например, / и р (о д и н н а в е р х у, другой внизу), отберем среди всех координат тен- зора те, у которых эти индексы одинаковы, и сложим их все. Ьвы получим П 11 М ы атдд = отвд + отвд+ ° ° ° + ат»д = Ьтд — свертку тензора а1'„ло индексам 1' и р.
Так, например, тензор а;'» при л = 2 имеет восемь 1 11 1 в 'в в в кооРдинат аты атыавиа„, аги аио аы, а„. СвеРтываЯ этот тензор по индексам 1 и 1, будем иметь 1 В а,»+а,»= Ь„, В 1 В или, подробнее: Ь, = а„+ авм Ь, = а„+ а„. Свертывая тот же тензор по индексам в' и й, получим а;в=си т. е. В 1 В с,=а„+а„, с,=а„+а„. Покажем, что в результате свертывания тензора получается снова тел вор, имеющий на один нижний и на один верхний индекс меньше, чем исходный тензор.
Произведем, например, свертывание тензора а"р, по индексам)'ИР. ПУсть а;д= Ь д. В новом базисекооРди1д наты исходного тензора имеют вид ~И г в 1 1 д Е» а = стсрсдЬ»Ь»а»вь твд Выбрав координаты, у которых р = 1, и просуммировав по 1 = 1, 2, ..., л, получим и »111 е» Ь =а . =с с;с,ЬАЬ»ат1. твд тдд Но с,"Ь» = 6», а Ь»а'1~ = а~й = Ь„'1.
Следовательно, д Ь = с сдЬеЬИ. В общем случае доказательство аналогично. ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРХХ [ГЛ. ЧН1 Операция свертывания может быть применена к теизору и несколько раз. Так, например, свертывая тензор а21122, при л=2 по индексам [ и о и по индексам й и р, получим тензор а,'=а2112„или, подробнее: а, = агн + аил + а„', + а',21, 1Н 2Н О2 М2 а,=а„,+а„, +а„,+амм 1 111 211 112 212 а, = агм+ а;"„+ а„, +422. 2 121 221 М2 222 2 121 221 122 222 а, =асп+аем+ агн+а„„ При р-кратном свертывании тензора р раз ко- и р раз контравариантного получается, очевидно, инвариант, или скаляр,— величина, не зависящая от выбора базиса. Это †од из способов получения численных инвариантов. Так, при свертывании тензора а), определяющего линейный оператор А, получаем инвариант а,', называемый следом оператора (след а,' †э сумма элементов главной диагонали матрицы А; его инвариантность мы уже установили в 5 8 главы П1: а'; — это коэффициент при )." ' характеристического многочлена оператора А).
Особенно часто операция свертывания применяется по отношению к произведению двух тензоров — по ин. дексам, взятым в р а з н ы х с о м н о ж и т е л я х. Если произведение тензоров с2~1 и ф" свертывается по ии. дексам 1 и й, мы будем говорить короче, что тензоры а'; и р22'" свертываются ло индексам / и л. Так, например, при свертывании теизора а, (определяющего линей. ный функционал [(х)) с вектором х = (х', х', ..., х") получается скаляр а[х1, равный, очевидно, )(х). При двукратном свертывании тензора асп определяющего билинейный функционал А (х, у) с парой векторов х = (х', х', ..., х") и у = (у', у', ..., у"), получается скаляр а„х1уг, равный значению функционала А (х, у) для данных векторов х и у.
При свертывании тензора а,', определяющего линейный оператор гс с вектором х=(х', х', ..., х"), получается контравариантный тензор у'=а,'хт. Как следует из й 1 главы П1, это — заданный своими координатами у' преобразованный вектор Ах. Пусть даны два тензора а[1 и о22, определяющие соответственно линейные операторы А и З. Свертка их Ф»1 танзогы в ввклидовом пгостг«истаа 237 по индексам 1 и )» — смешанный двухвалентный тензор а»]»м тоже определяющий, следовательно, некоторый линейный оператор Я).
Легко видеть, что оператор Ы равен произведению .ягЯ операторов Ф и Я (в смысле $2 главы 1П). Свертка а,'Ь~» тех же тензоров по индексам» и й соответствует произведению ЯФ тех же операторов в о б р а т н о м порядке. 4. Симметрирование и альтврнированив тензора. ПустьА»,»,„,»« — произвольный тензор, у которого выделены какие-то й индексов»», »з, ..., »„— все только верхние илн только нижние. Тогда тензор 1 А(»,»,„»„) — — —, ~ Аи», »«, Р» -"»«) где, суммирование распространено по всевозможным перестановкам 1», 1», ..., », выделенных индексов, будет, очевидно, симметрическим, а тензор 1 ~» 1»1»з ° -,»«] А(»,», в«]= «1,~~ ( — 1) ' ' ' А»„», и« (' » "- '«) — кососимметрическим. Операции получения тензоров А(»,»,„,»„) и А]»,»,...»«] из данного тензора А»,», н, называются соответственно симмвгрированием и альтернированивм тензора А»,» ° н,по индексам 1», »з, ..., »;.
Так, на стр. 191 билинейный функционал В(х, у) был получен симметрированием, а С(х, у) — альтернированием билинейного функционала А(х, у). й 4. Тензоры в евклндовом пространстве Пусть теперь )» — и-мерное е в к л и д о в о пространство. Конечно, все, что говорилось о тензорах в произвольном векторном пространстве, распространяется и иа этот случай. Но тензоры в евклидовом пространстве обладают еще и некоторыми специфическими свойствами. В евклидовом пространстве )т для любых двух векторов х, у определено их скалярное произведение (х, у), являющееся симметрическим билинейным функционалом.
В заданном базисе в», вм ..., е„оно представляется язв ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ [Гл. чн[ симметрической билинейной формой (х, у) = у<Ах'у4, где д„= (е<, е,). Взятые во всех системах координат величины й«„образуют, как мы видели в $1, дважды ковариантный тензор, который называется (ковариантным) метрическим гензором пространства [<1.
Свертка метрического тензора д,„с вектором х = (х', хт, ..., х") Х< = у<<ХА (16) является одновалентным ковариантным тензором. Числа х, также определяют вектор х, т. е. в некотором смысле тоже являются его координатами; их можно назвать к о в а р и а н т н ы м и к о о р д и н а т а м и вектора х, в отличие от его контравариантных координат х'. Выясним геометрический смысл ковариантных координат.
Так как х, = у„х* = (е„ е,) х" = (е„ е„х") = (е„ х), то ковариангные координаты х< — зто проекции вектора х на базисные векторы. (Напомним, что контравариантные координаты вектора х — это коэффициенты его разложения х= х'е, по базису е<, е<ь ..., е„.) В ортонормированном базисе (1, если <=й, к<4' <' 4) 1() если 1 ~ й и значит, х, = х', т. е. ко- и контравариантные коорди.
наты вектора совпадают. Двойная свертка у„х<у< метрического тензора с векторами х=(х', х', ..., х") и у = (у', ут, ..., у")— это скалярное произведение (х, у); двойная свертка у„х'х" его с вектором х — скалярный кв а- др т (х, х) вектора х. Определитель [у<4~ матрицы (д„~ отличен от нуля. Действительно, при переходе к новому базису ранг мат. рицы билинейной формы, в том числе и матрицы (у<41, не меняется. Но в ортонормированном базисе матрица [у<41 — единичная, и ее определитель равен 1; следова- Зл1 твнзогы В евклидовом пгостглнствн 239 тельно, и во всех других базисах определитель матрицы [у„отличен от нуля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
