Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 33
Текст из файла (страница 33)
если Л,—. < 0; но так как 6) 0 ь Л, — одного знака с з, то это будет, если зб ( О. Кривая будет «мним ым эл липеем» в том случае, когда Ь ~ О. Если же 6 ) 0 и гЛ = О, то кривая представляет собой точку. Если 6(0, то кривая является гиперболой прн 6 чьО и распадается на пару пересекающихся прямых при б = О. Для п а р а б о л ы, уравнение которой приведено к ви- ду ()о), о о ь, гЛ= о л о = — ЬЛ, ь, о о 2)4 кРиВые и пОВеРхнОсти ВТОРОГО пОРЯдкА )Гл.
Уп откуда ь,= Лгут+ с = О. В этом случае оо о) Л= о л, О~=О. 0 0 с Соберем результаты двух последних параграфов в следующую таблицу: ЛФО вб<0. Эллипс б>0 Кривая эллиптического типа вб,»0. «Мнимый эллипс» Точка (пара пересенающихся в в этой т щке «мнимых прямых>) Л=-0 Гипербола Л~О б<0 Кривая гиперболического типа Пара тересекающнхся прямых Л=О б=о Кривая параболичес кого типа Парабола Пара параллельных прямых (раэлнчных, совпахающих или «мннмыт») Л=О Из этой таблицы, в частности, видно, что определитель Ь равен нулю в том и только в том случае, когда кривая распадается на пару (действительных или «мнимых») прямых. П р и м е р и. Определить типы следуюигих кривык и привести ик уравнения к каноническому виду.
!. Зхг — 2ху+ Зу'+ 2л — 4у+ ! = О. 2. Зх' — 2ху + Зу'+ 2л — 4у + 2 = О, 3. х'+ у>+ 2к + ! О. 4. л'+ 2«у — у' — бк + 4у — 3 = О. 5, к>+ 3«у+ 2у'+ 2л+ 5у — 3 = О. Здесь Ь! Ф О и, значит, Ь ~ О. В случае пары параллельных прямых (различных, совпадающих или «мнимых») уравнение кривой приводится к виду 4 т! ИНВАРИАНТЫ КРИВОИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 216 6. х' — 2ху + у'+ 4х — бу + 1 = О. 7. хт+ 4ху+ 4у' — 2х — 4у — 3 О. 8.
х'+ 4ху+ 4у' — 2х — 4у+ 1 О. 9. х'+ 4ху+4у»+ 2х+ 4у+ 2 = О, Решение. это — кривая эллиптического типа. Так как 3 — ! 1~ 6= — 1 3 — 2 = — ЗчеО, 1 — 2 1 то кривая не распадается. Поскольку а = 3+ 3 = 6 и эЛ = — 18 ~ ( О, то кривая представляет собой эллипс. Далее, ~р(Х) Ат — э!с + 6 Х» бд + 8 0 Х = 3 ~ 1, Л~ = 4, !сэ = 2. Каноническое уравнение кривой ш ,а 3 32 , !6 + 2у — в = 0* з ' + з полуоси этого эллипса '$/3 а==яеОЗ; 4 !/2 1/з Ь= — яе0,4, 4 ! ! 31=>! Злесь кривая не распадается Так как э 6 и »Л =- ЗО > О, то это — енин. мыд эллипс» !»пустое множество» точек!.
6 = ~ 0 ! ~ = 1 ) 0; 3. кривая эллиптическш о типа. )1 0 ! 6=10 ! 0 =О. ! 0 ! крнвая эллиптического типа. 6 = — 1 — 1 1 3 — 2 =зчьО! — 2 2~ 215 КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. РП Эта кривая, уравнение которой можно записать в виде (х+1)»+уз О, представляет собой точку х= — 1, у=О (ее можно также понимать как пару пересекаюшихся в этой точке чинимых прямых» х+ [у+ ! 0 и х — [у+ 1 0). 5=~ !)= — 2<0; кривая гиперболического типа. Поскольку 1 1 — 3) б= 1 — ! 2 = — 1~0, — 3 2 — 3 то это — гипербола. [[злее, з = О, 5 = — 2 и <Р(й) = йз — 2; )„ = '$/2, йз = — 1/2, Каноническое уравнение кривой ! 1/2х'з — ')/2у'з + 2 = О, или 2 '1' 2у' — 2 1/2х'з = 1; полуоси этой гиперболы а Ь из 0,5, 3 1 2 3 — 2 2 ! 4 <О! кривая гиперболического типа.
Здесь 3 2 3 2 5 2 =0 5 1 2 х' + Зху+ 2у'+ 2х+ 5у — 3 = хз+ (Зу+ 2)х+ 2у'+ 5у — 3 = 0 решим относительно х (так как уже известно, что левая часть Трав. пения распадаезся на линейные мнол игели, то х будет рационально и, значит, кривая распадается на пару пересеяаюи[ихгя прямых, Сле- довательно, левая часть уравнения кривой распадается иа два ли. нейных множителе. Чтобы найти эти множители, можно поступить, например, следующим образом, Уравнение 217 % в! ИНВАРИАНТЫ КРИВОИ ВТОРОГО ПОРЯДКА выражаться через у): — ( ~ у+ 1) ~ ~ 2 у — 2), х> — у 3, хе= 2у+1 ° Левая часть уравнения распадаетсн, следовательно, на множители: (х+ у+ 3) (х+ 2у — 1) О, и кривая распадается на пару прямых: х+у+3=0 и х+2у — 1=О.
Ь=~,,~=о! кривая параболического типа. Так.как 1 — ! 2) Ь= — 1 1 — 3 = — 1~0, 2 — 3 ! то это в парабола. 11алсе, /'Т а=2, Ь=О Я ф()ь)=)е — 2Х, Хь=О, Ля=2, Ь,=+ $/ Каноническое уравнение кривой: 2у" ~ )Г 2х' = О, или у' = ~ — х', )72 Ь=(2 4)=0' нривая параболического типа. 1(алее А= 2 4 — 2 =О, вта кривая распаднется па лару ипраллельных лрямыхг х+ 2у+ 1 = О, х+ 2у — 3 = О. =!' '1=' кривая параболического типа. Здесь Ь= 2 4 — 2 =О, 2(8 КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА [ГЛ. ЧП я наша кривая состоит на двух совпавших прямил: ! (х, у) = (х+ 2у — !)ь = О, х+ 2у — ! = О, б=!2 4!=О кривая параболического типа.
Здесь Л= 2 4 2 =О; вта кривая представляет собой «пустое множество» точек. (Ее уравненне можно переписать так: ((х, у) = (х+ 2у+ !)'+ ! =(х+2у+ (+ О(я+2у+ ! — О =О, говорят поэтому, что она представляет собой «пвру пвраллвльямх мпимьи пряммх»). й 3. Определение центра и главных осей центральной кривой. Отыскание вершины и оси параболы В этом параграфе мы будем предполагать, что Л чь О, т. е. что кривая не распадается на пару прямых. Пусть дано обшее уравнение второго порядка (!). Найдем собственные значения ль лг матрицы (4) и соот- Р ветствующие им собственные векторы е„е,. Мы знаем, что в базисе, образованном этими векторами, квадратичная форма аих'+ 2а,гху+ а,гу' приводится к сумме квадратов л!х" +)гу', а уравнение (!) — к виду (6), Ф Собственные векторы е, и е, матрицы (4) находятся, как известно, из систем уравнений ! (а„ вЂ” йг) х, + а, у, = О, (а„ вЂ” ).г) хг + а„уг = О и а„х,+(а„— й)У,=О аггхг+ (а„— )ьг)уг=О каждая из которых, поскольку ее определитель равен нулю, сводится к одному уравнению, например, (аи — 1,) х! + а гу, = О для первой системы; (аи — йг) хг + а!гуг = О для второй системы.
1 3! ОПРЕДЕЛЕНИЕ НОВОЙ СИСТЕМЫ КООРДИНАТ 219 У Следовательно, для е, = (х„у,) имеем У Х вЂ” ам х аы а для е, = (х„уа)— У, Х1 — аи Х1 аМ Таким образом, угловые коэффициенты новых осей координат в старой системе равны й, = (для новой оси х, соответствующей Х1) А — а 11 и Х вЂ” ам й, = (для новой оси у, соответствующей Хе). а, В дальнейшем достаточно, как мы видели, лишь пе- реноса начала координат для того, чтобы уравнение кривой привелось к каноническому виду; следователь- но, й, и й1 определяют направления главных осей кривой (1).
Предположим, что мы рассматриваем центральную кривую второго порядка, т. е. что 6 чь О. Для того чтобы найти центр кривой, т. е. начало ноьой системы ко- ординат, воспользуемся следующим элементарным со- ображением. Мы уже видели, что если, не меняя направлений осей, перенести начало координат в точку (а, 6), т. е, если положить х=х'+а, у=у'+р, то уравнение (1) приведется к виду а„х~+2а„х'у'+ аеиу" +!. (а, р) х'+ ~„(а, р) у'+ г(а, р) =О. Рассмотрим систему уравнений ! к — !' (х, у) = анх + аг,у + а, = О, ! ~ !'„(х, у) = а„х + а„у + а, = О. Так как ее определитель 6, по предположению, не раасн нулю, то она имеет (единственное) решение а, (3.
ЕЛО КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ ГН! Если перенести начало координат в точку (а, р), то в уравнении кривой исчезнут члены с первыми степенями х', у', и значит, новое начало координат будет центром кривой. Таким образом, центр центральной кривой второго порядка (эллипса и гиперболы) определяется из системы уравнений (15). Рассмотрим теперь н е ц е и т р а л ь н у ю кривую второго порядка (при 6 = 0). Так как мы условились, что ГЛ Ф О, то это — парабола. Собственные значения матрицы (4) пусть будут Л! = 0 и ЛВ, направления новых осей определяются по-прежнему: Л вЂ” аг, ан й! = = — — (для оси Ох', соответствующей Л, = 0) а!а аи Л, — а„ й,= ' " (для оси Оу', соответствующей ЛВ).
ам Новое начало координат, т. е. веригину (а, р) пара- болы, можно найти следующим образом. Х(ля параболы, заданной каноническим уравнением уз = 2рх, ось Оу служит касательной в вершине. Новая ось Оу в старых координатных осях имеет угловой коэффициечт Лг а,! й, = ' ".Так как она служит касательной к параболе в а, ее вершчие (а, р), то йг должно равняться производной у„в этой точке.
Чтобы найти у„продифференцируем уравнение (1) по х, считая у функцией от х; мы получим 1„ (х, у) + 1„ (х, у) у, = О, или, подробнее, г (а„х + а „у + аг) + (а„х + а, у + а,) у„= 0 откуда а х+а, у+а, ух = аггх+ а,у+ а Следовательно, в вершине (а, р) параболы ана+а, В+а, хх !1 откуда (а,!а+ агг() + а ) + йг(а га + аагр + а;) = О, $4] ИССЛЕДОВАНИЕ УРАВНЕНИЯ ПОВЕРХНОСТИ 221 или, короче 7' (а,р)+ нз7„(а,р) = О. Таким образом, координаты вершины (а, р) параболы можно найти, решив систему уравнений, состоящую из уравнения 7'„(х, у) + й~„(х, у) = О (16) и уравнения (1) Выясним геометрический смысл уравнения (16), в более подробной записи имеющего вид (азгх+ амУ+ аз) + йз(азгх+ аззУ+ аз) = О.
Это — прямая, принадлежащая пучку, который определяется прямыми апх+ а„у+ а, = О и азах+ азу+аз = О. Угловые коэффициенты — —" и — —" этих прямых зз оы равны между собой, так как 6 = О, и равны йб следовательно, эти прямые параллельны новой оси Ох. Значит, и принадлежащая определяемому ими пучку прямая (!6) тоже параллельна новой оси Ох. Но так как она проходит через вершину, то это — ось симметрии лараболы, ее главный диаметр. й 4. Исследование обндего уравнения поверхности второго порядка В этом параграфе мы будем заниматься только приведением общего уравнении поверхности второго ворвдка к каноничесному виду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
