Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Предположим, что в базисе е„е„..., е„квадратичная форма А (х, х) имеет внд А(х, х)=х,'+х;'+... +х,' — х'„,—...— х„'„(3) где х, †координа вектора х в этом базисе; и пусть в другом базисе е,', е,', ..., е„': А(х, х)=х +х,'+... +хе' — х~'+,—...— Хь',щ, (4) где х; — координаты вектора х в новом базисе. Пусть, например, р > й.
Рассмотрим в пространстве )( подпространство Йо порожденное векторами е„е„..., ер, и подпространотво )с„порожденное векторами е„'„, еь,м ... е„'. Так как сумма их размерностей, равная р+ + (и — я), больше л, то их пересечение имеет ненулевую размерность (теорема 5 из 3 9 главы П), т. е. существует вектор х ~ О, принадлежащий )ч, () Й,. Этот вектор можно представить как в виде х=а,е,+а,е,+... +арер, так и в виде х = ~ь~д~~+рь д~~+...
+ р„е„. Для вектора х по формуле (3) А (х, х) =а',+а,'+... +ар> О, так как хотя бы одно из а, Ф О; в то >ие время по формуле (4) А (х, х) = — ߄— ߄—... — рь', < О 195 ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ (последнее неравенство — нестрогое, потому что возможно, что й + гп ( и). Мы пришли к противоречию, откуда и следует, что р < й. Аналогично получаем и неравенство р ~ й. Следовательно, р = 7е. Так же доказывается, что о = пз.
Легко видеть, что сумма р+ о равна рангу г квадратичной формы А(х, х). разность р — д называется с и г и а т у р о й формы А (х, х). $4. Определенные формы Определение 2, Квадратичная форма А(х, х) называется положи тельно (отри ца тел ь но) о иредел енной; если А(х, х)> 0 (А(х, х)(0) при всех х ныл, и положительно (отри ц а тел ь но) пол уопределенной, если А(х, х) )0 (А(х, х) ~0) при всех х. Так, если А (х, у) = (х, у) — скалярное произведение в евклидовом пространстве, то соответствующая квадратичная форма А(х, х) = (х, х) (скалярный квадрат вектора х) является положительно оп редел е иной. Ясно, что положительно определенная квадратичная форма приводится к сумме квадратов с положительными коэффициентами, а положительно полуопределенная форма — с неотрицательными коэффициентами (некоторые из которых могут равняться нулю).
Важным условием положительной определенности формы является следующая Теорем а 3 (критерий Сильвестра). Для того чтобы квадратичная форма А(х, х) была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобьл были положительны все «угловые миноры» матрицы А = (аз), т. е. чтобы-имели место неравенства хх1 — — ан > О, оннззпсз зз~зз зз Д о к в з з з е х ь с т в о проведем индукнней по числу входиших в фо му переменных. Д.
ли квлдрзтнчной формы, зввисишей от одной переменной, Л (х, х) = н,хх, и маше утверждение очевидно, Предположим, что 3 7* 196 БИЛИНЕЙНЫЕ И КИАЛРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ (ГЛ Ч! оно справедливо длн всех квадратичных форм, зависяших от а — 1 переменных, и рассмотрим квадратичную форму А (х, х) = и и „х,хь, зависншУю от пеРеменных хь хх, ..., х . 1,1=1 ! Доказательство необходимости. Если представить положительно определенную форму А(х, х) в виде и-1 и-1 А (х, х) = ~ а!вх х„ + 2 ~~ а „х хи + аи„хз„ 1,1=1 1=1 )л пы Д,=ам> О, ~ "Ы Пзз >О, аы аж ...
а Лгв Пзэ ° ПЗ, -1 ,Ьи 1= > О. а ав,и-т ' ' ' и-Ми-1 л Остается доказать, что и б = (А! > О, Мы знаем, что положительно определенная квадратичная форма А (х, х) в некотором базисе с, е, ..., е„ приводится к сумме квадратов А (х, х) = х', + х' + ... -(- х'и. В этом новом базисе определитель ее матрицы равен 1 и, значит, он больше нуля. Однако при перехоле и новому базису матрица били. нейной формы преобразуется по формуле (стр.
189) В = С'АС, где А — ее матрица в старом базисе,  — в новом н С вЂ” матрица перехода от старого базиса к новому Следовательно, (В( (С ((А((С! (А((С(1 (5) Но так как (С( чь 0 и (В( > О, то и (А( =- (), > О. 2. Доказательство достаточности. Предположим, что все угловые миноры матрицы квадратичной формы А(х, х) и-1 то квадратичная форма В(х' х') = У. а. х.х, завнсяшая от и — 1 .и> !1 1 Ь' 1,1=1 переменных х!, хз, ..., х ! (и рассматриваемая, конечно, в (и — 1) мерном пространстве), будет положительно определенной, таи как если В (х', х') ( 0 прн х' = (х!, хь ..., х ,), то при х = = (хь хь ..., х„, О) мы имели бы А(х, х) ( О.
По предположению индунции, все угловые миноры матрицы квадратичной формы В(х', х') положительны, т. е. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ФОРМЫ положительны: а1 ) О, аа > О, ..., а, 1) О, а = )А) ) О, н докажем. что квадратичная форма А(», к) положительно определенная. Из предположения индукции вытекает, прежде всего, положительная определенность квадратичной формы В (к', к') »-1 а,„х,х„ог л — ! переменныа (в (л — !)-мерном простран- 1,»-1 стае). Следовательно, В(х', к') в некотором новом базисе приводится н сумме квадратов: В (к', к') = к, + к + ... + к„ Сделав соответствующую замену переменны» »1, кь .. к., и положив, кроме гого,х» = хгп мы получим ,а ,а ,а А(х, х) х +х + ...
+ к„+ +2(Ь1 хтх»+Ь „х х»+ ... +Ь» х' х')+и к', где Ьг„— какие-то новые коэффициенты. Далее имеем А (*, «) = (» + Ь, „к„') + + (ха + ба и»») + + (к» 1 + Ь» 1»х») + Ьк» где, очевидно, Ь= а„„вЂ” Ь໠— Ь „—... — Ь„», н, полагая а а г хг+ Ьг„.т'„= у„г = 1, 2,..., п — 1, х» = у» (что соответствует перекопу к новому базису, с мзтрипей, апреле. литель которой равен единице), получим А(к, х) =уз+уз+ ... +уа +Ьуа. Определитель матрицы этой квалратичной формы ранен Ь, а так как знак его, как видно вз формулы (5), совпадает со знаком йю то Ь > О, и значит, кнадратнчная форыа А(х, х) — положительно определенная. Теорема доказана.
Теперь нетрудно найти н условия отрицательной оп» ределенноети квадратичной формы А(х, х)= ~ аа»х1х». 1.»=1 Для того чтобы квадратичная форма А(х, х) была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма » — А (х, х) = ~ ( — ап,) «,х» 1,»=1 !Еа БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ !ГЛ ЬЧ была положительно определенной, а значит — чтобы все угловые миноры матрицы — а — а ...— а т! !з ''' тя — а — а ...— а ы ы ''' зп — а — а ...— а зп Зп' пп т.
е. — а — а ...— а и И ''' тп — а — а ... — а ы ы' зк — а — а ...— а зч Зч ''' чч были положительны. Но это означает, что Ьт=атт(0, Ьз=!д д (>О, ! дтз дзз аы азз дтз 1 Ь,= атз азз ааз1 т. е. что знаки угловых миноров матрицы А чсредуются, начиная со знака минус, П р и м е р. При исследовании на экстремум функции г(х, у, г) = 2х'+ у'+ 1!гз — 2ху+ 4 кг — буг — 2у+ бг, находим, что ее частные производные обрашаются в нули при х=1, у=2, г=о. Второй дифференциал функции Е(х, у, г) имеет вид азГ = 2 (2дх! — 2ах ду + с)уз + 4ах !!.
— ба у с!г + 1 ! агз) . В скобках — квадратичная форма относительно дифференциалов не- вависниых переменных ах, ау, аг. угловые миноры ее матрицы положительны Следовательно, эта квадратичная форма положитель. но определенная, к заданная функция имеет в точке (1, 2, 0) м ни и м у м. Ф з1 ФОРмы В евклндовом пьосте»нстве 199 $5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве Лемм а. Пусть )х (ве«цественное) евклидова прост- ранство и С = [с,„] — матрица перехода от одного ор- тонормированного базиса е«, ем ..., е„к другому, тосте Р ортонормированному базису е„е„..., е„. Тогда С вЂ” ор- тогональная матрица. Доказательство. По условию, Ф е« = с,«е, + сме, + ...
+ с„;е„, ( = 1, 2 ..., и, Рассмотрим линейный оператор У с матрицей С в бази- се е«, е«ь ..., е„. Мы имеем Б»е« =с««е« + с»«е, + ... + с «е„ = е«, « = 1, 2, ..., и, Но оператор У, переводящий хотя бы олин ортонор- мированный базис в ортонормированный же,— ортого- нальный (см. 5 4 главы Ъ'). Следовательно, С вЂ” ортого- нальная матрица. Пусть теперь в евклидовом пространстве «г выбран ортонормирова нный базис е„е,, ..., е„, н пусть дан билинейный функционал А(х, у), ко~орый в этом базисе представляется билинейной формой я А(х,у) =- ~ амх;у», «,»=« где х = х,е, + х«е»+...
+ х„е„, у = у,е, + у,е, +... ... -1- у„е„. Рассмотрим линейный оператор,Ф с т о й же матрицей А в том же базисе е„е,, ..., е„. При переходе к новому базису е,, е,, ..., е. с матрицей перехода С матрица А билинейной формы перейдет в С'А С, а матрица линейного оператора Ф вЂ” в С-'АС, т. е., вообще говоря, эти матрицы преобразуются не одинаково. Однако если новый базис е,, е,, ...,е„— тоже ортонорм прова нный, то матрица перехода С ортогонзльна н С'= С '.
В этом случае матрица ЕОО ВИЛННЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ (ГЛ. У! билинейной формы А(х, у) н матрица линейного опера- тора лб преобразуются од и н а к оно. Таким образом, в евклидовом пространстве каждому билинейному функ- ционалу соответствует вполне определенный линейный оператор (имеющий ту же матрицу в любом ортонорми- рованном базисе).
Если А(х, у) — симметрический билинейный функцио- нал, то соответствующий линейный оператор дв будет самосопряженным. Но матрица самосопряженного опе- ратора в некотором ортонормированном же базисе при- водится к диагональному виду с собственными значения- ми 711, 712, ..., )с„на главной диагонали. При этом, если и л х = ~р~ х,еь у = ~ч'.~ у,е(, 1=1 2=1 л то билинейная форма А (х, у) = ~ 7!!х!у!, а соответствую- щая квадратичная форма А(х, х) приводится к сумме квадратов: )С!Х! + 7 2Х2 ( . ' + 7 лял' П р и м е р.
Квадратичную форму А (х, х) = ббх' — 24ху + 59уэ в евкпадовом пространстве (тэ переходом и новому ортонормировапному базису привести к сух!ме квадратов. Р е ш е н и е. Характеристический миогочпен матрины А этой формы 1 66 — Х вЂ” 12 ф (л) = ! ! 2 59 1 ~ = л~ — 125Х + 3750. Его корни Х, = 75, Хэ = 50. В новом базисе (состояшем из собственных векторов ооерато: ра А, соответствующих собственным значениям Х, и Хэ) А (х, х) = 75х, + 50у, . Легко видеть, что квадратичная форма А(х, х) тождественно равна скалярному произведению (.~ух, х). Выше мы назвали положительно определенным самосопряженный оператор с положительными собственными значениями. Ясно, что для того чтобы самосопряженный оператор дб был положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы была положительно й е) ФункциОнАл В кОмплекснОм пРОстРАнстВБ 2б) определенной соответствующая квадратичная форма А(х, х), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
