Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 25
Текст из файла (страница 25)
е. задано скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1 — 4 из $1). В пространстве А" можно определить расстояние между любыми двумя его точкамн, М и Ф, полагая его равным модулю вектора ММ, а в случае вещественного пространства — и угол, МРР), считая его равным углу между векторами РМ и РИ. Пространство А" с введенной в нем таким образом метрикой называется просто евклидовым пространством (в отличие от введенного выше евклидова в е к т о р н о г о пространства ') .
Таким образом, и-мерное евклидово пространство мо. жет быть определено с помощью следующих пяти групп аксиом: 1. Аксиомы сложения векторов (1 — 4 на стр. 64), г) Которое, впрочем, для ираткости (и если нет опасности смешеяия этих двух понятий) также называют нороче — евклидовым пространством. гл. !т 158 ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО П. Аксиомы умножения вектора на числ о (б — 8 иа стр. 64). 1П. Аксиома р аз мерности: существуют л линейно независимых векторов, но нет больше чем и линейно независимых векторов (ср. стр. 66). Н, Аксиомы, связывающие векторы и т о ч к и (1 — 2 на стр.
83). Ч. Аксиомы скалярного умножения (1 — 4 на стр. 144 †1). Можно показать, что все а-мерные евклидовы пространства над одним и тем же полем тоже «устроены одинаково» (изоморфны и изометричны между собой). В частности, при а= 2 это — обычная плоскость, прн а = 3 — обычное трехмерное пространство.
а) Рис. !!. Пусть в вещественном пространстве А" заданы Ьмерная плоскость )г1, проходящая через начало координат: а„х, +а„х, +...+а,„х„=О, а„х, +а„хе + ... +а,„х„=О, (6) а„„х, + а„„х»+ ... + а„„х„= О (й-мерное надпространство) и точка Х(й!, $е, ..., $.).
Тогда вектор х= ОХ можно представить в виде х= = у+г, где уа)11 и ген Я~ (рис. 11,а). Длина вектора й 4] ЕВКЛИДОВО (ТОЧЕЧНО. ВЕКТОРНОЕ) ПРОСТРАНСТВО 159 г называется расстоянием точки Х от подпространства )с). Пусть теперь в А" заданы п р о и з в о л ь н а я й-мер. иая плоскость ап а„х, +а„х, +...+а,„х„=Ь„ а„х, +а„х, +...+аачха =Ь„ а„,х,+а„,х,+ ... +а„„х„= Ь„ н точка Х ($), йт, ..., $„).
Плоскость п получается из соответствующего ей подпространства )т) )то,определяемого системой уравнений (о), параллельным пере. носом на некоторый вектор Ь. При этом точка Х получается переносом на тот же вектор Ь из некоторой точки Х, (и, значит, ОХ = ОХе+ Ь; см. рис. 11, б). Р а с с т о я н н е точки Х от й-мерной плоскости и естественно считать равным расстоянию точки Хо от подпространства по =Й). (Можно показать, что расстояние точки х от й-мерной плоскости и — это н а и м е н ь ш е е из расстояний точки х от всех точек плоскости и). й-мерная плоскость и) и 1-мерная плоскость пт артогонплвны, если ортогональны соответствующие им подпространства пои пея.
В этом случае каждый вектор МУ, где точки М, й)еи и), ортогонален ус каждому вектору РО,, где Р, О ~ енпа (рис. 12). )т Пусть в вещественном прост- дг Я) ранстве л" выбрана о р т о н о р и и р о- ).дг~" ванная система координат. Рассмотрим линейное уравнение тгг а~я~+паха+... +а„х„=а, (б) ковффипиенты аь ат,...,а„ левой части гк которого не равны нулю одновременно. Это уравнение определяет некоторую г ипв р плос к ос т ь и (см. стр. 86), которан получается ва надпространства пе.
Рнс. 12. а,х,+пата+... +а„х„=б (7) (гиперплоскости, проходящей черен начало координат) переносам аа некоторый вектор Ь (Ьь Ьт,...,Ь,). Координаты вектора Ь удовлетворяют, как мы знаем, уравнению (б): агЬ! + агЬг + ... + а„Ь„= а !бО ВВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО (гл. !в (см. стр. 79). Последнее равенство, положив а (аь аь,, а ), можно переписать в виде аЬ = а. (8) Вектор а ортогонален подпространству по, так как для каждого вектора х (хь хь ..., х„) ом по скалярное произведение ах = а,х1 + +азха+... +а„х„О. Положим М ж ) а ( ~ 1' аз+ аз+ ... + аз, причем знак здесь выберем так, чтобы а/М = р было неотрипательно. (Если а О, то знак может быть выбран пронзвольно.) Уравнение ат ао а — х+ — х+...+ — х„— — =О з называется нормальным уравнением гилернлоскосги и.
Вектор ло а/М является, очевидно, единичным вектором (т. е. вектором дли. ны 1), коллинеарным а, и значит, ортогональным по. Пусть теперь нам дана точка Х(йь $о, . , $ь) и надо найти расстояние точки Х ог гинернлосносги и. Точка Х получается сдвигом на вектор Ь нз некоторой точки Хь Это значит, что ОХ = ОХо + Ь (см, тот же рип !1, б). Теперь нач остается найти расстояние от точки Х, до надпространства по. Пред. ставим вектор ОХо в виде ОХо = у + г, где у оп и„ а г Л пь Тогда искомое расстояние будет равно длине вектора г. Но вектор г, как и вектор т, ортогональный по, коллннеарен т и, значит, найдется такое число Л, что г = Лт. Так как вектор т — единичный, то искомое расстояние, равное (г(, равно (Л(.
Итак, мы имеем равенство ОХ = у + Лт+ Ь. Умножим его скалярно иа т: ОХ ° т = уло+ Лто+ Ьт. а а Но ут = О, так как у а и, а т.1 ло', т' = 1 и Ьт = Ь вЂ” =— о 'М М вЂ” Ы вЂ” а (см. (8)). Следовательно, ОЛ т =Л+ М, отнуда А= ОХ т — —. Наконеи, скалярное произведение ОХ т в координатах равно в заачит (аД, + восо+ ... + а„й„— и) !Л(— у",+",+ ..+"„ Таким образом, для того чтобы найти расстояние от гочки до гинернлоскосги, надо подставить координаты агой точки в левую часть нормального уравнения гилерняоскосги и еэягь полученную величину но модулю.
(Вспомните формулу расстояния от точки до прямой на плоскости н от точки до плоскости в пространстве!) 4 41 евклидово <точечно.векторное! пространство 151 Гиперсферой в евклидовом пространстве Ая называется сова. купирсть всех точек, отстоящих на одно и то же расстояние г (радиус гнперсферы) от некоторой фиксированной точки!) (центр а). Уравнение гиперсферы радиуса г с центром в точке () (аг, аз, ..., а„) в оРтоноРмиРованной системе кооРдинат, как легко видеть, имеет вид (хт — ат)з+(хз — аз)з+... +(х„— аа„а==а.. Следовательно, гнперсфера является частным случаем поверхности второго порядка (ср. главу Ч!1).
Гиперсфера 3 агсагшся гнперплоскосги и, если онз имеет с этой гиперплоскостью единственную общую точку. Задачи. (Задачи 1 — 7 относятся к четырехмерному пространству; система координат везде ортонормнроваиная.) !. Найдите расстояние точки ( — 1, 3, 5, 1) от начала координат, от координатных осей, от координатных (двумерных) плоскостей н от кооодннатных гнперплоскостей. 2. Найдите точки пересечения прямых х — 1 у+3 г — 1 1 а) 1 3 4 5 ' х — 1 у+3 г — ! 1 — !7 б) 2 3 4 5 х †! у+3 г — 1 1 в) — =— 2 3 4 5 с гиперплоскостью х+Зу — 4г+1=5.
3. Найдите условия, при которых прямая х — «з у — уз г — гз 1 — 1з Ь, = бз = бз бз принадлежит гиперплоскости а,х+азу+азг+аз1=а. 4. Докажите, что гнперплоскость, касающаяся гиперсферы, ортогональна радиусу, проведенному в точку касания. 5. Напишите уравнение гиперсферы, имеющей центр в точке (5, -1, 4, О) и касающейся гиперплоскости х — Зу+г+51=5, б. Пересечение гиперсферы (х — 5)в+уз+(г+5)з+(1 2)з 25 к гиперплоскости ух — 5у+г+51=20 кть некоторая сфера трехмерного пространства. Найдите ее центр н радиус. 7. Напишите уравнение гкперплоскостн, цроходяшей через дву. мерную плоскость х-2у+Зг+51 =2, ( Эх — у — г+21 =3 а) проходящую через точку (2, 5, — 3, О), б) ортогональную гиперплоскости ул+ у+ 4г-1= 5.
б л. и. головина 162 нвклидово пространство (гл. пг Пусть в л.мерном пространстве А" даны л попарно ортогональных векторов одинаковой длины аь аз...„ а . Тогда натянутым на ннх (л-мерным) кубом называется совокупность всевозможных некто. ров вкда а|а~ + агат+... + а„а„, где О~а<~1, 1 1,2,...,л. й-мерилл грана куба — это множество таких его точек, длв которых л — й из коэффнпиентов аг, принимают постоянные значения, равные О нли 1. 8.
Найдите число й-мерных граней л-мерного куба. 9. Найдите угол между диагональю л.мерного куба (т. е. вектором а~ + аз + ... + а ) и его ребром аг (заметьте, кстати, что этот угол не зависит от )). 1О Найдите угол между днагональю л-мерного куба и его й-мер. ной гранью. ГЛАВА т' ЛИНЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ $ 1. Линейный функционал Определение 1. Линейный оператор ), отобража- ющий векторное пространство )<< в числовое поле г, на- зывается линейным функционалом, нлн линей- ной функцией. Таким образом, если 1 †линейн функционал, то для каждого вектора хан )т определено число )(х) нз основного поля с так, что выполнены следующне условия: 1) Г(к+у) =)(х) +)(у), 2) )(ах) = а)(х), где х н у — произвольные векторы нз )т, а а ~ р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
