Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Спектр линейного оператора Из сформулированной в предыдущем параграфе <основной теоремы алгебры» непосредственно следует, что в комплексном векторном пространстве Я каждый линейный оператор ла имеет хотя бы один собственный вектор и, значит, в Я существует одномерное инвариантное относительно Ф надпространство. Далее, из этой основной теоремы вытекает, что многочлен и-й степени (с комплексными коэффициентами) имеет в т о ч н о с т и и (комплексных) корней, среди которых, впрочем, могут быть и равные. Действительно, пусть 1(1) — многочлен степени и и 11 — его корень; тогда 1(1) делится на 1 — 11, т.
е. 1(1)=(1 — 11))1(1), где 11(1) — многочлен (и — 1)-й степени, тоже с комплексными коэффициентами. Но 11(1) тоже имеет хотя бы один корень 1о, и тогда 11(1) = (1 — 1о) (о(1), откуда 1(1) = = (1 — 1,) (1 — 11) го(1), и т. д. Через и шагов мы получим равенство 1(1) = (1 — 1,)(1 — 11)...(1 — 1„)с, (14) где 1ь 1о, ..., 1„ — корни многочлена 1(1), а с — число. Если множитель 1 — 1„входит в разложение (14) я раз, то соответствующий корень 1 называется корнем кратности я, или я-кратным корнем. Покажем теперь, что многочлен 1(1) не может иметь корней, отличных от 11, 1м ..., 1„, в частности, он не может иметь более чем п корней.
Действительно, если 1,— корень многочлена 1(1), то 1(1о) = (1о — 11) (1о — 11)... (1о — 1„) с = О, и значит, одна нз разностей 1о — 1„ = О, откуда 1о = 1, где по 1, 2, ... или и. Пусть теперь 1р(Х) — характеристический многочлен линейного оператора Ф и Хь Хо, ..., Х„ — все его корни (собственные значения оператора Ф), причем каждый СПЕКТР ЛИНЕИНОГО ОПЕРАТОРА ав них взят столько раз, какова его кратность.
Мы ви- дели выше (см. стр. 121), что !р(Л) ( — 1)" [Л" — (а!1+ а,з+... а„„)Л"-'+...1. (15) С другой стороны, р(Л) =(-1)" (Л-Л,) (Л-Л,) ... (Л вЂ” Л.) = = ( — 1) "[Л" — (Л + Л, +... + Л„) Л"- + „.). Следовательно, сулма всех собственных змачений Л1+ + Ле + ... + Л„ оператора Ф равна следу ам + аее +...
+ а„„1г А его матрицы. Но так как след 1г А — это один из коэф- фициентов характеристического многочлена (см. стр. 121), то он не зависит от базиса и поэтому может быть на- зван следом самого оператора Ж Легко видеть, что для любых двух линейных опера- торов Ф и Я 1г (лй + Я) = 1г Ф + 1г Я. Покажем еще, что 1г(ФЯ) = 1г(ЯлФ). Действительно, если А = [а;,], В = [Ь,1), то и и и 1г (,фЯ) = сл~ агАЬы +,с~~~ а11Ь11+ ... + ~~! аиАЬА 1=1 1=1 1-1 = Х Х аъйм =Х Х(ЬА!а!А) = ~~~ Ь,!а1, + хл Ь,ца!, + ...
+ ~ Ь !а!и = 1г (ВА). 1=1 !=1 1=1 Нз доказанного равенства, в частности, вытекает, что для любых Ф, Я (где Я вЂ” иевырожденный оператор) имеем 1г(Я 1 ° ля) = 1г(ля Я !) = 1Г(Ф ° ЯЯ !) = 1г Ф. Отметим еще несколько свойств собственных значений. Пусть лэ — линейный оператор, Л! — его собственное значение и х — соответствующий собственный вектор, ЛИНЕИНЫБ ОПЕРАТОРЫ 128 [ГЛ.
П! Тогда вйх = Лх. Применяя к обеим частям этого равенства оператор Ф, получим .Ф(зйх) =.Ф(Лх), илн Фах = Ллйх = Лах, т. е. Ла — собственное значение оператора лйз для того же собственного вектора х. Аналогично показывается, что при любом натуральном й число Ль есть собственное значение оператора .Ф', и для любого многочлена у(г) число у(Л) — собственное значение оператора [(.~Ф), отвечающее тому же собственному вектору х. Можно доказать и такую более общую теорему: если Л„Лз, ., ˄— все собственные значения оператора,Ф, взятые с учетом их краткостей, и у([) — произвольный многочлен, то [(Л[), )(Лт), ..., у(Л„) — это все собственные значении оператора [(Ф), причем [(Л~) взято столько раз, какова кратность Л,. Далее, если оператор лФ вЂ” невырожденный, то, применяя к обеим частям равенства,Фх = Лх оператор вб-[, получим .Ф [(Фх) = Ф '(Лх), или х = ЬФ 'х, откуда Ф-'х = Л 'х, т.
е. Л-' является собственным значением оператора Ф-[ с тем же собственным вектором х (ЛФО, так как оператор .зФ вЂ” невырожденный). Мы видим, что действиям над линейными операторами отвечают соответствующие действия над их собственными значениями. Поэтому набор этих чисел — собственных значений опе. ратора .Ф в каком-то смысле определяет этот оператор.
Множество всех собственных значений линейного оператора лй называется его спектром. й 10. Жордаиова нормальная форма Этот параграф, несколько более трудныа, чем остальные, дальше не используется и при первом чтение может быть пропущен. Пусть [й — линейный оператор, действующий в векторном пространстве тт размерности и. Как было показано в $8, если в тт найдется и линейно независимых собственных векторов оператора мг то в базисе, состоящем из этих векторов, матрица оператора Ф приводится к наиболее простому — диагональному виду А -[ «!01 жОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА где Хо "А»ь ..., Մ— собственные значения ч.
Так будет, в частности, в том случае, если характеристический многочлен оператора ч имеет и попарно различных корней (см. стр. 123); так будет, как мы увидим нкже, и в случае любого так называемого се мосопряженного оператора (как в комплексном, так н в вещественном евклидовом пространстве; см. главу Ч, стр. 170), и в случае любого унитарного оператора в комплексном евклидовом векторном пространстве (стр. 182). Однако, как уже тоже было сказано выше (5 8), к такому простому, диагональному виду приводится матрица далеко не всякого линейного оператора. Рассмот- 2 1 рим, например, линейный оператор с матрицей А в некотором базисе е„ е,; характеристический многочлен его ~р(Х) = (2 — Х)в имеет два одинаковых корня Х, = = Ав= 2.
Собственные векторы этого оператора определяются уравнением Ох, + 1х,= О (где х, и х, †координаты вектора), или х, = Π†э только векторы, коллинеарные е, (ср. стр. 338). Поэтому не существует базиса, образованного собственными векторами оператора ч, и, значит, его матрица ни в каком базисе не приводится к диагональному виду. Поэтому возникает вопрос о каком-то другом, достаточно простом виде, к которому можно привести матрицу всякого линейного оператора. В комплексном пространстве таким «простейшим», каноническим видом принято считать так называемую жорда нову форму матрицы. Определение 5.
Жордановой клеткой называется квадратная м трица вида Х, 1 О ....... О о х, ~ ....... о 1, = о о ....... о (16) о о о ....... х, в которой на главной диагонали стоит одно и то же число во, над главной диагональю †всю число 1, а всв остальные элементы матрицы — нулевые. Порядок жордановой клетки может быть каким угод- но. В частности, он может быть равен и 1; в этом слу- 5 Л.н. Голов»»в ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [зо [ГЛ. РИ чае клетка имеет простейший вид: тх, = [Л,).
Легко видеть, что характеристический многочлен оператора 5'А„ матрицей которого служит жорданова клетка (16) порядка я, равен (Аь — А)"; он имеет одно собственное значение )!ь кратности и, и все его собственные векторы коллинеарны г!. Матрица оператора УА, при а)1 ни в каком базисе не приводится к диагональному виду (ср. с примером на стр.
129). Определение 6. Жорданоаой матрицгй называется матрица вида [м[ ! ! ! Х~ !! ! гдг 1АА(й = 1, 2, ..., з) — жордановы клетки (вообще говоря, разных порядков), а всг остальные клетки втой матрицы — нулгвыг (т. е. состоят из одних нулей). Легко видеть, что числа Л[, Ам ..., А, являются с о бственными значениями оператора 5' с матрицей!. Конечно, зти значения не обязательно должны быть разными, некоторые из них могут и совпадать. Рассмотрим пример жордановой матрицы пятого порядка: а! ооо О а ! О О 7 — О О а О О ооой оооор Эта матрица состоит из двух жордановых клеток— третьего и второго порядков.
Числа а н р являются собственными значениями оператора 5', характеристический многочлен которого равен (а — Х)г(р — Х)г. Если гь гг, гм ге гз — базис, соответствующий матрице 1, то имеем, очевидно, лйг[ = аеь Фгг —— ага+ гь Фгг = ага+ гм зйг! = ([гм .и[гг = ()гь+ гм $ !01 ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА !з! Базисные векторы е! и е4 являются с о б с т в е и н ы м и в е к т о р а и н оператора У с собственными значениями а и р соответственно. Их можно назвать векторами н улевого слоя. Векторы еэ и еь являются «собственными с точностью до векторов нулевого слоя» е! и е4.
Это значит, что, скажем, з»еэ отличается От аеэ лишь на вектор еь при пренебрежении которым вектор ез можно считать собственным. Эти векторы еэ и еь можно назвать поэтому векторами пер в о го с л о я. Аналогично, вектор еа является «собственным с точностью до вектора еэ», т. е. с точностью до вектора первого слоя. Можно сказать поэтому, что это — вектор в т о р о г о с л о я. Нашей ближайшей целью будет доказательство еле. дующей важной теоремы. Те о р вм а 9. Матрицу всякого линейного оператора, действующего в комплексном векторном прост. ранстве, можно привести к жордановой форме.
Это значит, что базис векторного пространства, в котором действует рассматриваемый оператор, можно выбрать так, что матрица оператора в этом базисе будет жордановой матрицей. Для доказательства теоремы 9 нам понадобится следующая Л е и м а, Пусть Я вЂ” линейный оператор, действуюгций в векторном пространстве В размерности и, У— его ядро и Я — область значений (см. $ б).
Обозначим через М пересечение этих надпространств, т. е. пусть М = А! П ЯВ. Выберем в М базис х4, хм ..., х, дополним его до базиса х!, хэ..., х, х„+!, ..., х, ядра 40', Р с одной стороны, и до базиса хь х,, ..., х, х +„...,х, яодпространства Я)4' — с другой. Пусть далее у4, уы ... у„ — прообразы векторов хь хы ..., х„ и г„+ь Р Р х,„+м ..., г,— прообразы векторов х,„+„х„+04 ...,х, при преобразовании Я. (Это значит, что Яу, = х, при 4 1, 2, ..., п4 и Яг! = х; при ! = п4+ 1, пг+ 2, ..., г. Схематически это можно изобразить так: Хе+4, Хм+0, ° ... ХА баЗИС АГ, х„х„..., х х +„х +„..., х, базис Я)с,) У4, У», ° ° °, У»4 г„+,, г«4+„..., г, линеЙные опегатоРЫ [ГЛ, П1 132 Тогда векторы х„х2, ...> хщ, хщ+» ...> хю У,, Ум ..., Ущ, Ещ+„Ещ>м ..., 2~ (17) образуют базис пространства )г.
До к аз а тел ьот в о. Число векторов системы (17) равно й+ г; при этом размерность г надпространства З)г равна рангу матрицы В (см. Э 5), а размерность й ядра У (дефект оператора З) равна и — г (теорема 4). Значит, число й+ г векторов системы (17) равно размерности п пространства И, — и нам остается доказать, что эти векторы линейно независимы. Предположим, что они линейно зависимы, т. е. что имеет место равенство а,х,+а,х,+...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
