Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 15
Текст из файла (страница 15)
... + х„е„ в вектор,~Фх = х,е, + х,е, + ... + х,еР, где 'Ф х, аих,+пахе+...+а,„х„при |'=1, 2, ..., и. Покажем, что этот оператор — л и н е й н ы й. В самом деле, произвольный другой вектор у = у|е, + уте, +... ...+ у„е„он переводит в Фу = у,е, + у,е, + ... + у„е„, где у| = а|,у|+аду|+ ... +а„,у„, вектор х+ у = ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 94 !Гл.
Ен = (х, + у1)е, + (хе+ уа)ее+... + (х„+ у„)е„— в вектор Ф(х+ у)= г|е1+гэее+... + е„е„, где г, = = аи(х, + у,)+ ап(хэ + у,)+ ... + а,„(х„+ у.) = = х; + ур Поэтому .Ф(к+ у) =.~йх+ Фу. Далее, для любого а ~ г" имеем ах = (ах~)е, + +(ахе)ее+... + (их„)е„и .~Ф(ах) =(~е1+ 1еех+...
... + 1„е„, гДе г, =ап(ахг)+ам(ах,)+... + аы (ах„) = ахь Следовательно, .Ф(ах) = амсх, и оператор мг — линейный. Таким образом, если в векторном пространстве Я" задан базис, то каждому линейному оператору отвечает определенная квадратная матрица порядка и и, обратно, каждой такой матрице отвечает определенный линейный оператор. Поэтому линейный оператор и соответствующую ему (в данном базисе) матрицу мы будем обозначать одной и той же буквой: ,Ф, Я, 9У, ... †линейн операторы, А, В, С, ... — соответствующие им матрицы. Матрица А называется матрицей линейного оператора.Ф. Легко видеть, что для всякого линейного операторами .ФО = О.
При этом, если .Фх = 0 только при х = О, то оператор называется невы рож дени ы м; если же найдется такой вектор х ~ О, что лАх = О, то оператор ла — вырожденный. Пусть А = [а,„] — матрица линейного оператора .Ф. Рассмотрим систему линейных однородных уравнений а„х, + амх, + ... +а,„х„=О, а„х, + аых, + ...
+ а,„х„= О, а„,х, +а„,х, + ... + а„„х„= 0 Ввиду теоремы 10 из главы 1, для существования ненулевого решения этой системы (и значит, для существования ненулевого вектора к=х1е~ + хэез +... + х„е„такого, что Фх 0) необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы А (обозначим его через 1А1) был равен нулю.
Следовательно, для того чтобы оператор .Ф был невырожденньгм, необходимо и достаточно, чтобы оп- ОПРЕДЕЛЕНИЕ И ПРИМЕРЫ ап ределитель матрицы А этого оператора (в любом базисе) был отличен от нуля. Матрипа, определитель которой отличен от нуля, называется нееырожденной матрицей, Рассмотрим несколько примеров. 1. Пусть эР— поворот всех векторов обычной плоскости хОу (короче — поворот плоскости хОу) вокруг начала координат на угол ф против часовой стрелки. Это преобразование линейно, ибо безразлично, сначала ли сложить векторы а и б, а потом повернуть их сумму на угол ф, или сначала повернуть векторы, а потом их сложить (рис. 8); так же безразлично, умножить ли сначала Рис.
9. Рис. в. вектор а на число и, а затем повернуть его на угол ф или сделать зто в обратном порядке (рис. 9). Предположим, что базисные векторы в единичные и взаимно ортогональные. Вектор Фе — единичный вектор, образуюший угол ф с е1 и угол ф — —" с е,. Следовательно, ,Фе~ = сов ф е1+зшф ° е,. Единичный вектор лает образует с е, у~ол — + ф, а с 2 е,— угол ф. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ. Рп С ледовательно, Фез — — — з!и ф ° е! + соз ф ° ез. Таким образом, А = соз ф — з1п ф1 з!пф созф~ 2. Пусть Ф вЂ” поворот обычного трехмерного прост- ранства на угол ф вокруг осн Ог.
Если е!, ез, ез— единичные векторы прямоугольной декартовой системы координат, то .Рве! = сов ф ° е, + з!Пф ° ем Фез = — з!и ф ° е! + соз ф ° ем Фез = ез и значит, матрица этого преобразования соз ф — 3!и ф 01 ,4 = 3!пф сььф О ~О О !1 3. В обычном трехмерном пространстве пусть яга будет оргогопалычой проекцией вектора а на плоскость хОу. Л и н е й н о с т ь этого преобразования вытекает из того, что проекция суммы векторов равна сумме проекций слагаемых и что проекция произведения вектора на число равна произведению проекции вектора на это число.
Если базис выбран так, как в примере 2, то очевидно, что .зФез = еы .ясез — — О, Фе! = е!, и следовательно, 4 = О ! О 4. В обычном трехмерном пространстве пусть зьа будет вектор, симметричный с вектором а огносигелычо плоскости хОу. Линейность этого преобразования очевидна. При этом ,Фе! = е!, ЬРЕЗ = ЕЗ, Фез = — ез, опеепялнние и пенмяеы 97 н матрица преобразования имеет вид А= 0 1 0 5. В пространстве Р„многочленов от 1 степени не выше и положим .Ф(х(г)) = х'(1).
Линейность этого «оператора дифференцирования» вытекает из основных правил дифференциального исчисле ния. Чтобы найти его матрицу, выберем в качестве бази. са, например, векторы 13 1» е«=1 е,=1 е,=-, ...,е„=-. 21' ''" пк Тогда Фео= О, н Фе! — — ес, Фез = еь ...,,Фе.
= е„! 0 1 0...0 0 0 1 ... 0 0 0 0 ... 1 0 0 0 ... 0 6. Обозначим через 8' так называемый тождественный оператор, определяемый равенством: Юх = х для л юб ого хы )г. Тогда д'е, = е, для всех 1= = 1, 2, ..., и, н следовательно, матрица оператора «Т в любом базисе имеет вид 1 0 0 ... 0 0 1 0 ... 0 0 0 0 ... 1 Е-[ 7. Обозначим через «7 так называемый нулевой оп е р а то р, определяемый равенством сух = О для всех х ен и.
Матрица этого оператора состоит из одних нулей. Ясно, что операторы 1, 2. 4 и 6 — невырожденные, а операторы 3, 5 и 7 в вырожденные. Теорема 1. При линейном преобразовании векторного пространства «асгсдое надпространство переходит в надпространство. 4 л. и. г»ло»и«« ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 98 Ггл. 1и До к аз а тел ь от в о. Пусть Й~ — подпространство векторного пространства Я". Обозначим через.ФЙ~ множество всех векторов, являюшихся образами векторов нз й', при линейном преобразовании Ж Нам надо доказать, что,ФР~ — подпространство. Пусть векторы х н у принадлежат .Фпь Это значит, что к=ах' и у = Фу', где х'ай, и у'ен)7ь Но тогда х + у = Бвх' + Фу' Ф (х' + у') е вййь так как х'+ у'я)7ь и прн любом аен Р ах = пах' = Ф (ах') ен .Яьйь так как ах' ен Яь Таким образом, Фй, — подпространство.
(Легко понять, что размерность выл', не превышает размерности йь) Т е о р е м а 2. При линейном преобразовании векторного пространства каждое линейное многообразие переходит в линейное многообразие. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть М вЂ” линейное многообразие в гг". Тогда существует такое подпространство Я, и такой вектор а, что М = й1+а (см. выше стр. 78).
Если мь — линейный оператор, то ФМ = мгй1 +,яФа. Ввиду теоремы 1, .ягй1 является линейным подпространством и, значит, АМ вЂ” линейное многообразие (см. стр. 79). Пусть А" — и-мерное аффинное пространство и )г"— соответствуюшее ему векторное пространство, в котором задан линейный оператор Ф. Этот оператор можно следующим образом распространить и на точки из А". Предположим, что в А" выбрана система координат.
Тогда, если вектор х = х1е~+ хзет+ ... + х„е„при преобразовании .Ф переходит в Фх=х,е, + х,е, + ...+ х„е„, то, по определению, точка Х (хь хм ..., х„) (конец вектора ОХ = х) переходит в Х'(х„ х„ ..., х„) (конец вектора ОХ' = Фх). Из теоремы 2 непосредственно вытекает, что при линейном преобразовании аффинного пространства й-мерная плоскость переходит в плоскость (ие большей размерности). В частности, прямые переходят в прямые или в точки. Фя дсиствия нлд лннаинымн опеглтоглмн 99 $2. Действия над линейными операторами А. Сложение линейных операторов.
Если .Ф и Я вЂ” два линейных оператора в векторном пространстве )с, то их с у м м о й Ф + Я называется оператор (У, определяемый равенством $'х = .Фх + Ях для любого х~ Р. Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором. Если линейные операторы,Ф и Я имеют (в некотором базисе) соответственно матрицы А = [а„] и В = [Ьа], то матрнцей оператора (У=,Ф+Я будет С= [с,„], где с„= а„+б,ь Матрица С называется суммой матриц А и В. Таким образом, по определению, [а„] + [6,„] = [а,„+ би]. (Разумеется, складывать можно лишь матрицы одного и того же порядка.) Сложение линейных операторов (и сложение матриц) обладает, очевидно, следуюшими свойствами: Е Ф + я = я + лс.
2. (Ф+Я) +тг = Ф+ (Я+У). 3. Ф + бГ = Ф для любого Ф. 4. Если через — лг обозначить оператор, определя. емый тем, что ( — Ф)х = — Фх для всех х ~)т, то — Ф будет линейным оператором и ( — Ф) + Ф = бг. Матрицу оператора — яг обозначим через — А; тогда ясно, что если А = [аа], го — А = ( — а„]. Б. Умножение линейного оператора на ч н с л о. Если .Ф вЂ” линейный оператор в пространстве )г и ая Р, то произведением,Ф на а называется оператор ыт; определяемый следующим образом: (аФ)х = а(Фх) для каждого вектора х из )г. ясно, что амг — тоже линейный оператор и что его матрица аА получается из матрицы А оператора Ф умножением каждого ее элемента на сы а[ам] = [аа„]. 4$ ~гл.
гп линаинын опаеатоеы 1ОО Матрица аА называется произведением матрицы А на число а. Для умножения лниейного оператора на число справедливы, очевидно, следующие тождества: 1. 1 Ф=Ф; О ° Ф = бУ; ( — 1)М = — Ф 2. а(рА) = (ар)Ф.
3. (а+ 1)).Ф = а,яс + р,Ф. 4. а(Ф + Я) гс.Ф + аЯ. Аналогичные тождества справедливы и для умножения матрицы на число. В, Умножение линейных операторов. Произведением .ФЯ операторов,Ф и Я называется оператор Ю', определяемый следующим образом: Юх = Ф (Ях) для каждого вектора х из П. Таким образом, перемножение операторов состоит в последовательном их применении одного за другим; при этом сначала производится преобразование Я, а затем уже полученный вектор Ях подвергается преобразованию Ж Так, если .Ф есть поворот плоскости против часовой стрелки на угол ф, а Я вЂ” поворот (в том же направлении) на угол ф, то,ФЯ = Я.Ф будет поворотом на угол ст + ф. Если зФ вЂ” симметрия плоскости хОу относительно оси Ох, а Я вЂ” симметрия относительно Оу, то .чР = Я' = Ю вЂ” тождественное преобразование, а ФЯ= =ЯМ вЂ” симметрия относительно начала координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
