Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 10
Текст из файла (страница 10)
4, б). Но совокупность всех плоских или всех пространственных векторов — это только примеры (хотя и очень важные примеры) векторных пространств. В главе 1 мы видели, что если имеются два решен и я е1 — — (яь ян ..., а.) и ег =(рь рг, °, р.) некоторой системы линейных однородных уравнений, то их сумма ез+ ег = (оп+ рн аг+ рг... гх. + р„) и произведение любого из них, например е| на произвольное число с (которое естественно считать принадлежашим тому же числовому полю г, что и коэффициенты уравнений): сез = (сап сам ..., са.) тоже будут решениями той же системы. Аналогичная ситуация, когда имеется множество каких-то элементов, которые можно склады. $31 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВГКТОРНОГО ПРОСТРАНСТВА 63 вать между собой и умножать на числа, получая в ре. зультате элементы того же самого множества, встречается в математике очень часто.
Так, например, складывать между собой и умножать на числа можно м н о г о ч л е н ы от 1 с вещественными или комплексными коэффициентами — в результате получаются такие же многочлены. Если складываются и умножаются на числа многочлены, степени которых н е п р е в о с х одят данного числа а, то и полученные прн этом многочлены будут степени не выше и, Складывать между собой и умножать на числа можно и произвольные функции от 1 — в результате снова получаются функции от й Если функции, к которым применяются эти операции, непрерывны на каком-то отрезке [а, о) (или, скажем, на всей числовой прямой), то и полученные в результате функции обладают тем же свойством.
Наконец, разумеется, и просто числа, образующие некоторое поле г, можно складывать между собой и умножать на числа из г; более того, вместо одного числа можно рассматривать пары, тройки и вообще упорядоченные наборы (строки), состоящие из и чисел: (хь х2, ..., х„) (такие строки выше служили решениями данной системы линейных уравнений, теперь же от них не требуется ничего!).
Строки можно складывать: (хь х2,..., х„)+(уь у2, ° ° у.) = = (х1 + уь х2+ у2, ..., х„+ у») и умножать на числа: с(хь х2, ..., х„) = (схь сх2, ..., сх„), получая всякий раз такую же строку Все это — различные примеры в е к т о р н ы х п р о. стра н с та (прнчем последний пример особенно важен для дальнейшего). Для того чтобы охватить все эти и другие возможные случаи, введем такое Определение 1. Множество тт элементов х, у, е,... называется векторным, или линейным, пространством, если для любых двух его элементов х, у онреде- б4 л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО !ГЛ. и лена сумма х+уен )с ") и для каждого элемента хя)с и каждого висла а (взятого из фиксированного числового поля Р) определено произведение ссх ~ Я, причем выполнены следующие условия: 1.
х + у = у + х для всех х, у е= )с. 2. (х+у)+а= х+ (у+г) для всех х, у, ге=)7. 3, Существует такой (н у л е в о й) элемент О ~ )с, что х+ О = х для всех элементов х~)с. 4. Для каждого элемента х~)с существует такой элемент — х (называемый противоположным к х), что х+ ( — х) = О. 5. 1 х=х для всех хенЯ.
6. а(рх) = (ар)х для всех сх, р ен Р и хе Вез). 7. (а+ р)х = ах+ рх для всех са, р я Р и х~Я. 8. а(х+ у) = ах+ ау для всех а ен Г и х, у ~)7. Элементы векторного пространства называются векторами. Поле Р во всем дальнейшем мы будем считать либо полем вещественных, либо полем комплексн ы х чисел и, в соответствии с этим, будем говорить о вещественном или о комплексном пространстве Я. Иногда же, не уточняя, о каком именно поле идет речь, мы будем говорить о векторном пространстве )с над полем Р.
Примеры. Можно говорить о векторном пространстве Р«многочленов степени не выше и с вещественными или комплексными коэффициентами, о векторном пространстве С функций, непрерывных на данном отрезке !а, (>), о векторном пространстве решений данной системы линейных однородных уравнений, наконец, просто о векторном пространстве строк, состоящих иэ и (вещественных или комплексных) чисел. Из определения 1 непосредственно вытекают следующие «) Символы ш, нз, с называются знаками включения, Запись а ы А означает, ч~о а является з л е и е н т о м множества А.
Запись А ш В означает, что маожество А явлнется частью множества В (т. е. что каждый элемент а из А принадлежит также и В); запись А сс В означает, что множество А является п р а в и л ь н о й ч а с т ь ю множества В, т, е. что А содержится в В, с ним не совпадая. "') Чтобы не путать векторы с числами, мы в тех случаях, где может возникнуть недоразумение, условимся обозначать числа греческими, а векторы — латинскими буквами, размерность и вязнс Простейшие свойств а вектор ного и ространства. 1.
Единственность нуля. Предположим, что в про. странстве Я имеются два нулевых элемента, О, и Оз. Тогда, так как для любого х из Д имеем х+ 01 = х и х+Оз — — х, то, в частности, От+ 01 —— Оз и 01+От — — Оь откуда, ввиду 0~ + Оз = Оз + Оь получаем О, = Оз. 2. Единственность противоположного элемента. Предположим, что у элемента х имеются два противоположных элемента, у и г; тогда х+ у = 0 н х+ г = О.
Следовательно, у+х + а = у+ (х+ г) = у+ 0 = у н у+х+г= (у+х)+г=О+г=г, откуда у=г. 3. Для каждого элемента хай произведение Ох =0*). В самом деле, для каждого х имеем Ох= = (О+ 0) х = Ох+ Ох. Прибавляя к левой и правой частям последнего равенства — Ох, получим 0 = Ох. 4.
Для любого а ее Р и 0 ее й произведение аО = О. Действительно, аО = а(0+ 0) = аО+ аО. Прибавляя к левой и правой частям равенства — аО, получим 0 = аО. 5, Если произведение ах=О, то либо а=О, либо х= О. В самом деле, пусть а Ф 0; тогда /1 х=1 х=~ — а~х= — (ах) = — 0=0. (а ) а а б.
Для каждого х элемент ( — 1)х является противоположным к х. Действительно, х + ( — 1) х = 1 ° х+ +( — 1)х = [1+ ( — 1)]х = 0 х = О, и значит, ( — 1)х = — х. Ввиду условия 2 определения 1, можно говорить о сумме трех х+у+г= (х+у)+г (или, что то же самое, х+ (у+г)) (и большего числа) элементов из Я. Разностью х — у векторов х и у называется вектор г= х+ ( — у). $4. Размерность и базис О предел ение 2. Векторы а„аз, ..., а, векторного пространства Я называются линейно зависимыми, если существуют такие числа аь ам ..., а„не разные ') Один и тот же символ О употреблен злесь в квк число (слева) в янк вектор (в правов части).
Здесь и дальше из контекста всегдв будет ясно, что означает символ Π— число нуль нли нулевой вектор. 3 Л. Н. Головина л-меРное ПРОстРАнстао 1гл. и одновременно нулю, что а,а1 + азат +... + а„а„= О. Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимым и. Если векторы аь ам ..., а„линейно зависимы: а~а~ + ачае + .. + ача, = О, и, например, а, Ф О, то а а ад а„= — — а, — — а,—... — — аь,, аь ад ''' аь илн а„ = $~а1 + азиз + ..
+ $а-1аь „ (1) а где $, = — —. Если имеет место равенство (1), то гоа„' зорят, что вектор а, является линейной комбинацией вектоРов а„ ам ..., а„ „ а также, что вектоР а„ линейно выражается через аь ага ..., а,, Таким образом, если векторы аь аь , а, линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Ясно, что верно и обратное, т. е. что если один из векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.
П р и м е р ы. На плоскости можно найти сколько угодно пар линейно независимых векторов — линейно независимы любые два неколлинеа рных, т. е. не параллельных одной прямой, вектора. Но любые три вектора плоскости линейно зависимы. В обычном (трехмерном) пространстве любые три не ко мил а на рных (т. е. не параллельныходной плоскости) вектора а, Ь, с линейно независимы (так как если аа+ рЬ+ Тс = О и, например т чь О, то с= — — а — — Ь, и векторскомпланаренвекторам а, Ь).
а 7 7 Однако любые четыре пространственных вектора а, Ь, с, й будут линейно зависимыми. (Докажите это.) О п р е д е л е н и е 3. Векторное пространство В называется н-мерным, если в нем можно найти и линейно независимых векторов, но больше чем и линейно независимых векторов оно не содержит.
РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС Размерность пространства — зто максимальное число содержащихся в нем линейно независимых векторов. Так, размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных векторов равна 3; понятно, что размерность и-мерного пространства, по определению, равна и. Размерность пространства )г условимся обозначать через йЯ). Пространство, имеющее конечную размерность, называется к о не ч номер н ым. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимах векторов, называется бесконеч номерным. Примером бесконечномерного пространства может служить множество Р всевозможных многочленов от ! нли множество С всех функций от Г, непрерывных на данном отрезке [а, Ь1 (или непрерывных на всей числовой прямой), и т. д.
О п р е д е л е н и е 4. Совокупность и линейно независимых векторов и-мерного векторного пространства К называется его базисом. Тес р ем а 1. Каждый вектор х линейного и-мерного пространства )с можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса. Доказательство. Пусть ен еы ..., е„— произвольный базис и-мерного пространства )т и хан)с. Так как каждые и+1 векторов (и-мерного!) пространства )г линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы еь еь ..., е„, х, т.
е. существуют такие не равные одновременно нулю числа аь ам, а., сс, что а1 е~ + азее +... + а„е„+ ах = О. При этом и чь О, ибо если а = О, то хоть одно из чисел аь ам, а. было бы отлично от нуля, и векторы еь ез, ..., е„были бы линейно зависимы. Следовательно, а а а х = — — 'е,— -'е,— ... — — "е . а а а ь а, Полагая — — „= х„будем иметь х = х1е1 + крез + ... + х„е„. Это представление х через еи ер, ..., е„еди потаенно, так как если х=х~е1+хзез+...+х„е„и 3' л.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО !Гл. и х = у,е, + урез +...
+ у„е„, то (у! — х!) е! + (уэ — х!) ез +... + (у„— х„) е„= О и ввиду линейной независимости векторов е!, ем ..., е„, у, — х! = уз — хз = ... =у„— х„= О, откуда у,=хь уз —— хм ..., у„=х„. Числа х!, хм ..., х„называются координатами векто. ра х в базисе е!, ем ..., е.. Таким образом, теорема ! утверждает, что если задан базис и-мерного векторного пространства !с, то каждый вектор из й имеет (единст- венным образом определенные) координаты в этом ба- зисе.
При этом ясно, что если координаты двух векто- ров х и у совпадают, то эти векторы одинаковы, так как тогда х = х!е!+ хэеэ+... + х„е„= у. Поэтому зада- вать вектор можно, просто указывая его координаты х!, хм ..., х„. При этом так и пишут: вектор х = = (х!, хм ..., х„). Пусть мы имеем два вектора, заданные своими ко- ординатами в некотором базисе. Тогда при сложении этих векторов их соответственные координаты склады- ваются: если х = х,е! + хзез+...
+х„е„и у = у,е!+ уэет+... + у„е„, то х+у= (х, + у )е, +(х,+у!)ез+...+(х„+ у„)е„. При умножении вектора на число все его координагы умножаются на это число: если х = х,е! + хтез + „, +х„е„, то ах = (ах!) е! + (ахт)ез+... +(ах„)е„. У нулевого вектора все координаты равны нулю, так как из равенства а,е, + а,еэ + ... + гс„е„ = О, ввиду ли- нейной независимости векторов еь ем ..., е„, вытекает, что а! = аз ... а. = О. Вектор, противоположный х=(х!,хм..., х„), равен, очевидно, ( — х!, — хм..., — х„).
Т е о р е м а 2. Если е„ет... „е„— линейно незави- симые векторы пространства )с и каждый вектор хек)г линейно выражается через е„ем, „е„, то эти векторы образуют базис )т. $41 69 РАЗМЕРНОСТЬ И БАЗИС Доказательство. Векторы е1, е2, ..., е., по условию, линейно независимы. Остается доказать, что в пространстве )т нет более чем п линейно независимых векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
