Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 5
Текст из файла (страница 5)
О ... а „ адд ''' адь ''' ада а ... О ... а „ а ... О ... а „ Р 'э и а,"О" ада а Определитель Р, равен произведению элемента а1, на его алгебраическое дополнение в этом определителе. Однако так как определитель Рд лишь й-м столбцом (разложение по элементам д-й строки) и Р онА1д + од~ Адд +... + а„дА„„ (разложение по элементам л-го столбца). Для доказательства заметим прежде всего, что если два определителя отличаются друг от друга только элементами одного столбца (строки), то алгебраические дополнения элементов этих столбцов (строк) в обоих определителях одинаковы, так как при вычислении этих дополнений столбцы (строки), которыми отличаются определители, вычеркиваются. Докажем теперь для определителя Р справедливость, например, разложения по й-му столбцу.
Для этого представим его в следующем виде: 4 В! РАЗЛОЖЕНИЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ РЯДА 3! отличается от определителя Р, то это алгебраическое дополнение совпадает с алгебраическим дополнением Апл элемента ам в определителе 0: О, = аз„Анл Аналогично, 0з = аз,Аз„..., с)„= а„„Алм Мы доказали, что () = амА м + а~,Ать +... + а„,А„ь. Соответствующее равенство для строк легко получается переходом к транспонированному определителю.
П р и м е р. Вычислить определитель четвертого порядка — 51 — 4 1 1 4 — 1 5 — 4 1 — 8 — 1 32 б 2 Р е ш е н и е. Разложим определитель, например, по элементам первой строки 4 — 1 5( 0=( — 5)( — 1)з+з 1 — 8 — 1 + 2 6 2 1 — 1 5( ( 14 5( + 1 ( — !)з~~ — 4 — 8 — 1 ~ + ( — 4)( — 1)з+ь — 4 1 †! 3 б 2 32 2 1 4 — 1 +1( — 1)~~э — 4 1 — 8 = — 5 74 — ( — 15) — 4( — 31) — 33= 32 61 = — 370+ 15 + 124 — 33 = — 264. Теорем а 4.
Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов параллельного ряда равна нулю. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дан определитель а а ... а ... а „ ... а „ а„ ... ам . " аза .. а, ((2) а лт еле ''' ле''' ла ''' алл 32 опэеделители и системы линвииых твхвнвнии 1гл. ~ Рассмотрим другой определитель, О„отличающийся от О лишь тем, что в й-м его столбце повторен 1-й столбец: а а ...
е ... а ... а „ вм вм " вм '" ем " е2а О ... а Определитель О~ равен нулю, как определитель с двумя одинаковыми столбцами (следствие из свойства 2). Разложив его по элементам й-го столбца, получим О~ — — аиАм+ а„А„+... + а„,А„„, где А„— алгебраические дополнения элементов й-го столбца определителя Оп но так как определитель О| лишь й-м столбцом отличается от О, то они будут и алгебраическими доцолиениями элементов й-го столбца определителя О. Таким образом, при всех 1 и й Ф1 аиАм + амАм+...
+а„,А„, = О. Аналогично, при всех 1 и й Ф 1 а„Ам + ааАм +... + а;„А„„= О. й 6. Системы и линейных уравнений с и неизвестными Рассмотрим систему и линейных уравнений с а неизвестными: а„х, + а„х, + ... +а„„х„= йм а„х, + а„х, + ... +а,„х„= йм (1 Э) а„,х, + а„,х, + ... + а„„х„ = б„. Решением системы (13) называется любая совокупность значений неизвестных х1 = аь хх = аь ..., х„= = а, при подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества. Предположим, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы линеЙных углвнении зз системы (13), отличен от нуля: аи а~г ...
Лги Им Лгг ' ~иг аиг ' ' Лии Умножнм первое уравнение системы на Ац, второе— иа Ам, и т. д., последнее на А„1 и сложим их все. Мы получим уравнение х1 (ацА и + аг~Аг1 +... + а„1А„1) + + хг(амАН+ аггАН+ .. + а.гА 1)+ ° ° ° ... + х„(а,„АН + аг„Аг1 +... + а„„А„1) = = Ь,Аи + ЬгАЫ +... + Ь„А„Н (14) нли х,0 = Ь,Ац + ЬгАг~ +...
+ Ь„А„Н (15) так как заключенные в скобки коэффициенты при неиз- вестных хг, х,, ..., х„в уравнении (!4) по теореме 4 равны нулю, а коэффициент прн хь ввиду теоремы 3, равен Р. При этом правая часть Ь~АН+ ЬХАН+" + Ь„А„1 = Рц где 0~ — определитель, получающийся из 0 при заме- не первого столбца столбцом свободных членов. (В пра- вых частях равенств (14) и (15) стоит разложение оп- ределителя 0~ по первому столбцу.) Аналогично урав- нению (15), получаем хгР = Рг, ..., х„0 = 0„, (15а) где О< есть определитель, получающийся из 0 заменой Рго столбца столбцом свободных членов.
Система (15) — (15а) является с л е д с т в и е м си- стемы (13). Таким образом, мы доказали, что если си- стема (13) имеет решение, то оно будет решением и си- стемы (15) †(!5а), и значит, р р ри х,= — ', х,= — '...х р р~ ''~ и р (! 6) Формулы (15) называются ф о р м у л а и и К р а м е р а. Непосредственной подстановкой этих значений не- известных во все уравнения системы (13) можно убе- диться, что они действительно образуют ее решение. 2 л. и. ГОЛОВИНЮ 34 определители и системы линенных уРАВненин 1Гл. 1 В самом деле, подставляя аваяеняя (16) в Ье уравнение сястемы (!3), будем нметь и и 0„1 ан И+ам О +" +ага О =т[агт(Балта+Белят+ ". ... + БлАд) + а г (ЬгАгг+ ЬгАг, + ...
+ ЬпАпг) + ' '' 1 = —.[Ьг(а,. Ат +аыА +...+а,.„А „)+Ь (аг А + +а А +...+а А „)+ ...+Ь„(а,, А„+а,. А„+ ... 1 ... +а „А„„)] = В Б,Р =Ь,. Здесь скобки пря всех Ьг, кроме Ьь равны нулю по теореме 4, а сумма апАП+ ааАм+ .. + аг„лг„ равна 0 по теореме 3. Этим доказана следующая Тес р е м а 5. В случае, когда 0 Ф О, система (!3) имеет е д и н с т е е н н о е решение, определяемое по формулам Крамера (16). $ 7. Ранг матрицы Снова будем рассматривать таблицы чисел (матрицы), не требуя теперь, чтобы число строк матрицы совпадало с числом ее столбцов. Для таких (вообще говоря, прямоугольных) матриц мы введем важное понятие р а н г а. Рассмотрим прямоугольную матрицу, состоящую из т строк и и столбцов (1тХП1-матрицу). Пусть я ~ т и й ~ и. Выделим в этой матрице какие-нибудь й строк и й столбцов, Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель )г-го порядка. Все такие определители называются минорами нашей матрицы.
Ясно, что из [тХп)-матрицы можно составить С" СА миноров я-го порядка. Так, например, иэ матрицы ,4= 2 О 1 тлнг млтеицы 4 7! 35 можно составить С4 С', = 12 миноров первого порядка — это сами элементы матрицы А, С', С', = 6 3 = = 18 миноров второго порядка: !::! !,! !:'! !,",! !:;! !;'! !~ ~! !~ "! !' '! !~ ~! !' '! !~ ~! !~ ~! !О 5!' !О !!' !4 5!' !4 !!' !5 !! и С~4 С,'=4 минора третьего порядка: Нетрудно проверить, что все миноры третьего порядка матрицы А равны нулю, а миноры второго порядка во всяком случае не все равны нулю (отличен от нуля уже первый из выписанных выше миноров второго порядка). Поэтому мы будем говорить, что р а н г м а трицы А равен 2.
Рангом матрицы называется наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы. Таким образом, если ранг матрицы равен т, то среди миноров этой матрицы есть по крайней мере один минор т-го порядка, отличный от нуля, в то время как все ее миноры порядка т+ 1 и выше равны нулю.
Ранг матрицы А мы будем обозначать через г(А). Для вычисления ранга матрицы ее сначала приводят к возможно более простому виду с помощью так называемых элементарных преобразований. Элементарными преобразованиями матрицы называются следующие ее преобразования: 1. Транспонирование, т. е.
замена каждой строки столбцом с тем же номером. 2. Перестановка двух строк или двух столбцов. 3. Умножение всех элементов строки или столбца на любое число с, отличное от нуля. 4. Прибавление ко всем элементам строки или столбца соответствующих элементов параллельного ряда, умноженных на одно и то же число.
ач 36 опРеделители и системы линейных уРАВнений 1гл, 1 Т е о р е м а 6 (об элементарных преобразованиях). При элементарных преобразованиях матрицы ее ранг не меняется. Доказательство. Рассмотрим каждое преобразование отдельно. В первых трех случаях наше утверждение почти очевидно: 1.
По свойству 1 определителей каждый минор транспонированной матрицы равен некоторому минору данной матрицы, и обратно. 2. После перестановки двух строк или двух столбцов матрицы А приходим к новой матрице, каждый минор которой либо равен некоторому минору матрицы А, либо отличается от некоторого минора матрицы А только знаком. 3. При умножении всех элементов строки или столбца матрицы на число с одни ее миноры не меняются, а другие умножаются на с; но так как сааб, то наивысший порядок отличного от нуля минора этой матрицы не изменится.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
