Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Но перестановка»», »»ь ..., »'„..., 1»ь ..., 1„получается из перестановки»», »ть ..., 1„..., »'„..., 1„посредством одной тр а н с поз и ци и, а значит, числа (1„1ть ..., », ..., »',,..., 1„] и (1», »ль ..., »'„.. „1„, ... 1„] р а з ной четности. Таким образом, каждый член определителя Р, в определитель Оэ входит с противоположным знаком, и значит, Ох — — — О».
Для того чтобы доказать соответствующее предложение для строк, перейдем к траиспонированным опре- Ф делителям О, (полученному из определителя О») и Р, (полученному из О»). Если определитель Ох получается из Р» перестановкой р-й и 4»-й строк, то О., получается из О, перестановкой р-го и д-го столбцов, и знаФ чит, О, = — О,. Но по свойству ! О, = О, и О, = О.„ а поэтому О» = — Р». С л е д с т в и е. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столб»»ами равен нулю. Для доказательства поменяем местами одинаковые строки (или столбцы) определителя 0; от этого он, конечно, не изменится.
А так как, по свойству 2, он дол. жен при этом изменить знак, то 0= — Р, откуда Р = О. С в о й с т в о 3. Если все элементы строки или столб»»а определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на то же число. Доказательство проведем, например, для столбцов. Умножив все элементы й-го столбца определителя а, а ...
а» ... а»„ ем еы . 'еы своиствд опэедалитзлгп на с, мы получим определитель а, а ... са , ... а „ ам а„ ... са,д ... адп О,= ап1 апд ' ' ' сап» ' ' ' апп ап аы ''' »Д+ »Д '' а»п а а ...Ь +с ...ап «1 «1''' пд+ пд ''' пп ...Ь +с то 0 можно следующим образом представить в виде суммы двух определителей: а а ... Ь, ... а,п а а ... Ь „ ... а „ + а„а, ...сы ...ап '" =0 О. 1+ Д' а а ... с и1 «1''' «Д ''' пп «1 «Д ''' пД ''' пп а„а ...Ь Аналогичное утверждение справедливо и для строк.
Доказательство вытекает из равенства 0= ~( — 1)!»"'*""""1 аь,аь,... (Ь»дд+ с,,д) ... а»„п = + Х ( — 1)!"""'"'"1 ац,а,,,... с»дд... аса = 0 + О,. равный ~~э~(- 1)!"'*"" ! аь.а»,,... (са;д,)... а;пп = = с ~~э~ ( — 1)! "»и '" "1 а»,»а»д... а»дд...
а»п„= сР. Соответствуюшее свойство для строк легко доказывается переходом к транспонированным определителям. Таким образом, общий множитель всех элементов строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя, С л е д с т в и е. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю. В самом деле, вынося «множитель пропорционально.
сти» строки (столбца) за знак определителя, придем к определителю с двумя одинаковыми строками (столб. цами), который равен нулю ввиду следствия из свойства 2. С в о й с т в о 4. Если каждый элемент й-го столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых: аз = 6„+са, т. е. если Еа ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ~ГЛ, 1 3 а меч а н не. Легко видеть, что справедливо и следующее, более общее утверждение: Если каждый элемент й-го столбца определителя 0 представлен в виде суммы р слагаемых: а„= а 2+ ась+ ... + ап1ы то апре« делитель 0 можно представить в виде суммы р определителей: а11 а12 " а112 а1П ам а22 '' а22 " . а2„ ап ап ... а'„А... апп С л е д с т в и е. Определитель не иэменится, если ко всем элементам какой-либо его строки или какого-либо столбца прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число.
Действительно, пусть дан определитель ам а12 ... а1р ... а12 ... а „ ам ада ° ° ° 2Р ° ° ° апд ° " апп ап1 апд ... апР ... а д ... апп Прибавив ко всем элементам его р-го столбца соответ. ствующне элементы у-го столбца, умноженные на одно и то же число с, мы получим определитель а ... а р + са ч ... асд ... ПЧП а22 " а2Р + сада " "22 " адп а, а 01 21 П2' ' пР ' пд ''' пч ''' пп + са Ввиду свойства 4 определитель 01 равен ам ...
а1р ... а ч ... а и аы .. са1ч ... асд ... а и а21 " ' ааэ ''' адч " ' адп а ''' саде ''' адч " ' ад и 21 сапч " пд " апп П1''' ПР ''' пд ' ' пп т. е. равен 0 (второе слагаемое равно нулю как опреде- литель с двумя пропорциональными столбцами), Фэ! МИНОРЫ И АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ДОПОЛНЕНИЯ 27 й 4. Миноры и алгебраические дополнения Минором М,„элемента а„определителя 0 л-го порядка называется определитель (л — 1)-го порядка, получающийся из 0 вычеркиванием 1-й строки и й-го столбца.
Алгебраическим дополнением Аи элемента а„называется его минор, взятый со знаком ( — 1)'+': Аи = ( — 1)'+"Ма. Т е О р е м а 2. Если все элементы й-го столбца (строки) определителя 0, кроме, быть может, одного, а,„, равны нулю, то определитель 0 равен произведению а„ на алгебраическое дополнение этого элемента: 0 = а„АМ. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Рассмотрим сначала частный случай, когда в определителе 0 все элементы и е р в ого столбца, кроме ан, равны нулю: ан в ...а„ о аьь ...а„ о а„ ... а„„ В каждый член определителя 0 входит в точности по одному элементу нз первого столбца; но так как все эти элементы, отличные от ан, равны нулю, то в определи- теле 0 все те члены, в которые из первого столбца вхо- дит не ап, а какой-либо другой элемент, равны нулю. Следовательно, 0= ~( — 1)(ьп-"'-1,„, „...,,.
„, где индексы 1э,, 1„принимают значения 2, 3, ..., н. Множитель ан является общим для всех слагаемых, поэтому его можно вынести за знак суммы. С другой стороны, так как единица, стоящая на первом месте, не образует ни одной инверсии, то [1, 1э, ..., 1„1 = = [1ти ..., 1.], и значит, 0 = ам ~ (- 1) (ц -'Н"1 а;,э... а ь,„, где суммирование распространяется на всевозможные перестановки Гь 1ы ..., 1„ чисел 2, 3, ..., и, А так как яа опРеделители и системы линеиных уРАВнениЙ !Гл, 1 сумма ~(- 1)Вл-'"1 а,, равна определителю (и — 1)-го порядка, получающемуся из 0 вычеркиванием первой строки и первого столбца, т. е.
равна Мн, и Ан =( — 1)'+'Мн = Мн, то 0=анМИ вЂ” — днА,1. Рассмотрим теперь общий случай, когда все элементы й-го столбца определителя О, кроме а„, равны нулю, т, е, когда определитель имеет вид 11 13 ''' ''' 1л а а ... О ... а „ 11 М ''' 11 ''' 1л Переместим 1-ю строку определителя 0 на первое место, последовательно меняя ее местами с (1 — 1)-й, (! — 2)-й, и т. д., наконец, с первой строкой. На этопотребуется ! — 1 транспозиций строк, при каждой из которых определитель умножается на — 1. Затем переместим Ьй столбец определителя 0 на первое место, последовательно меняя его местами с (л — 1)-м, (й — 2).м, и т.
д., наконец, с первым столбцом. Для этого потребуется я — 1 транспозиций столбцов, при каждой из которых определитель тоже умножаетсл на — !. В конечном счете мы получим онределнтель 1А Н ''' 1л О а ... а „ О,= о л1 ''' л» отличающийся от определителя 0 только знаком ( — 1)'-' ( — 1)'-' = ( — 1)'+'. Но, как мы показали, оп. ределнтель О, равен произведению а„на определитель (л — 1)-го порядка, получающийся из 01 вычеркиванием первого столбца и первой строки, или, что то же самое, получающийся из 0 вычеркиванием й-го столбца и 1-й строки, т, е. 0,=амМл $ а! РАзлОжение ОПРеделителя по элементАм РядА 29 и, следовательно, 1'.) = ( — 1)'ь"О, = ( — 1) "'а,„мп = а,„А„. Доказанная теорема дает возможность, используя еп(е следствие из свойства 4, вычислить определитель какого угодно порядка.
П р н в е р Вычислнгь определитель нагого порадкпз решение. Вычитая нз первого столбца определителя )7 удвоенный третнй (ннымн словами, прибавляя к первому столбцу третнй, умноженный на — 2), нз четвертого вычитая утроенный третий я нз пятого — третий столбец, получим В полученном определителе четвертого порялка будем таким же образом «делать нули»: прибавим к первому столбцу четвертый, умноженный на 5, от второго отннчем четвертый в к третьему прн- банны четвертый, умноженный на 4 0 0 0 ! 26 — ! 19 5 — 9 2 — 12 — ! 13 0 14 2 13 0 14 Мы пришли к определнтелю третьего порядка, который уже можно вычислить либо непосредственно, либо сведя его к определнтелю второго порядка; прнбавнв ко второй строке удвоенную первую, по- ! 26 — ! 191 43 0 26 =( — 1)( — !)з+з~ ~ = 2~ ! = 2(30! — 169) 264; з з 143 25з !43 13! !3 0!4 ~ !3 14~ ! 13 7! аначнт, определитель (7 — 264.
$ б Разложение определителя по элементам строки или столбца Теорем а 3. Каждый определитель равен сумме произеедений элементов любой его строки (столбца) на их алгебраические дополнения. 00 ! 0 0 — 5 ! 2 — 4 ! 1 4 0 — ! 5 — 4 ! 3 — 8 — 1 32 — ! 6 2 20 ! 31 — 1! 2 23 Π— ! 5 21 3 12 12 — ! 3! — 5 ! — 4 ! = озздзз 1'( 1) з+з 1 4 — ! 5 — 4 ! — 8 — 1 32 6 2 зо ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ~ГЛ. 1 Мы докажем, что при всех 1, л = 1, 2...
„п 11 11 ''' 1д 11 ДД ''' Дд = а11А11+ а„АЫ+ ... + а,„Ага а„д ° ° ° ада а а ... а „ + О + ... + О ... а „ (здесь каждый элемент л-го столбца представлен в виде суммы п слагаемых, и — 1 из которых равны нулю). По свойству 4 (см. замечание на стр. 26) имеем Р=Р,+Р +...+Р„, где аи ' ' ' адд ' ' ' ада а...о...атд а„„... О ... а„„ а 1 ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
