Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 8
Текст из файла (страница 8)
— р.) будет решением системы (28): если аоя1+а<ряг+... ...+а,„я„=й, и а,ф,+а;грг+...+а; р„=6,, то аи(яг — р1)+аа(яг — рг)+... +а;„(я„— р.) =6,— 6,=0. Заметим, что для того чтобы получить фундаментальную систему решений, мы могли бы придавать свободным неизвестным и какие угодно другие значения, лишь бы соответствующий определитель й-го порядка был отличен от нуля.
Так можно найти сколько угодно фундаментальных систем решений, каждая из которых состоит из А = п — г строк. Из результатов следующей главы будет видно, что л ю б а я фундаментальная система решений уравнений (22) состоит в точности из а — г решений. Таким образом, можно сказать, что общее решение системы (22) линейных однородных уравнений имеет вид с1е1 + с,ег + ... + с,е„ (26) где еь ег,..., е„ какая-то (какая угодно!) фундаментальная система решений, а сь сг, ..., с„ — произвольные числа.
Сделаем еще одно, важное для дальнейшего, 3 а м е ч а н и е. Рассмотрим систему уравнений ЕО ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ~ГЛ. где сь с2,..., с„ — произвольные числа. $ 11. Метод Гаусса Формулы Крамера, представляющие большой теоретический интерес, серьезного практического значения, однако,, не имеют, так как их применение приводит к слишком громоздким вычислениям. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется м е т о д Г а у с с а, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме, Для того чтобы решить систему уравнений а„х, +аых, +...+а„,х„=Ь„ а„х, +а„х, + ... +а.„,х„= Ь„ (29) а»21Х1 + а»22Х2 + ' + а»2»х» = Ь»2, выписывают расширенную матрицу этой системы: в=[ 11 12 ''' 1» 21 22 ''' 2» ~»21 1»2 ''' и»2» а Далее, если ез — — (ун 72, ..., 7„) — произвольное решение однородной системы (28), то строка е1 + е2 = (221+ 71 аз+ ум, а +7 ) будет удовлетворять системе (27): если ана1+ ааа2+...
+ а 22 = Ь, и аи71 + аа72+... + а,„7„= О, то ан (а1+71)+аа(аз+72)+... +а1„(а.+7„) =Ь,+О=Ь» Отсюда следует, что все решения системы (27) можно получить, прибавляя к одному какому-нибудь ее решению всевозможные решения однородной системы (28), Иными словами, общее решение системы (27) равно сумме общего решения однородной системы (28) и произвольного, но фиксированного решения системы (27): если еь е2, ..., е„— фундаментальная система решений однородной системы (28) и е,— произвольное фиксированное решение системы (27), то общее решение систе мы (27) имеет вид ео + с,е1 + сзе2 + .. + с„е„, $ н! МЕТОД ГАУССА х, + 2х, + Зх, = 2, х,— х,+ х,=О, х, + Зхз — хз —— — 2, Зх, + 4х, + Зх, = О. (ЗО) Расширенная матрица этой системы имеет вид ! 3 — ! — 2 Вычитая первую строку из второй и из третьей и ут- роенную первую из четвертой, получим матрицу — 21 ! 2 3 Π— 3 — 2 О 1 — 4 Π— 2 — 6 Эта матрица — расширенная матрица системы х, + 2х, + Зх, = 2, — Зхз — 2хз = — — 2 х,— 4х,=- — 4, — 2х,— бх = — б, (31) где чертой отделен столбец свободных членов; затем над с т р о к а м и матрицы В производят элементарные преобразования: разрешается изменять порядок строк (что соответствует изменению порядка уравнений), умножать строки на любые отличные от нуля числа (что отвечает умножению соответствующих уравнений на эти числа) и прибавлять к любой строке матрицы В любую другую ее строку, умноженную на любое число (что соответствует прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на это число).
С помощью таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, р а в н о с и л ьной исходной. При этом стараются привести матрицу В к возможно более простому виду, из которого решение системы видно непосредственно. Рассмотрим подробнее метод Гаусса на трех конкретных примерах.
зе ОпРеделители и системы линейных уРАВнениЙ !гл. 1 которая получается из заданной системы (30), если первое уравнение вычесть из второго и третьего, а утроенное первое вычесть нз четвертого. Поэтому система (31) является с л е д с т в н е м системы (30) — каждое решение системы (30) будет удовлетворять и системе (31). Но и обратно, система (30) может быть получена из системы (31) посредством аналогичных преобразований: первое уравнение прибавляется ко второму и третьему, а утроенное первое — к четвертому. Поэтому система (30) будет, в свою очередь, следствием системы (31), и значит, обе системы р а в н о с и л ь н ы — они имеют одни и те же решения.
Далее, прибавив утроенную третью строку ко второй и удвоенную третью к четвертой, получим т г з ΠΠ— 14 О ! — 4 ΠΠ— 14 ! е 3 О О О ! — 4 о о о -1 Но это — расширенная матрица системы с х, + 2х, + Зх, = 2, х, = 1, х,— 4хз= — 4, равносильной заданной системе (30), и значит, решением системы (30) будет ха=1, хз= — 4+4хз=О, А!=2 — 2хт — Зхз = 2 — 3 = — 1, В этом случае ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов н равен, очевидно, трем. х, + 2х4 + Зхз — х, = О, х,— х,+ х,+2х,=4, х,+5х,+ 5х,— 4х,= — 4, х4 + 8х4 -1- 7х — 7х4 = — 8. Вычитая вторую строку из четвертой и сокращая ее на — 14, будем иметь МЕТОД ГАУССА 53 $1Ц Выписав расширенную матрицу этой системы, после очевидных преобразований получим 1 2 3 — 1 Π— 3 — 2 3 О З 2 — З О 6 4 — 6 Х1+2хз+Зхз — х4 — — О, ! откуда и значит, — Зхз — 2хз+ЗХ4 = 4, 4 2 х = — — — — х,+х з з Ао 5 Х = — 2ХТ вЂ” ЗХ + Х4 = — — — Хз — Хм 1 3 3 Здесь ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов и равен, очевидно, двум.
х, + 2х, + Зх, — х, = О, х,— х,+ х,+2х,=4, х, + 5х, + 5х, — 4Х4 = — 4, х, + Зх, + 7х, — 7х, = б. Имеем, очевидно, 1 2 З-! ΠΠ— 3 — 2 3 4 о о о о о О О О О!4 и значит, система несовместна, так как равносильная ей система содержит уравнение О Х1+О'хе+О хз+О Х4=14 (последняя строка).
Здесь ранг матрицы коэффициентов равен, как легко видеть, двум, а ранг расширенной матрицы равен трем, с 1 2 3 — 1 1 — 1 1 2 1 5 5 — 4 ! 8 7 — 7 1 2 3 — ! 1 — 1 1 2 1 5 5 — 4 1 8 7 — 7 '!о з — ! — 3 — 2 3 3 2 — 3 6 4 — 6 -!1 1 2 3 — ! Π— 3 — 2 3 о о о о о о о о -1 о] 54 оппнднлитнли и систимы линвлных урявнпнил !гл. 1 Пример. Методом Гаусса решить однородную систему урав- нений +4хз +5хз=О, +Зхз +х О +хе +2хз= О, + 12хз + 9хз = О, Зхз +Зхз= О х, + 2х, + Зх, 2х, + Зх, + 4хз Зхт + 4х, + бхз х, + Зх, + бхз 4х, + 5хз+ бхз и найти ее фундаментальную систему решений Р е ш е н и е. Выпишем расширенную матрицу системы (при этом нулевой столбец можно, конечно, не писать).
После понятных преобразований будем иметь 2 3 4 †! — 2 — 3 — 2 — 4 — 1! 1 2 3 — 3 — 6 — 19 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 1 3 5 !2 9 4 5 6 — 3 3 1 0 0 0 0 1 2 0 — 1 0 0 0 0 0 0 5 — 9 — 13 4 — 17 3 4 5 — 2 — 3 — 9 0 — 5 5 0 5 — 5 0 — !О 10 2 3 4 5 1 2 3 9 0 0 — 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 т. е. заданная система равносильна следующей: < хз + 2хз + Зхз+ 4х, + 5хз = О, ха + 2х,+ Зхз+ 9хз = О, — ха+ха = О. Здесь г 3, и три неизвестных можно выразить через остальные, например, так: Хз = ХЗ, хз = — 2хз — Зхз — 9хз — 2хз — 12хз, хз = — 2хз — Зхз — 4х, — 5хз = ха + 15хз, Фундаментальную систему можно получить, если свободным неизвестным хз, хз придавать значения хз = 1, хз = 0 (тогда хз = 1, х, — 2, х, = 0) и значения хз О, хз = 1 (тогда х, = !5, хз = — 12, хз = 1).
Это дает фундаментальную систему решений: е, =(1, — 2, 1, О, 0), ез =(15, — !2, О, 1, 1). Общее решение системы имеет внд е = а,е, + аге, = (аз+ 15аь — 2а, — 12аь аь а,, а,), где аз и аз — произвольные числа, ГЛАВА П л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО $1. Что такое поле В первой главе мы рассматривали системы линейных уравнений, коэффициентами которых являются числа. Мы намеренно не уточняли, какие именно числа; читатель мог считать эти коэффициенты произвольными в ещественными числами — тогда и решения системы будут вещественными. Однако с тем же успехом он мог считать, что это — к о м и л е к с н ы е числа; тогда и решения системы были бы образованы комплексными числами, но все теоремы из главы 1 остались бы справедливыми и для этого случая. С другой стороны, можно было бы ограничиться рассмотрением систем уравнений, скажем, с р а ц и о н а л ь н ы м и коэффициентами.
Их решения будут образованы тоже рациональными числами, но все предложения первой главы останутся справедливыми. Здесь все дело в том, что вещественные числа (а также комплексные или одни только рациональные числа) можно складывать и перемножать по известным правилам арифметики, получая при этом т а к и е же числа. Это выражают словами: вещественные числа (а также комплексные, рациональные числа) образуют поле. Полем называется множество Р элементов "), для кагорах определеньг две алеебраические операции — сложение и улгножение (так что сумма а+Ь и произведение аЬ любых двух элементов а и Ь из т" принадлежат т"), причем выполнены следующие условия (а к с и о м ы пол я): 1. а+Ь=Ь+а для всех а, Ь из т" (сложение ко м м утатнвно).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
