Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 11

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 11)

Возьмем произвольные т > и векторов из )т: а1, ам ..., а . По условию, каждый из них можно линейно выразить через е1, е2, ..., е„: а1 — — а1 1е1 + а21е2 +... + а„1е„, Й2 = 4212Е!+ 2222Е2+ . ° ° + 42~2Ею~ а =а1 е1+а2 е2+...+а е„ Рассмотрим матрицу а1 а ... 441,„ ам а„...а, Так как число строк этой матрицы равно п, то ее ранг не больше чем п, и значит, среди ее столбцов имеется не более чем и линейно независимых. Но так как п2 )и, то л2 столбцов этой матрицы между собой л иней* но зависим ы.

А это значит, что линейно зависимы и векторы а1, а2, ... а . Мы нашли, что пространство 42' л.мерно и е1, е2,..., е„— его базис. Из теоремы 2 вытекает, что пространство )г" упорядоченных строк из и чисел и-мерно. Действительно, и строк е1= (1, О, ..., 0), е2 (О, 1, ..., 0), ..., е„=(0, О, ..., 1) линейно независимы, так как из равенства а1е1+422е2+ ..+Сс„е„=(а1, ам ..., а.)= (О, О, ..., 0) вытекало бы, что а1 —— С42 =... = а. = О. С другой стороны, к а ж д а я строка е = ($1, 32, ..., 3.) линейно выражается через в1, ез, ..., е„: и = $1е1 + $2е2 +...+ $„е„. Строки е1, е2, ..., е. образуют, следовательно, базис пространства Я".

Пространство Р„многочленов степени не выше л имеет размерность а+ 1. В самом деле, многочлены 1, 1, 12, ... ° 1" ь.магное пгостглнство 1гл. и 70 между собой линейно независимы, и каждый многочлен от 1 степени. не выше п через них выражается очевидным образом. Т е о р е м а 3. В конечномерном векторном пространстве каждое множество линейно независимых векторов можно включить в некоторый базис. Доказательство. Пусть векторы еь ем ..., е, пространства Я линейно независимы. Если каждый из остальных векторов из 1г линейно выражается через еь ем ..., е„, то, по теореме 2, это уже базис. Если же найдется вектор е„еь линейно не выражающийся через еь ем ..., е„, то й + 1 векторов е„ ем ..., е„, е,~1 линейно независимы. Действительно, если бы имело место равенство а,е1 + атея +...

+а„е, + ае„+~ — — О, то а Ф О, ввиду линейной независимости векторов еь ез ..., е„, и вектор е,+~ линейно выражался бы через вьем...,е„. Присоединим вектор е„+, к е„еь ..., е,. Если все векторы пространства 1г линейно выражаются через еь ем, е„, е,+ь то это уже базис. Если же найдется вектор е,+м не выражающийся линейно через е„ем ..., е„, е,+ь присоединим его к ним; новая система векторов е„ ер, ..., е„, е,+ь е„+т будет линейно независимой, и т.

д, Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, так как пространство Р, по условию, конечномерно, и, следовательно, в нем не может быть бесконечного множества еь ем еы ... линейно независимых векторов. Поэтому, в конце концов, мы получим такую линейно независимую систему векторов еь ем ..., е„, е„+ь ..., е„ через которую уже будут линейно выражаться все остальные векторы из Я. Ввиду теоремы 2 это и будет базис пространства 1с, содержащий заданные векторы е„ем ..., е„. $5.

Изоморфизм векторных пространств Пусть Я вЂ” и-мерное векторное пространство и еь ем ..., е„— некоторый его базис. По теореме 1, каждый вектор х еи Я однозначно представляется в виде линей- эн НЗОМОРФНЗМ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ ной комбннацнн х = х1е1 + хает + ... + х„е„ векторов еь ет, ..., е.. Если вектору х поставить в соответствие строку (хн хт, ..., х„), то, как мы видели в $4, прн сложении векторов соответствующие нм строки тоже складываются, а прн умножении вектора на число соответствующая ему строка умножается на то же число. Такнм образом, отправляясь от самого общего определення и-мерного векторного пространства, мы прншлн к тому, что это пространство «устроено» в некотором смысле так же, как пространство всевозможных строк нз п чисел. Значит, все и-мерные векторные пространства над одним н тем же полем г" устроены одннаново; онн, как принята говорить, н з о м о р ф н ы между собой. Точный смысл этого термина содержится в следующем определении.

О и р е д е л е н н е 5. Векторные пространства гс и Д' над одним и тем же полем г (в частности, два вещественных нлн два комплексных векторных пространства) называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие ') такое, что если х х' (х соответствует х') и у у', где х, уы)г, х', у'~Л', то х+у х'+у' и при любом арго ах ссх' (или, короче, (х+у)'=х'+у' и (ах)'=ах'). Из этого определения сразу видно, что два векторных пространства, нзоморфных третьему, нзоморфны между собой.

Имеет место следующая Теорем а 4. Для того чтобы дви векторных пространства (определенных над одним и тем же полем Р) ч) Говорят, что эадано взаимно одлоэночное отображение множества М на множество )У (в частности, М на М), если каждому элементу о ев М поставлен в соответствие онределейный элемент Ь ев АГ, врнчем иаждма элемент зев и поставлен в соответствие одному онределенному элементу лез М. В этом случае говорят также, что между множествами М и й' установлено еэоклно однозначное соответствие, и.МВРНОВ ПРОСТРАНСТВО [гл.

и были изоморфньс, необходимо и достаточно, чтобы они имели одинаковые размерности. Д о к а з а т е л ь с т в о д ос т а т о ч н о с т и. Пусть даны два и-мерных векторных пространства й и тт' над полем Р. Выберем в каждом из них по базису: е„е„..., е„в гт и е„е,, ...,е„в Вектору х, имеющему в базисе еь ег, ..., е.

координаты хь хм ..., х„, поставим в соответствие вектор х' из Я', имеющий т е ж е с а м ы е координаты в базисе е„е»и ..., е„. Тогда, поскольку при сложении векторов их соответственные координаты складываются, а при умножении на число — умножаются на то же число, будем нметги если х х', у у', то х+ у х'+ у' и для любого а ~ Р ах ах'. Следовательно, Я' изоморфно й. Д о к а з а т е л ь с т в о н е о б х о д и м о с т и.

Для того чтобы доказать, что векторные пространства Д и й' р а зных размерностей не изо мор фи ы между собой, заметим прежде всего, что при «изоморфном» соответствии между двумя пространствами нулевому вектору одного пространства соответствует нулевой вектор другого. Действительно, пусть Π— нулевой вектор из Я и О' — соответствующий ему вектор из И', х' — произвольный вектор из й' и х х', где х~и К.

Тогда, по определению, О + х О'+ х'. Но О+х=х, а так как х х' и соответствие между Й и И' — взаимно однозначное, то О'+ х' = х', т е. О' — нулевой вектор пространства Я'. Если пространства Я и Л' изоморфны и векторам аь ам...,а,из Ясоответствуютвекторы а„а„...,аг пространства Я', то из линейной зависимости векторов аь ам ,а, вытекает, что и векторы а„а,,...,аг тоже линейно паввход к новомт вхзисв 73 вависимьй и обратно. Действительно, пусть, например, а,а, + ага, +... + а,а, = О.

Тогда вектору гг,а, + + аэаг +... + а„а„пространства )г, равному О ен )г, в пространстве Й' соответствует вектор а,а,+а,а.,+ ... + +ахах и, значит, гг,а, + аэаг+ .. +ака =О. Следовательно максимальное число линейно независи. мых векторов в изоморфных пространствах должно быть одинаковым, а значит, размерности этих пространств †равн. (В частности, бескоиечномерное пространство не изоморфно никакому пространству конечной размерности.) В силу теоремы 4 единственной характеристикой конечномерного векторного пространства, определенного над данным полем Р, является его размерность.

По своей алгебраической структуре все и-мерные векторные пространства над полем Р одинаковы. Можно, следовательно, сказать, что и-мерное векторное пространство— это пространство всевозможных строк из и чисел. Поскольку мы уже условились, что основное поле Р— фиксированное числовое поле, то п-мерное векторное пространство можно обозначать просто через одно обозначение для всех и-мерных векторных пространств над одним и тем же полем Р законно, потому что все п-мерные векторные пространства над полем Р одинаковы (изоморфны).

$8. Переход к новому базису Пусть в пространстве )г" имеются два базиса: е„е„..., е„и е„е,, ..., е„. Первый условимся называть от а р ы м базисом, второй — новым. Каждый из элементов нового базиса, по теореме 1, можно линейно выразить через векторы старого базиса е, = аые, +а„е„+ ... + а„,е, е,=а„е,+а„еэ + ... +а„,е„, (2) е„= а„,е, +па„е, + ...

+ а„„е„. и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО игл. и Можно сказать, что новые базисные векторы получают- ся из старых с помощью матрицьл А =[ иги ам а«и '' ии« а а «1 иь ''' «« х, = а„х', +аыхг + ° .. +а, х'„, х, =а„х, +а„х, + ... +а„х„ Ф В ° « х„=а«,х,+а„,х,+ ... +а х„. Таким образом, старые координаты вектора х полу- (причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы). Матрйца А называется матрицей перехода от базиса е„ еы ..., е„к базису е„е„...,е„.

Характеристики

Список файлов книги