Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Определитель матрицы А не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы е„е,,..., е,были бы линейно зависимы. Обратно, если определитель матрицы А отличен от нуля, то столбцы ее линейно независимы, и значит, векторы е„е,,..., е„, получающиеся из базисных векторов еь ет, ..., е„с помощью матрицы А, линейно независимы, т. е.
образуют некоторый базис. Значит, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка и с отличным от нуля определителем. Посмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть х = х,е, +хтет+...+х„е„— в старом базисе и в то же еремах = х,е, + х,е, + ...
+ х„е„— в новом. Подставляя в последнее равенство вместо е„е,, ..., е их выражения (2) через еь еы ..., е„, получим х = хт (а„е, + а„е, +... + а„,е„) + хз (а„е, + а„е,+... + + а„,е„)+ ... + х„(а,„е, +а„,е,+ ...+а„„е„) =(аых, + + а„х, +... + а,„х ) е,+(а„х, + а„х,+... + а, х„)е,+ + ... +(а„,х, + аи,х,+ ... +а„„х„)еы Ввиду единственности разложения вектора х по базису еь ет, ..., е„ отсюда следует, что пагеход к ноаомг алзисг эм 75 чаются нз новых его координат с помощью той же матрицы А, только коэффициенты соответствующих раз.
ложений образуют с т р о к и этой матрицы. Пример. Пусть еь ез — единичные векторы, направленные по осям прямоугольной декартовой системы координат. Повернем оси координат на угол ф против часовой стрелки, и пусть е„ а, — новые базисные векторы. Углы, образуемые вектором е, с векторами е~ и з Рис. 5. ез, равны соответственно ф и ф — — (рис.
5). Поэтому координаты этого вектора в базисе еь ез равны соз ф и соя(ф — — ) = з!п ф, значит, е, = соз ф е, + з!п ф ез. Аналогично, углы вектора е, с векторами е~ и ез равны соответственно -я-+ф и ф; координаты его в базисе еь ез равнысоз( — + ф)=- — з!пф и соя ф, и значит, е, = — з!пф е,+созф еь Таким образом, матрицей перехода здесь будет соз ф — $1п ф с А з!п ф соз ф а выражения старых координат через новые имеют вид х,=созф х,— з!пф х„ хз = 3!и ф х1+ соз ф хз, 7б .манное пеостелнство [гл. и й 7.
Подпространства векторного пространства О п р е д е л е н и е 6. Подпространство векторного пространства Л вЂ” это множество Р~ его элементов, само являющееся векторным пространством относительно введенных в Я операций сложения и умножения на число. Для того чтобы убедиться в том, что множество )т1 элементов векторного пространства й является его подпространством, необходимо проверить, что для любых двух векторов х и у из Я1 их сумма х+у тоже принадлежит Я, и что для каждого вектора х из )с1 и произвольного а ~ Р произведение ах тоже принадлежит )сь Покажем, что этого и достаточно.
Действительно, аксиомы 1, 2 и 5 — 8 векторного пространства, справедливые в Й, будут выполняться, в частности, и для элементов из Йь Далее, если какой-то вектор хенЛь то и произведения О х = О н ( — 1) х = — х тоже принадлежат Рь Следовательно, нулевой вектор принадлежит )г1 и для каждого х из Я, вектор — х тоже принадлежит Яь Размерность любого подпространства векторного пространства не превосходит размерности самого пространства; ведь линейно независимые векторы подпространства Я1 будут линейно независимыми и во всем пространстве, а значит, максимальное число линейно независимых векторов подпространства не превосходит размерности всего пространства.
П р и м е р ы. В обычном трехмерном пространстве (рассматриваемом как множество принадлежащих ему векторов) подпространствами будут все плоскости и все прямые, проходящие через начало координат. Подпространствами любого пространства будут само простран. ство Р и множество, состоящее из одного нуля. В пространстве Р„многочленов степени не выше и подпростраиствами будут, например, все Р, при гг(п — ведь складывая и умножая на числа многочлены степени не выше к, мы будем получать снова такие же многочлены. С другой стороны, каждое из пространств Р„содержится в качестве подпространства в пространстве Р всех многочленов с вещественнымн коэффициентами, а это последнее является подпространством пространства С непрерывных ф у н кцн й. подпеоствлнствл вкктовного пвоствянствл тт Рассмотрим систему линейных однородных уравне.
ний, ранг матрицы коэффициентов которой равен ю а„х, + а„х, + ... +а,„х„= О, а„х, +а„х, +... +а„х„=О, а»1!х1+ ат2х2 + + ат»х» = 0~ (3) хд.ь, аь+гпх, + аь»ьгх, + ... + а, „,,„х„, ° ° ° ° х„=а„,х, +а„,х,+ ... +а„„х„, где аи — некоторые числа, и значит, подпространство )с, в базисе еь ем ..., е„определяется системой линейных однородных уравнений а«+,ах, + а„+,пх, + ... + а „, „х„ = О, а„,х, + а„«х, +,. ° + а„«х, = О, и пусть в векторном пространстве )т" зафиксирован какой-то базис. Если каждое решение (ссь ам ..., а„) системы (3) рассматривать как вектор пространства то из результатов $10 главы 1 вытекает, что совокупность всех решений системы (3) является я-мерным подпространством (где й = и — т) в )г", базисом которого служит любая фундаментальная система решений.
Покажем, что и, обратно, каждое надпространство векторного пространства в любом базисе определяется некоторой системой линейных однородных уравнений. Действительно, пусть й~ — А-мерное подпространство в )с" и е„е„...,еь — базис йь Дополним эту линейно независимую систему векторов )с" до базиса е„е, ... ..., егн е~+„..., е„всего пространства и*". Легко видеть, чтоесли х„х,,...,х„— координаты относительно этого («старого») базиса, то подпространство Я~ в этом базисе определяется системой уравнений: хь.ь1 = О, хе+» =О, ° ° ., х, =О. Далее, если хн хм ..., х„ — координаты относительно любого другого («нового») базиса еь ем ..., е„, то, как показано в $ 6, имеют место, в частности, равенства [гл.
и п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО $8. Линейные многообразия Пусть дано векторное пространство Д", в котором выбран некоторый базис. Рассмотрим (совместную) систему линейных, вообще говоря, неоднородных уравнений: а„х, +а„х, +...+а„,х„=Ь„ аггхг + а„хг + ... + а„,х„= Ь„ (4) ат,Х, + атгхг+ . ° ° + атпх Ьт, ранг матрицы коэффициентов которой равен г, и пусть й=п — г. О и р е д е л е и и е 7. Совокупность векторов пространства )с", координаты которых удовлетворяют системе Рис. 6. линейных уравнений (4), называется линейным многообразием. Согласно замечанию, сделанному в конце $10 главы 1, общее решение х системы (4) равно сумме общего решения хь соответствующей (т.
е. с теми же коэффициентами при неизвестных) однородной системы (3) и произвольного, но фиксированного решения а = = (аь аг..., а„) системы (4). Таким образом, линейное многообразие решений системы (4) получается, если к каждому вектору из надпространства решений соответствуюи(ей однородной системы (3) прибавить один и тот же вектор а (см. рис.
6, где концы векторов, образую- $9! пеРесечение и суммА подпРостРАнств 79 щих линейное многообразие, принадлежат плоскости и, получающейся из надпространства пь параллельным переносом на вектор а). Покажем, что и, обратно, если к каждому вектору подпространства Р~ с: 14" прибавить один и тот же вектор а, то получится линейное многообразие. Пусть подпространство 441 определяется системой линейных однородных уравнений (3) и а = (а„а9, ..., а„).
Положим апа,+ааа,+...+а,„а„= 8„4=1, 2..., и, (5) и рассмотрим систему уравнений (4). Ввиду условий (5), вектор а является одним из решений этой (вообше говоря, неоднородной) системы. Следовательно, линейное многообразие, определяемое системой (4), совпадает с заданным множеством Й1+ а векторов.
Линейное многообразие (4) называется я-мернь4м, если й-мерно соответствующее ему подпространство (3). 9 9. Пересечение и сумма надпространств О п р е д е л е н и е 8. Пусть в векторном пространстве й имеются два подпространства К, и Я9. Их пересечением 149 = й,()149 назь4вается множество всевозможных векторов из Я, принадлежащих одновременно и )хь и Й9 Легко видеть, что пересечение двух надпространств Я, и )49 является подпространством (содержащимся и в 44'ь и в 44'9). Определение 9. Если Я1 и й9 — подпространства линейного пространства 14, то их с у м м о й Я4 — — Я,+ + 449 называется множество всех векторов вида и+ о, где и~)41 и оенйт.
Сумма двух надпространств является подпространством (возможно, совпадающим с Я). Действительно, если х, у ен 444, то х = и|+ оь у = из+ ог, где иь их я ен 141 и оь оз ен Й9, и тогда х+у = (и, +из) + (о1+ох), где и,+итяй~ и о~+охен449, поэтому х+уенЦ Далее, если оса Р, то ах = аи~ + ао„где си, я гсь ао4 а= 149 и, следовательно, ахи)44. Подпространство 14, (так же, как и 449) содержится в Я4, ибо каждый элемент х ~ 141 можно представить в виде суммы х + О, где х а 44 ь а 0 ен 449. 1гл, и во а.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО Теорема 5.
Если 141 и йа — поднространства векторного пространства )7 и )72 — — )аа! П)7ь а )74 = )7!+)72, то 4((141) + с((142) = 41()72) + с((144). (6) Доказательство. В подпространстве 1тр выберем ка«ой-нибудь базис Е1, Е2, Ер,..., Е,. (7) Дополним множество (7) векторов, принадлежащих одновременно и 141, и И2, до базиса Я!! е1, ер..., еа, 7+и (8) с одной стороны, и до базиса 1421 е„е2, ..., е„да+1, ..., йр — с другой (теорема 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
