Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной; система, не имеющая ни одного решения,— несовместной. Система, имеющая единственное решение, называется определенной; система, имеющая более одного решения,— неопределенной. Рассмотрим две матрицы: матрицу А, составленную из коэффициентов при неизвестных системы (20), и мат- рицу 42 опгвделители и системы линкиных ткквнвнии [гл. | г(В)) г(А), так как каждый минор матрицы А будет минором и матрицы В, но не наоборот.
Т е о р е м а 8 (критерий совместности системы линейных уравнений). Для совместности системы (20) необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы В был равен рангу матрицы коэффициентов А. Доказательство необходимости. Предположим, что система (20) совместна, т. е. что су|цествуют такие числа х| = а|, хз — — |хз, ..., х„= а., что а,|а| + адар+...
+ а|„а„= Ь!, а„и| + азтаз + . + аыи„= Ьм а |а| + а гас+... т а „а„= Ь . Вычитая из последнего столбца матрицы В первый ее столбец, умноженный на аь второй, умноженный на ам и т. д., наконец, п-й, умноженный на сс„, мы получим матрицу а а, ... а,„ О а а, ...а„о с=[ и предположим, для определенности, что отличный от нуля определитель г-го порядка матрицы А расположен в левом верхнем ее углу: а и ...
а " ~0. а г| гз ''' гг Тогда первые г строк м а т р и ц ы В линейно незави. симы, а так как ранг ее в точности равен г, то осталь- ранг которой по теореме об элементарных преобразованиях, равен рангу матрицы В: г(С) = г(В). Но ясно также, что г(С) = г(А), так как все ненулевые миноры матрицы С равны соответствую|цим минорам матрицы А, и обратно. Следозатсльно, г(В) = г(А), Доказательство достаточности. Пусть г(В) = г(А) = г, $91 ПРОИЗВОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 43 ные строки матрицы В линейно выражаются через первые г ее строк.
Но это означает, что первые г-уравнений системы (20) независимы, а остальнгяе т — г ее уравнений «являются их линейными комбинациями», т. е. просто являются их следствиями, В этом случае система на самом деле состоит лишь из г независимых уравнений, Нам достаточно поэтому решить первые г уравнений системы; их решения автоматически будут удовлетворять и остальным т — г уравнениям. Далее возможны два случая: 1. г = и, Тогда систему, состоящую из первых г уравнений системы (20) а„х,+а„х,+ ... +а„х, = Ь„ а„х, +а„х,+ ...
+а,„х„= Ь„ а„гх, + а„,х, + ... + а,„х„= Ь„ можно решить, например, по формулам Крамера. В этом случае система имеет е д и н с т в е н н о е решение. Она — совместная и определенная. 2. гс.,п. Возьмем первые г уравнений системы и, ос. тавив в левых частях первые г неизвестных, остальные перенесем в правые части: аих,+агх, т-...
+а,„х„=Ь,— а, „+,х„+,—...— а,„х„, агсхг+аыяг+ ° ° +аггХг= Ьг аг, +ТХ г.г ° — а~~х„, "' (21) а„,х,+а„,х,+... +а„х,= Ь,— а,,э,х„+, —... — а,„х„. «Свободным неизвестным» х,+н х„г, ..., х„можно придавать к а к и е у г о д н о значения, получая при этом соответствующие значения неизвестных х„х,, ... ..., х, из системы (21). Это — случай совместной, но не определенной системы. Общие формулы решения можно получить, если решить систему (21) относительно хь х„..., х„например по формулам Крамера. Этим и завершается доказательство теоремы 8: если г(В) = г(А), то система (20) — совместная (определенная или неопределенная), если г(В) )г(А), то система (20) — несовместна, 44 определители и системы линейных уРАВнениЙ !гл, ! хз+ 2х,+ Зхз= 2. х — х +х, =О, х +Зх,— хз= — 2, Зх, + 4хз + Зхз — — О.
хз + 2хз + Зхз — х4 = О, хз — хз + хз + 2хз = 4, х, + 5х, + Зхз — 4Х4 — — — 4, х, + Зхз + 7хз — 7хз = — 8. 3. хз + 2Х, + Зхз — хз = О, хз — хз + хз + 2хз = 4, х, + 5хз + 5хз — 4х4 = — 4, хт + Зх, + 7хз — 7хз = 5. Р е ш е и и е. !. Здесь г(А) = 3, г(В) = 3; система совместная, определенная. Тан нан ! 1 2 3) 1 — 1 ! =14+0, 1 3 — ! то из первыл трех уравнений системы, например по формулам Кра- мера, находим хт 1 хз О х3 ! 2. Здесь г(А) = 2, г(В) 2; система совместная, на пе определенная.
Определитель н из первых двух уравнений системы Хт + 2Хз — — — ЗХ3 + Х4, хз — хз = 4 — хз — 2х, Теперь мы в состоянии ответить на вопрос, остававшийся пока открытым: что можно сказать о системе и линейных уравнений с и неизвестными, определитель которой р а в е н н у л ю. Для такой системы ранг матрицы коэффициентов т(а, так как единственный минор и-го порядка этой матрицы, по условию, равен нулю. Если ранг расширенной матрицы В такой системы тоже равен т, то система будет совместной, но, поскольку г( (и, неопределенной; если же ранг матрицы В больше т, то система несовместна. П р н м е р. Решить следующие системы уривпеяивс $ ия ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ находим 8 5 4 2 хт= 3 — хз хе, хе= ха+хе, 3 3 з е е= 3 3 з где неизвестным х, и хч можно придавать любые значения.
3. Здесь г(А) 2, г(В) 3, и система несовместна. $10. Однородные системы О д н о р о д н ы е линейные уравнения — это уравнения, свободные члены которых равны нулю: а„х, + а„хе )-... + а,„х„= О, аз,х, +а.„хе + ... +а,„х„=О, (22) а,х,+а„,х, +... +а„„х = О. Система (22) однородных уравнений (или однородная система линейных уравнений) всегда совместна, так как имеет, например, н у л е в о е решение: «г=б,хе=О,...я=О (т, е, решение, в котором значения в с е х неизвестных равны нулю). Это следует также из теоремы 8, так как в этом случае, разумеется, г(В) = г(тт).
Важно выяснить, при каком условии однородная система (22) является неопределенной, а значит,— что бывает особенно важно — имеет и н е н у л е в ы е решения. Ответ на этот вопрос дает следующая Теорема 9. Для тоео чтобы система (22) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг г ее матрицы коэффициентов был меньше и.
Действительно, если г = и, то, как видно из доказательства теоремы 8, система (22) имеет еди нств ени о е и, значит, только н у л е в о е решение: х1 = хт =... = х„=О. Если же г(п, то система (22) является н е о п р е д еленной (ведь несовместной она быть не может), и значит, она имеет бесчисленное множество решений, в том числе и бесчисленное множество ненулевых решений. Из доказанной теоремы непосредственно вытекает 45 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕИНЫХ УРАВНЕНИИ [ГЛ. 1 Теор е м а 10, Для того чтобы однородная система п линейных уравнений с и неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходил<о и достаточно, чтобы ее определитель 0 был равен нулю. Дока з а тельство. Условие А) = О здесь не обходи ма, так как если Р Ф О, то система имеет единственное и, значит, только нулевое решение.
Это условие также и д о с т а т о ч н о, так как если 0 = О, то ранг матрицы коэффициентов системы т =и, и система имеет бесчисленное множество (ненулевых) решений. Пусть х< — — аь хе = ам,, х„= а — какое-нибудь ненулевое решение однородной системы (22). Это решение можно рассматривать как с т р оку е< =(аь ам, а ), состоящую из и элементов. Тогда строка се, =(саь сам ... са„) тоже, очевидно, будет решением системы (22). Далее, если ег =(Р< Рз« ° ° Р ) — какое-то другое решение системы (22), то при любых с< и сзлинейная комбинация с,е, +сзе, =(с<с<< +вар<, с«хт+ сзрм ..., с<а„+ сан„) этих решений тоже будет решением системы, так как если аиа< + а<таз +...
+а,.а. = О, аир< + а<Тра +... + а<„р„= О, то и аа (с<а<+вар<) +аз (с<аз+сарг) +...+а<„(с<а.+са()„) = О. Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (22) тоже будет ее решением. Интересно поэтому найти такие линейно независимые решения системы (22), через которыелинейновыражались бы все остальные ее решения. Линейно независимая система решений е<, еь ..., е, уравнений (22) называется ф ум даме н т а л ь ной, ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ 4т если каждое решение системы (22) является линейной комбинацией решений ен ем ..., е,. Теорема 11 (о существовании фундаментальных систем решений). Если ранг г матрицы коэффициентов системы уравнений (22) меньше п, то эта система обладает фундаментальными системами решений.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ранг т матрицы А козффициентов системы (22) меньше и, и пусть, для определенности, минор Р г-го порядка, стоящий в л е в о м верхнем углу матрицы А, отличен от нуля: ли вм ° ° . "1д вм вы ''' "зл Р = вмг ата" атп аи а ...а,„ "м вез '.. аз, а а„... а„ +О. Перенеся свободные неизвестные х, н ..., х„первых т уравнений системы (22) в правые части, получим систему амх, + а„х, +...
+ а,„х„= — аи„+,х„+, —... — а,„х„ а„х, +а,,х, +... + а,„х„= — а, „+,х,+,—... — а,„х„, а„х, + а„,х., + .. + а„„х„= — а„,„+,х,+, — ... — а„„х„. (23) Придавая свободным неизвестным значения х,~1 = 1, х,+з = О, ..., х„= О, е1 = (аь ам ..., а„!, О, ..., 0), получим соответствующие значения х~ = аь хз = ам .., ..., х„= а, первых т неизвестных. Это дает нам стро- ку — решение системы (22) (аи ам ..., а„1, О,..., 0). Аналогично, придавая свободным неизвестным значения х,+1 = О, х,+з = 1, ..., х„= 0 и вычисляя соответствующие значения неизвестных х1 = рь хз = рм ..., х, = р„получим строку ф,бм...,()„0,1,...,0), и т. д.
Так мы найдем всего й = п — т решений систе- мы (22): 48 опРеделители и системы линеиных уэавнении [Гл. ! в = (р„р,..., р„О, [,..., О), (24) вь = ($[, $м °, $„0, О,..., 1). Эти е строк между собой линейно независимы, нбо ранг образованной ими матрицы а а ... а ! о ... о р, р, ... р, о ! ... о (25) й, й, ... а„ о о ... ! в точности равен й.
(В этой матрице есть отличный от нуля минор й-го порядка, например, содержащий по. следние й столбцов.) Покажем теперь, что решения в[, вм ..., в, (24) действительно образуют ф у идам е нтал ьную систему. Для этого остается показать, что каждое решение системы (22) линейно выражается через е[, ем ..., е,. Итак, пусть в = (6[, Ом ..., 6„6,+[, ..., О ) — произвольное решение системы (22). Рассмотрим строку ве — — е — О,+[в[ — 6,+зез —... — Ю„е,. Легко видет, что все элементы, состоящие на послед.
них й местах этой строки, равны нулю, т. е. что вэ = (р[, рз, ..., р„О, О, ..., 0). Будучи линейной комбинацией решений, строка е, сама будет решением системы (22). А так как значения всех свободных неизвестных в вс равны нулю, то из о днородной в этом случае системы (23), определитель которой отличен от нуля, получаем, что и значения всех остальных неизвестных в е, должны быть равны нулю, т.
е. что ее есть нулевая строка: ео е — 6,+[ в! — О,ч.з вз —...— Ф„в„=(0, О, „0), и в = б,+[ е[ + 0„, е, +... + О„е„ что и требовалось доказать, одногодныв снстамы г ги а„х, + а„х, + ... + а,„х„= бм а„х, +а„х, +...+аг„х„-Ь„ (27) а„цхг + атгхг+ ... + атпхп = бв и соответствующую ей уравнений систему однородных а„х, +а„х, + ... + а,„х„= О, а„х, +а„х, +... +а„,х„=О, ° ° ° ° ° ° ° о а,хг+ амгхг+ ° .. +а „х„= О. (28) Пусть е1 =(яь яъ ..., сг„) — какое-то фиксированное решение системы (27) и ег= (рь рг, р„) — любое другое ее решение. Тогда разность е, — ег = (яг — рь яг — рг, °, я.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
