Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

| Если какая-нибудь пара аь а„элементов перестановки расположена в ней так, что элемент с ббльшим номером стоит раньше элемента с меньшим номером, то говорят, что эти элементы образуют инверсию. Пусть нам надо сосчитать число инверсий в какой-то перестановке, образованной числами 1, 2, 3, ..., и (это могут быть номера элементов аь аь ..., а„).

Сделать это можно следующим образом. Сосчитаем сначала число элементов, стоящих в п е р е д и е д и н и ц ы— все эти элементы и только они образуют инверсии с единицей. Вычеркнем затем единицу и сосчитаем число элементов, стоящих в и е р е д и д в о й к и — это будут все те элементы, которые образуют инверсии с двойкой (не считая уже вычеркнутой единицы, которая тоже может образовывать инверсию с двойкой, но в таком случае эту инверсию мы уже учли раньше). Затем вычеркнем двойку и сосчитаем число элементов, стоящих впереди трой ки, и т. д.

Все полученные числа сложим — эта сумма и будет равна общему числу инверсий. Число инверсий в перестановке [|, |м .. „|'„ обозначается так: 1[ь [|ь ..., [„1. Например, [2, 5, 1, 4, 7, 3, 6) = 2+ 0+ 3+ 1+ 0+ 1 = 7. Перестановки с ч е т н ы м числом инверсий называются четными, перестановки с нечетным числом инверсий — нечетными перестановками. Пусть дана перестановка из и элементов аь а|ь ... ..., аь ..., а„, ..., а . Поменяем местами два ее элемен. та а, и а„; при этом мы получим перестановку аь а,, ...

а„, ..., а„..., а„. Такая операция перемещения двух элементов перестановки называется транспозицией. Теорем а 1. Ог одной транспозиции четность перестановки меняется (т. е. четная перестановка становится нечетной, а нечетная — четной).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай, когда меняются местами два с о с е д н и х элемента а и р перестановки а[, ае, ..., аь а, р, Ь!, Ьм ..., Ь . (!0) После транспозиции элементов а и р получим перестановку а„ ам ..., аь р,а, Ь[, Ьь .... Ь (11) ФЯ пвтвстхновкн и ттхнспозицин 19 Так как перестановки (10) и (11) отличаются друг от друга только взаимным расположением элементов а и р (а взаимное расположение каждого из этих элементов и какого-то другого, так же как и взаимное расположение любых двух из остальных элементов, остались прежними), то число инверсий в перестановке (11) на единицу больше или на единицу меньше числа инвер.

сий в перестановке (10), и значит, одна из этих перестановок четная, а другая — нечетная. Рассмотрим теперь общий случай. Пусть меняются местами элементы а и р перестановки аь ..., аь а, с1, ..., см Р, б1,..., Ь, между которыми стоят еще й элементов с„с„..., с,. Мы можем выполнить транспозицию элементов а и р посредством нескольких транспознций рядом стоящих элементов: поменяем местами а сначала с с1, затем с с„и т. д., наконец, с с, (при этом мы сделаем й транс- позиций рядом стоящих элементов); затем поменяем местами а н р (еще одна транспозиция) и, наконец, поменяем местами р последовательно с с„, с с, 1, и т. д.

до с, (еше й транспозиций рядом стоящих элементов). В конечном счете р станет на место а (и наоборот). При каждой такой транспозиции четность перестановки, как мы уже видели, меняется. А так как она изменится 2й + 1, т. е. нечетное число раз, то окончательно нечетная перестановка сделается четной, а четная — нечетной, что и требовалось доказать, Следствие. Число нечетных перестановок из п элементов роено числу четных перестановок (и равно, следовательно, пу2).

Доказательство. Пусть из л! перестановок из и элементов р перестановок четны и у нечетны. Сделаем в каждой четной перестановке одну и ту же транс- позицию, например, поменяем местами первые два элемента. Тогда каждая четная перестановка превратится в нечетную, причем ясно, что все р полученных при атом нечетных перестановок будут р а з н ы м и. А так как общее число нечетных перестановок из и элементов, по предположению, равно о, то р ( д.

Точно так же можно убедиться в том, что, наоборот, д ( р. Следовательно, р = о, тв опгеделители и систвмы линеиных телвнении [гл.! Дадим теперь общее определение определителя и-го порядка. Пусть имеется квадратная таблица, состоящая из п строк и и столбцов (матрица и-го порядка); ы лы ''' лг« м 22 ''' 2« Числа а„называются ее элементами, горизонтальные ряды элементов матрицы называются ее строками, вертикальными — столбцами Определителем, составленным из этой матрицы (определителем и-го порядка), называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строки матрицы А. Если в каждом таком произведении (ч л е и е определителя) множители расположены в порядке следования столбцов, то со знаком и л ю с берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов ч е т н а я, а со знаком минус — те, у которых она нечетная.

Короче: эм аы ° ° ° а~„ лм аы [ц ц " л«1 =~( — 1) ' ' ' аь,а;„...а;„«, «1 «2 '' «« где суммирование распространяется на всевозможные перестановки 1ь 1м ..., [„из л чисел 1, 2, 3, ..., и. Так как число перестановок из п элементов равно п[, то определитель и-го порядка состоит из п[ членов. Ввиду следствия из теоремы 1 ровно половина из них, т.

е. я[12, входит в определитель со знаком плюс и столько же — со знаком минус. ф 3. Свойства определителей С увеличением порядка определителя число его членов очень быстро растет. Так, определитель четвертого порядка состоит из 24 членов, определитель пятого порядка — из 120, определитель шестого порядка— из 720 членов, и т. д. Поэтому вычислить определитель порядка выше трех, пользуясь только его определением, своиствл опевдвлитялаи 21 Зз« практически невозможно.

Для того чтобы вычислять такие определители, нам придется изучить их свойства. Прежде всего мы докажем одно вспомогательное предложение. Лем ма (о знаке члена определителя). Произведе. ние а«,з,а«вч ° а«„з„входит в определитель и-го порядка со знаком, определяемым выражением ( [)[«1А -"«и)+[з~ з« -лз)1 мы будем говорить в таком случае короче: входит со знаком ( [)[«1 «з" «з]+[к~ з« -чзз) Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим прежде всего, что еслн поменять местами два множителя произведения а«,з,а«,з,...а«„„„, то как в первых, так и во вторых его индексах произойдет по одной транспозиции, и значит, четность каждого из чисел [1ь1з ° °,«|и [й«,йз,...,й1 изменится, а четность их суммы останется прежней.

Пусть нам дано произведение а«ича«,з,... а«„з„. С помощью нескольких транспозиций этих множителей расположим их так, чтобы вторые индексы шли в порядке возрастания. Для этого сначала сделаем транспозицию, при которой на первое место станет элемент из первого столбца, затем такую, чтобы на второе место попал эле. мент из второго столбца, и т. д. (Так, например, произведение ама««амаз«азз последовательно преобразует. ся в амаыазза«зазз, затем в амазза,«а«зазз, в амаззазза«заы, и, наконец, в аз,аз«а«замам.) Если в конечном счете, когда вторые индексы расположатся по возрастанию, первые образуют перестановку [п«„п«з, ..., и«„), то рассматриваемый член, по определению, входит в определитель со знаком ( — [)[и" *'" "") Но так как четность суммы [1«, 1«ь ° °, (.1+[й«, йм ° °, й„] числа инверсий в первых и числа инверсий во вторых индексах при транспозициях множителей не менялась, то четность втой суммы в первоначальном расположении множителей совпадает с чегностью числа [т«, п«з...., «и„)— числа инверсий а перестановке первых индексов оконча- 22 опрнднлитнли и систвмы линниных урлвнвнии [гл, 1 тельного расположения: в нем вторые индексы образуют нуль инверсий.

Следовательно, [ [)[«ь,апв, °,«ьп] [ !)[1«Ь„...,В«]+[Анни...,в~] что и доказывает наше утверждение. Пример. Найти, с каким знаком произведение амамамамам входит в определитель пятого порядка: аьь аи аьз аьв аи ам аи авв аав аи азь азз азз азв азь авь авз аьз аьь авь аь, авз аьз аи авь Решение. [3, 4, 5, 1, 2] 3+ 3 = 6, [2, 3, 1, 5, 4] = 2 + 1 3; 1)в«з [ 1)в Рассматриваемое нроиэведеиие входит в онредеяитеяь ьь со знаком минус.

С в о й с т в о 1 [«равноправие» строк и столбцов определителя). При тра нспони рова нии, т. е. при замене каждой строки определителя столбцом с тем же номером, определитель не меняется. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим определитель аи а, ...авп азь азз ° ' аз« а„ь а„а ... а«п и тр а не пони р ов а нны й определитель а а ... а„ аи авв '' апв аьп 'зп " 'пп строками которого служат столбцы определителя О. Надо показать, что 0' = О.

Каждый член определителя 0 является членом и определителя В', так как его множители и в определителе 0' находятся в разных строках и разных столбцах; обратно, каждый член определителя 0' будет членом саоистВА опгеделителеи ез и определителя О. Таким образом, оба определителя представляют собой «алгебраическую сумму» (т. е. сумму, в которой некоторые слагаемые берутся со знаком минус) одних и тех же членов вида а!л,ань, ° а!„А„различие заключается только в том, что в определителе 0 первые индексы — это номера строк, а вторые — номера столбцов, а в определителе 0' — наоборот. Но так как по лемме о знаке члена определителя знак такого произведения как в первом, так и во втором определителе будет одним и тем же: ( !)!и и - !«]+[А А» - А») Ф то Р'= О.

С в о й с т в о 2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится. Докажем это утверждение, например, для столбцов. Поменяв в определителе ам ам '' агя ''' «»ч ''' а» а»1 а»» ''' а а»ч а» местами р-й и д.й столбцы, мы получим определитель ''' «1« ' ' «1Р ''' а!ь а а. ... а ... и ... а „ Каждый член определителя Р, будет членом и определителя О, так как его множители расположены и в Р, в разных строках и разных столбцах, и обратно. Возьмем какой-нибудь член определителя О,: а;„аь,...а;„...а; ...а,„. Так как его множители расположены в порядке следования столбцов в Рн то он входит в определитель О, со знаком( — 1)!ьл'""Р""ч""л").

Для того чтобы найти знак Етого члена в определителе Рм расположим его множители в порядке следования столбцов в Ра: аь.аи, ... а! ч ... а! „ ... а;„„ 24 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ»ГЛ. » (элемент а»,, содержится в р-м столбце определителя Ом а элемент а» р — в»1-м). Первые индексы в определителе Р„так же как и в определителе Рь указывают номера строк; поэтому в определитель 0» рассматриваемое произведение войдет со знаком ( — !)!" »"'"'е "'Р'-' !.

Характеристики

Список файлов книги