Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 9
Текст из файла (страница 9)
«) Предполэгаетсв, что множество Р состоит более челг вз одного элемента. 1гл. и А-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 2. (а+Ь)+с=а+(Ь+с) для всех а, Ь, с из Р (сложение ассоциативно). 3. В множестве Р имеется нуль, т.е. такой элемент О, что для каждого а из Р сумма а+ О = а. 4. Для каждого а из Р существует такой (и ро тивоаоложн ы й а) элемент — а, что а+( — а) = О. б. ОЬ=Ьа для всех а, Ь из Р (умиожение коммутативно). 6.
(аЬ)с=а(Ьс) для всех а, Ь, с из Р (умножение ассоциативно). 7. В множестве Р имеется еда нина — такой элемент 1, что для всякого а из Р имеем а 4 =а, 8. Для каждого отличного от нуля влемента а иэ Р имеется такой (о б р а т н ы й а) элемент а-', что аа-' = 1. 9. (а+Ь)с=ас+Ьс для всех а, Ь, с из Р (умножение д и с т р и б у т и в н о относительно сложения). Ясно, что если коэффициенты системы линейных уравнений с л неизвестными принадлежат полю Р, то и решение ее (если оно существует) следует искать среди наборов из п элементов поля Р. Поля, которые на практике встречаются чаще всего,— это поле в е щ е с т в е нных чисел, поле комплексных чисел и (реже) поле р а ц и о н а л ь н ы х чисел.
Поле рациональных чисел является, очевидно, частью (или, как говорят, нодлолем) поля вещественных чисел; последнее же содержится в качестве подпола в поле комплексных чисел. В дальнейшем, говоря о числ ах, мы всегда будем иметь в виду элементы некоторого фиксированного ч и елового поля Р— обычно это будет либо поле вещественных чисел, либо поле комплексных чисел.
Полагая, что с полем вещественных чисел читатель достаточно знаком, мы изложим кратко необходимые для дальнейшего сведения о комплексных числах. $ 2. Поле комплексных чисел Комплексным числом называется выражение вида а+Ь( (или, что то же самое, а+(Ь), где а и Ь вЂ” любые вещественные числа, а 1 — некоторый новый символ. По определению, и+ Ь(= с + й( в том и только в том ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ случае, если а = с и Ь = А По определению же, а — И = а+( — Ь)1, (а+ И)+(с+д1) = (а+ с)+(Ь+ с()1 (а +И) (с + д1) = (ас — Ьд) + (Ьс + ад) О Легко видеть, что так определенные сложение и умножение комплексных чисел коммутативны и ассоциативны (проверьте это!). Комплексное число 0+01 можно обозначить просто через 0: для любого комплексного числа а = а + И имеем а+ 0 =(а+ Ь1)+(О+ 01) = (а+ 0)+(Ь +0)1= = а+ Ь1= сс.
Комплексное число — а = ( — а)+( — Ь)1 будет противоположныл а, так как а+( — а) =(а+ И)+(( — а)+( — Ь)1) = О. Комплексное число 1+ 01 обозначим просто 1: для любого комплексного числа а=а+И произведение а 1 равно а, так нак а 1= (а+ И) (1+ 01)=(а 1 — Ь 0)+ +(Ь ° 1+ а ° 0)1 = а. Далее, для каждого комплексного числа а = а + И ~ 0 а сушествует о б р а т н о е ему число а ' = —, а+Ь а+Ь~ произведение которого на а равно 1: / а Ь 1 '+Ь' Ь вЂ” Ь, аа-' = (а+ И) / — — — 1! = + — 1= 1. ~а+Ь а+Ь ! а+Ь а+Ь Нзконец, сложение и умножение комплексных чисел связаны дистрибутивным законом — это легко проверяется непосредственно.
В множестве комплексных чисел рассмотрим числа вида а + О! — такое число можно обозначить просто через а (выше мы уже сделали это для 0 и 1). Сумма таких чисел а = а+ 01 н Ь = Ь + 01, равная (а+ О1)+ (Ь + 01) = (а + Ь) + 01 = а + Ь, 58 и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО !гл, и и их произведение (а + 01) (Ь+ 01) = аЬ + 01 = аЬ имеют такой же вид. Таким образом, числа вида а+ 01 = а в поле комплексных чисел образуют п одп о л е, которое можно отождествить с п о л е м в е щ ествен ны х ч и сел.
Заметим, что с (а + Ы) = (с+ О() (а + Ы) = со + сЫ. Далее имеем (О + 1) (О + 1) = — 1 + 01 = — 1, Число О+ 1 можно обозначить просто Е. При этом Р =1 Г= — 1. Далее, любое комплексное число а+ Ьг = (а + 01) + (О + Ы) = а + Ь (О + 1) можно рассматривать как сумму вещественного числа а и произведения (вещественного) числа Ь на 1; число а называется «вещественной частью», а Ы вЂ” «мнимой частью» комплексного числа а+ Ьй Число и = а — Ь1 назы- вается комплексно-сопря- РИС 2. зсенным к и = а+ И. Легко видеть, что и+ Р = и+ р, ир = ир и что и = и в том и только в том случае, когда и вещественно (проверьте это1). Заметим, что сумма и+ и =(а+ Ы)+(а — Ы)= 2а и произведение ии = = (а + Ы) (а — Ы) = а'+ Ьэ комплексно-сопряженных чисел вещественны.
Комплексные числа удобно изображать точками, или, лучше — векторами плоскости. Комплексному числу а + Ы отвечает вектор ОМ, где М вЂ” точка с координатами (а, Ь) в прямоугольной декартовой системе координат (рис. 2). Пусть вектор ОМ представляет комплексное число и = а + И. Тогда угол ~р = хОМ называется аргументом числа и (этот угол определен с точностью до крат. ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ ного 2Л), а г= !ОМ) — его модулем (заметим, что г ) 0). Таким образом, ф и г — это просто полярные координаты точки М. Так как а = г сов ф, Ь = г зш ф, то а+ Ь! = г соз ф+ г 5!п ф1 = г(соз ф+ 15!п 1р) — это так называемая тригонометрическая форма комплексного числа. Прн этом, очевидно,г= ) а'+ Ь2, соз ф = а . а = —, 5!пф = —.
г т Вычислим произведение двух комплексных чисел, заданных в тригонометрической форме. Пусть а = = г,(соз ф1+ 15!и ф1), р = гг(соз ф2+15!п ф2). Тогда ар = г1Г2 [ (СОЕ ф1 соз ф2 — 51П ф1 51П \р2) + + 1 (соз ф15!и ф2+ 51П ф1 сов ф2) ) = =Г1Г2[соз (ф1 + ф2) +15!и «Р1 + фг)). Таким образом, лри перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда легко выводится, что лри делении комплексных чисел их модули делятся, а аргументы вычитаются. Если а = а + Ь1' = г (соз ф + 15!и ф), то комплексно- сопряженное число а = г(соз ф — 1 5!и ф) = г [сов( — ф)+ 15!п( — 1р) ) имеет тот же модуль г и противоположный аргумент — ф.
Произведение асс= г', и значит, модуль г комплексного числа а равен [г аа. Заметим, что если модуль а равен 1 (г = 1), то аа = 1, и значит, а-1 = а. Далее, при любом целом положительном и имеем а" = [г(соз ф + 15!п ф) )" = г" (соз пф + 1 5!п пф) — это так называемая фор мул а Муавра. Рассмотрим еше операцию и з в л е ч е н и я к о р н я из комплексного числа. При этом мы ограничимся корнями из единицы. Обший случай читателю предлагается рассмотреть самостоятельно. Мы имеем, очевидно, 1 = со50+ ! 5!ПО. Однако аргумент комплексного числа определен не однозначно, а [Гл.
и п-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 60 с точностью до кратного 2и,— и здесь нам будет важ- но, что число 1 можно представить так: 1 = сов 2пй + ! в!п 2ия, где я — любое целое число: я = О, ~1, ~2, ... Пустьу 1 = т (сов !р+ ! в!п <у). Тогда, по формуле Муавра, 1 = г" (сов пц+ !'в!пер) и, значит, 1 = г" и 2п!г = и!р, откуда г = 1 (ибо модуль комплексного чи- сла — вещественное положительное число) и !р= 2ПЬ = — т.
е. л Ф л 2ПЬ , . 2ПЬ уТ сов — +!в!п —, А=О, ~1, ~2, 2ПЬ . . 2ПЬ Положим еь сов — +!в!п —. Прий=0,1,2,...,п — 1 П Л 2П . 2л 4л получаем еь — — 1, е, = сов — + !ып †, е, = сов — + П Л ' Л + ! в! п —,..., е„, = сов 4л 2(п — !)и .. 2(л — !)л + ! в(п п П л Если изображать комплексные числа точками плоскости (см. рис. 2 выше), то полученные при я = О, 1, 2, ...
, и — 1 значения е, будут расположены в вершинах правильного п-угольника, вписанного в единичную ок- ружностей одна из вершин этого п-угольника нахо- дится в точке (1, 0). При остальнйх значениях й мы не получим новых значений корня из 1, так как, например, 2л .. 2л е„= сов — и + ! в!п — п = 1 = е„ е„е, — — сов — (и+ 1)+ !ып — (и+ 1) = е„ 2л 2л и т. д. — эти значения будут периодически повторяться.
Аналогично, е, = сов ( — — /+ ! ып ( — — / = е„„е, = е„„ П/ л/ и т. д. Таким образом, корень и-й степени из 1 имеет ровно п различных значений. Произведение двух корней п-й степени из 1 тоже есть корень п-й степени из 1 (легко проверить, что е,е, =- ПОЛЕ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ е! = е,,), Любая (целая) степень корня и-й степени из 1 тоже будет корнем п-й степени из 1.
Рассмотрим несколько примеров. При п = 2 имеются 2 (изображенные на рис. 3) корня из 1; 2п .. 2п 84 1 И 81 С05 2 +481П 2 прн и = 3 — три корня — ~+4')/3 — ~ — 4 З/з 2 расположенных в вершинах правильного треугольника. При и 4 корни нз 1— зто еь = 1, е1 ее = — 1, ее= — 1 (они расположены в вершинах квадрата). При п=6 корни из ! образуют правильный шестиугольник с вершинами 84=1 81= 2 — 1+1рз е,= Рис. 3. †! — 1Уз ~ — 4Уз 84 2 ' 2 е е,= — 1, Пусть еа, е1, ..., е„1 — корни и-й степени из 1. Если возвести е1 в различные (целые, положительные) степени й= 1, 2, 3, ..., и, мы получим по одному р а з у в с е к о р н и и-й степени из 1, так как, очевидно, 1 а и 81 = 81, 81 = 8м °, 81 = 1 = 84.
Аналогичным свойством могут обладать и другие корни из 1. Так, при п = 4, возводя в степени 1, 2, 3, 4 корень еа= — 1, мы получим еа=еа, еа= — 1=е„е, а=е,, а е,'=1=8,— тоже все корни четвертой степени из 1. 1Сорвнь и-й степени из 1, при возведении которого в степени й = 1, 2, 3, ..., и получаются по одному разу в с в и-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [гл. и корни и-степени иэ 1, называется пер во образным. Так, при и = 4 корни е1 — — 1 и ез = — 1 являются первообразными, корень же ег= — 1 первообразным не г з з является, так как е, = е„е, = е„е, = е„е, =- е,.
5 3. Определение векторного пространства Мы начнем с примера, хорошо известного читателю. В геометрии важную роль играет понятие вектора, или направленного отрезка. Векторы можно складывать между собой и умножать на числа. Сумма ОС векторов ес=ж~ел вд= аз д С азв и>р в Я е) в А Ю е) Ркс. 4. ОА и ОВ определяется как диагональ параллелограмма ОАСВ (рис. 4, а; это определение можно распространить и на тот случай, когда прямые ОА и ОВ совпадают), а произведение 00 вектора ОА на число а определяется из условий; ОВ = (а~ ОА и векторы 00 и ОА направлены в одну сторону, если я)0, и в противоположные стороны, если и ( О (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
