Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 6
Текст из файла (страница 6)
4. Рассмотрим матрицу В, получающуюся из матрицы А прибавлением ко всем элементам ее 1-го столбца соответствующих элементов й-го столбца, умноженных на одно и то же число с: а11 а11 ''' а11 ''' а1А ' а1п агг а ... а 1 ... агг ... аг„ А-[ ааа а„г . аи ..а А" а~п а а ... а 1 + са А а а ... а,,+са„ а11 ' ' ' 111п агг " агп а а ... а , + са ащг ... ат» Пусть ранг г(А) матрицы А П равен г. окажем, что ранг матрицы В не больше чем г. Для этого достаточно показать, что каждый минор матрицы В порядка выше г равен О. Пусть 0 будет минор порядка выше г матрицы В, Если 0 не содержит 1-го столбца матрицы В, то он в точности равен соответствующему минору матрицы А, и, значит, равен О как минор порядка выше г, составленный из матрицы ранга г.
Если Р содержит и Рй и й-й столбцы матрицы В,то по свойству 4 он тоже равен соответствующему минору матрицы А, и значит, равен О, плнг матрицы 37 Наконец, если определитель Р содержит г-й, но ие содержит й-го столбца матрицы В, то по свойству 4 его можно представить в виде суммы двух определителей; Р = О, + Ргь один из которых равен соответствующему минору матрицы А, а другой отличается от некоторого минора матрицы А множителем ~с. (Знак минус здесь получается из-за того, что столбец с элементами а„может оказаться «не на своем месте». Так, например, азз + газа ам азз азз~'1 Р = ам азз + сазе аьз = ам ааз азз + с аю а«4 вз ./ ы ьз + 64 ьв ьт зз зз ы азз за Следовательно, каждый из определителей Р, и Рз равен О и 0 = О. Таким образом, каждый минор матрицы В порядка выше чем г равен нулю, и значит, г(В) ( <г(А).
Но матрица А, в свою очередь, получается нз матрицы В с помощью элементарного преобразования четвертого типа: чтобы получить матрицу А, надо к 1-му столбцу матрицы В прибавить ее й-й столбец, умноженный на — с. Но доказанному, ранг матрицы при этом не увеличивается, т. е. г(А) ~ г(В). Следовательно, г(А) = г(В). П р и м е р, С помощью элементарныл преобразований вычислить ранг матрицы А= 20 — 11 р е ш е н и е. Вычитая нз третьей строки удвоенную первую, сокрашая второй столбец на 2 и вычитая после этого из первого столбца утроенный второй, нз третьего — второй и из четвертого — удвоенный второй, последовательно получаем где знак указывает, что соединяемые им матрацы получаются одна из другой элементзрнымв преобразованиями и, значит, имеют один к тот же ранг.
Прибавляя далее к третьей строке утроенную вторую, сокрашая первый столбец на 2, прибавляя его к третьему н вычитая из четвертого 38 опРеделители и системы линейных уРАВнений !гл.! н поменяв, наконец, местами первые два столбца, будем иметь Мы впдям, что ранг матрнцы А равен 2. В 8. Понятие о линейной зависимости Если обозначить строки матрицы А (см. э 7) через е, = (3, 2, 1, 2), еа = (2, О, — 1, 1), еа = (О, 4, 5, 1), то очевидно, что имеет место равенство ев —— 2е! — Зев, понимаемое в смысле поэле менты ого ел ожени и я: каждый элемент строки еа равен соответствующему элементу строки еь умногкенному на 2, без соответствующего элемента строки еа, умноженного на 3.
Вообще, если ен еа, ..., е„— строки какой-то матрицы А и, например, е„= а!в!+атея+... + а се -н (17) где ас, ат, ..., а ! — какие-то числа, мы будем говорить, что т-я строка этой матрицы линейно выражается через первые т — 1 ее строк, или что е является линейной комбинацией строк е„ ея, ..., е„ !. Из равенства (17) вытекает, что сесе! + атея + ... + а се ! — е = О, где нуль в правой части понимается как нулевая строка (т. е. как строка, состоящая из и нулей).
Мы будем говорить, что строки е„ев, ..., е матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие числа цс, цм ..., 7, не Раввые нУлю одновРеменно, что усе! + '~аеа +... + "1 е~ = О. (18) Если таких чисел 7, не существует, т. е. если равенство (18) имеет место только в том случае, когда все цс = О, то говоРЯт, что стРоки еь ев, ..., е линейно не.
зависимо!. Ясно, что если одна из строк матрицы линейно выражается через остальные, то строки этой матрицы меж- Ф 21 понятия о линвинои злвисимости 39 ду собой линейно зависимы. Обратно, пусть между строками матрицы А имеется линейная зависимость (18). Так как хотя бы одно из чисел Ть например 7, отлично от нуля, то т1 72 тб2-1 е = — — е,— — е,—...— =е тт т22 т. е. в этом случае по крайней мере одна из строк матрицы линейно выражается через остальные. Аналогичное понятие линейной зависимости можно ввести и для столбцов матрицы.
Теорем а 7 (о ранге матрицы). Если ранг матрицы равен г, то в этой матрице можно найти г линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана [п2Хп]-матрица А ранга г. Предположим, для определенности, что отличный от нуля минор г-го порядка (так называемый б а з и с н ы й м и н о р) этой матрицы расположен в левом верхнем углу, т.
е. что 11 12 ' ' 12 а а ... а „ ац а ...а 21 22 ''' ФО. а а ...а >1 22 ''' 21 Вычтем из г-й строки матрицы А первую строку, умноженную на аь вторую, умноженную на аь и т. д., наконец, (г — 1)-ю, умноженную на сс, 1. После таких преобразований г-я строка матрицы А окажется состоящей из одних нулей. При этом определитель Р, который, ввиду следствия из свойства 4, не должен был бы меняться, станет равным нулю. Полученное противоречие Докажем, что в таком случае первые г строк матрицы А будут линейно независимы. (Если отличен от нуля не этот, а какой-нибудь другой минор г-го порядка матрицы А, то линейно независимыми будут именно те строки, которые образуют этот, базисный минор.) Предположим, что, наоборот, эти строки линейно зависимы; тогда одна из них, пусть, для определенности, е„ линейно выражается через остальные: е, = а1е1 + а,е2 + ... + а, ,е„ 1.
4о опгадалнтилн н систвмы и доказывает линейную независимость первых г строк матрицы А. Докажем теперь вторую часть теоремы — о том, что все остальные строки матрицы А линейно выражаются через первые ее г строк. Пусть г(й < гп и 1 «! < л рассмотрим определитель 1г+ 1)-го порядка: а а ... а „ а а а ...а„а, а, а ...и„, а, ы %2 ''' ю ю Он равен нулю при всех й н 1: если 1( г, то у него два одинаковых столбца, если же !)г, то это — минор 1г+ 1)-го порядка матрицы ранга г.
Разложим определитель Л по элементам последнего столбца Л = аиА, +амА,+...+а„А, + а„,А,+, — — О. !19) Алгебраические дополнения А„Ам ..., А„А,+, элементов последнего столбца зависят от й, но ие зависят от 1, так как при их вычислении последний столбец вычеркивается. Кроме того, А„+1 = 0 чь О, и значит, равенство (19) можно разделить на А,+,, это дает а„= и,аи + аеав+ . + и,агь А где коэффициенты и; = — — не зависят от 1. Подставляя 1 = 1, 2, ..., п, будем иметь а,1 = а,а,, + а2ам +...
+ а,аа, аы = и,аы + а,ам+... +а,ань а,„= а,а,„+ а~а,„+... + а,а,„. Но это означает, что й-я строка матрицы А линейно выражается через первые г ее строк: е„= а~е~ + и2еа +... + а,е,. С л е д с т в и е 1. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк, так как при транспонн- $91 пРОизВОльные системы линейных уРАВнений 41 ровании матрицы ее строки становятся столбцами, а ранг матрицы не меняется. Сл едс та и е 2. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобь1 его строки (столбцы) были линейно зависимы.
Действительно, если определитель п-го порядка 0 равен нулю, то ранг соответствующей матрицы меньше и, и значит, ее строки (столбцы) линейно зависимы. Обратно, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, то ранг соответствующей матрицы меньше и, и этот определитель (и-го порядка) равен нулю.
$ 9. Произвольные системы линейных уравнений Рассмотрим теперь систему т линейных уравнений с и неизвестными: апх, + а„хв + ... + а,„х„= б„ а„хв + аыхв + ... + а,„х„= Ь.„ (20) 1тт1х1 + атвхв + + атвхв Ьт а1 а, ...а,„Ь, 21 22 ''' 2» 2 а , а ... а „ Ь в=( получаемую из А добавлением столбца свободных членов и называемую расширенной магрицей. Ясно, что где число уравнений не пред пола гает с я равным числу неизвестных. Решением системы (20) называется совокупность п ЗНаЧЕНИй НЕИЗВЕСТНЫХ Х1 = а1, Х2 = а2, ..., Х„= От ПРИ подстановке которых все уравнения системы обращаются в тождества.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
