Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Знаменатели дробей, стоящих в правых частях равенств (2) и (3), устроены следующим образом: из произведения элементов, стоящих по главной диагонали матрицы А, вычитается произведение элементов, стоя- щих во второй, или побочной, ее диагонали: а|ЬУ вЂ” а,Ь|, Полученное выражение называется определителем мат- рицы А (определителем второго порядка) и обозначает- ся так: $!1 СИСТЕМЫ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 11 с Ь с Ь а Ьг а, Ь а, с, а, с, а Ьг а, Ь Это — формулы Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными. П р и и е р, Пользуясь формулами Крамера, решить систему урае- иеииа ( 2к+ 5у = 8, зк+ у — 1. Р Е Ш Е И В Е. ! — ! ! ~ 3+5 ~З вЂ” 1! — 2 — 24 25 2 — 15 ' " — 13 — !3 !.,~ Рассмотрим теперь случай, ногда ! а Ь ~ =аА — а,Ь,=О.
а Ь (4) Таким образом, по определению, ! а Ь ! = а,Ь, — а,Ь,. а Ь1 В этих обозначениях числитель дроби, стоящей в правой части равенства (2), представляет собой определитель с Ьг ! = сЬ, — сЬ„ с Ь получающийся из знаменателя заменой первого столб- ца столбцом свободных членов, а числитель дроби, сто- ящей в правой части равенства (3), — определитель ! а с = а,с, — а,си аг сг получающийся из знаменателя заменой второго столбца столбцом свободных членов уравнений системы (1), 1а Ь~ Итак, мы нашли, что если1 ' Т~ФО, то 1а Ь~ )з опгидилитвли и системы линиииых еилвнинии )гл. е Равенство (4) можно переписать так'): а Ь а„Ь ' г. е.
в этом случае коэффициенты при неизвестных про. порцнональны. Если, кроме того, и с Ь с Ь = О, т. е. с Ь то и свободные члены пропорциональны коэффициентам при неизвестных, и мы имеем на самом деле одно уравнение с двумя неизвестными — оно допускает 6 еечн ел е н н о е множество решений. Наконец, если ! а, Ь ) с Ь т<=-0, но ' ' ~0, с Ь т.
е. если а Ь, с — = — Ф- а, Ь, с,' то уравнения, очевидно, противоречат друг другу и системаа не имеет н и о д н о г о решения. Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестнымш < ах+Ьу+сг=йы а,х + Ь,у + с,г = й„ а,х + Ьзу+ сзг = й,. Решением этой системы называется каждая такая тройка чисел х = и, у = Ь, г = т, прн подстановке которых все три уравнения обращаются в тождества. Умно. )Ь с) жив первое уравнение на ~ ~ = Ь,с,— Ь,с„второе— Ьз с, Ь с,) )Ьт с, на — ~ = Ь„с, — Ь,с„третье — на ~ = Ь,с — Ь,с, Ь, )Ь с ') Здесь н далее мы считаем, что знаменатели отличны от нули; случая, когда зто ие так, рассмотрите сами. з з1 систямы с двтмя и тяамя неизвястнымн 13 и сложив их все, мы получим к(а,Ь,с,— азбзсз+азЬзс,— а,Ь,с,+а,Ь,сз — азЬзс|) = = дзбзсз — дзбзсз + дзйзсз — дзЬзсз + дзбзсз — дзЬзсз (коэффициенты прн ди г, как легко видеть, будут равны нулю).
Отсюда, если коэффициент при х отличен от нуля, получаем з зз з зс Посмотрим, как устроено выражение, стоящее в знаменателе правой части равенства (6). Для этого рассмотрим квадратную таблицу (магризщ третьего порядка) А = ~, ь, Будем снова называть главной диагональю диагональ, идущую из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний„и побочной — диагональ, идущую из левого нижнего угла в правый верхний.
Знаменатель в формуле (6) представляет собой алгебраическую сумму шести членов, каждый из которых сз сз ~з з сз Рис. 1. является произведением трех элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А, причем знак плюс имеет произведение элеменгов, 14 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯ !ГЛ. ! а Ь с а Ь с ав Ьв св Таким образом, по определению, а Ь с а, Ь, аз Ьв св = а,Ь,с,+ а,Ь,с, + а,Ь,с,— авЬзс, — а,Ь,с,— а,Ь,с,.
Выражение, стоящее в числителе правой части формулы (6), получается из знаменателя, если каждую букву а заменить буквой с( с тем же номером, т, е. а Ь с с, ь, с, аз Ьз сз (ба) а Ь с а Ь с ав аз св Аналогично можно показать, что при РФО из свете. мы (5) следуют равенства о 3=— в Р э 0 У= ою где Ра 1=1, 2, 3 — определитель, получающийся из определителя Р заменой Рго столбца столбцом свободных принадлежащих главной диагонали, н два произведения элементов, образующих в матрице (равнобедренные) треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали (рис. 1, а), а знак ми н у с имеет произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали (рис.
1, б). Такое выражение называется определителем, сос. тавленным из матрицы А (определителем третьего порядка), и обозначается так: членов. Это — фар мул ы Кр а мер а для системы трех уравнений с тремя неизвестными. При м е р. Решить ао формулам Крамера систему уравнений ! к + 2у + Зг = 7, к — Зу+2г=5, к+у+ г=з. Р е та е н н е. 23! — 32 = †3+3+4+9 †2 †! 1! 2 3! — 3 21 = — 21+ 15+ 12+ 27 — !Π— 14 = 9, 1 ! 7 31 5 2~ =5+!4+9 — 15 — 7 — 6=0, 3 1 2 7! — 3 5~ = — 9+ 7+ 10+ 21 — 6 — 5 =!3. ! 3 17! = Следовательно, О, к= — =1, ст 172 Гг у= — =О, г= — =2.
17 ' 17 Для того чтобы понять, что такое определитель п-го порядка, рассмотрим снова определители второго и третьего порядков: ! а, Ь, = аА — а,Ь, а. Ье (8) а Ь с,~ а Ь с ав Ьв св = а,Ь,с, + а,Ь,с, + а,Ь,с, — а,ьвс, — а,Ь,с, — а,Ь,сте (9) Мы видим, что определитель есть алгебраическая сумма всевозможных произведений его злемеитов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.
$ И СИСТЕМЫ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕИЗВЕСТНЫМИ 15 !а опгвдалитвли и систвмы линанных ээхвнании !гл: ~ Каждое такое произведение называется членом определителя. В каждом члене определителя второго порядка расположим множители в порядке следования стол бцов: аА — а,Ь! и рассмотрим соответствующие расположения (перестановки) нижних индексов (указывающих номера строк): 1, 2 и 2, 1. В первом произведении эти индексы расположены по возрастанию, и соответствующее произведение входит в определитель со знаком пл юс; во втором они, как говорят, образуют беспорядок, или инверсию, 2, 1, и соответствующий член входит в определитель со знаком минус. В определителе третьего порядка шесть членов. Если в каждом из них расположить множители в порядке следования столбцов, то в членах, входящих со знаком алюс, нижние индексы образуют перестановки 1, 2, 3; 2, 3, 1 и 3, 1, 2.
Рассмотрим три пары индексов 1, 2; 1, 3 и 2, 3 из первой перестановки 1, 2, 3; числа каждой пары расположены по возрастанию — в этой перестановке н ул ь инверсий. Во второй перестановке 2, 3, ! три пары индексов: 2, 3; 2, 1 и 3, 1, да е из которых — 2, 1 и 3,1, образуют инверсии. В третьей перестановке 3, 1, 2 — три пары индексов 3, 1; 1, 2 и 3, 2, из которых две — 3, 1 и 3, 2, образуют инверсии. Произведениям, входящим со знаком минус, соответствуют три перестановки индексов 3, 2, 1; 2, 1, 3 и 1, 3, 2, причем в первой, как нетрудно видеть, три инверсии: 3, 2; 3, 1 и 2, 1, а во второй и третьей — по одной; соответственно 2, ! и 3, 2.
Таким образом, со знаком плюс входят те члены, у которых в перестановке индексов ч е т н о е число инверсий, а со знаком минус — те, у которых это число н е ч е т н о, 17 пагвстхновки и твхнспозиции Для дальнейшего нам будет удобно ввести для определителей второго и третьего порядков новые обозначения: зм аы а а а азз авв авз где все элементы определителя обозначены одной и той же буквой а с д в у м я индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит этот элемент, а второй — номер соответствуюшего столбца.
(Элементы, например, первого определителя читаются так: а один один, а один два, а два один, а два два.) Тогда = амазв — ама„ ! 11 зз вм звв ~ зм язв язв авв ав а„в = ~у" ~ аь,а;,запз, зз зв ~вз где знак плюс стоит перед теми произведениями, в которых перестановка вь (з, (з чети а я (т. е. имеет четное число инверсий), и знак минус — перед теми, где оиа нечет на. Это можно записать еще и так: вм ззз зы азз азз азз = ~'„( — 1)" аьваьзаь„ зм звз звв где а есть число инверсий в перестановке первых индексов, 1ь 1з, 6з (вторые индексы расположены в порядке возрастания), а суммирование распространяется на все шесть перестановок вь (з, (з из трех чисел 1, 2, 3. $2.
Перестановки и транспозиции. Определитель л-го порядка Пусть даны и элементов аь аз, ..., а„(например, это могут быть числа 1, 2, 3, ..., и). Как известно, всевозможные расположения этих элементов называются перестановками нз и элементов. Всего из и элементов можно составить и1 перестановок (докажите зто). 18 ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
