Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Покажем, что векторы Е1 Е2а р ЕЬ 1441 ° р 4р Каа!» ° а йр (10) (9) линейно независимы. Тогда, по теореме 2, они образуют базис в 174, ибо если вектор ген Ка, то х =* х+ у, где хан 1г1, у ~ Я2, и значит, х линейно выражается через векторы (8), а у — через векторы (9). Но тогда вектор г линейно выражается через векторы (10).
Допустим, что векторы (10) линейно зависимы; а, е, + ареа +... + а е, + ба+ !44+! + . „+ Рр! р + + Та+!Кар! + ° ° + Труа = 0 Тогда вектор а= 441 е1+442ер+ ° +42аеа+ра+111+1+ ° +рр(р, Отсюда, ввиду единственности разложения вектора а по базису пространства 141, Оа=я1, 1= 1, 2, ~ йа Н Ра+! = абраг= =~2=0 раВНЫЙ вЂ” (Та+!я„+!+... + Труа), ПрИНадЛЕжИт ОдиаарЕ- менно и 141, и 142, а значит, и их пересечению )а!а.
Новтаком случае он должен линейно выражаться через базисные векторы (7) подпространства 142, пусть а=о,е1+оаег+...+О„е,. 4И пеРесечение и суммА подпРостРАнств 31 а тогда из равенства (11) следует, что аге1+азез+...+азез+Та+ада+1+...+Така=О, и, ввиду линейной независимости векторов (9), а,=О, 1=1, 2,..., ь, и Та+1=ТА+з= =Та=О Таким образом, векторы (10) образуют базис пространства )са, и значит, его размерность равна числу этих векторов: й+(р — й)+(у — й)= р+ у — й. Но й()41) =р, й(газ) =д и й()гз) =й. Мы доказали, что сумма размерностей двух надпространств равна размерности их суммы, сложенной с размерностью пересечения. Так, в четырехмерном пространстве йа два д в у м е р н ы х подпростракства й1 е йз могут пересекаться по нулевому вектору, н тогда вх сумма совпадает со всем пространством; в этом случае равенство (б) преврашаетсз в 2+2 О+4.
Онн могут пересекаться по прямой (одномерному полпространству), н тогда нх сумма трехмерна; зтр соответствует равенству 2+ 2 1+ 3. Наконец, )11 н )гз могут совпадать, тогда нх пересечение н сумма тоже двумерны, н равенство (6) дает 2+ 2 = 2+ 2. Два трехмерных подпространства в й' либо пересекаются по плоскости (двумерному подпространству), н тогда 3+ 3 = 2+ 4, лабо совпадают: 3+3 3+3. (Другке случая здесь невозможны, тюг как сумма зтнх подпрогтранств не более чем четырехмерна).
Если й,— двумерное, а Яз — трехмерное подпространства в йа, то либо онн пересекаются по прямой: 2+ 3 1+ 4, либо й1 содержится в йз. 2+ 3 2+ 3. Определение 10. Если пространство гт является сУммой своих подпРостРанств )т1 и ггь пеРесечение Яз которых состоит лишь из нулевого вектора, то говорят, что )та есть прямая сумма надпространств гсг и )тз, и пишут Если гт = )тггтт)тз, то очевидно, что й()т) й(~аг)+ й(йз) ° Так, обычное трехмерное пространство )тз будет, очевидно, прямой суммой любой (проходящей через начало координат) плоскости и и любой не лежащей в втой плоскости (но проходящей через начало) пря- -мвгнов пгостглнство [гл.
и 82 мой Е Пространство Я' распадается также и на сумму любых двух своих несовпадающих (проходящих через начало) плоскостей, но эта сумма не будет прямой. Т е о р е м а б. Если Я = гг1®йь то каждый вектор из Я единственным способом представляется в виде и + о, где и ен Яь о я Р,. Доказательство. Каждый вектор нз Я, по определению суммы подпространств, представляется в виде и+о, где иенЯь оенйз Предположим, что какой-то вектор х из Р разложен в такую сумму двумя способами: х= и1+ о, = из+ оь Тогда вектор и~-из=о,— о, принадлежит одновременно и Рь и йь т.
е. он принадлежит Я, и, значит, равен нулю„откуда и1 — — и, и из=он Пусть )с — какое-то векторное пространство и аь аь ..., а„~ Р. Совокупность всевозможных линейных комбинаций этих векторов а|а1+агаз+...+а„а„ является, очевидно, подпространством в )г. Мы будем говорить, что это надпространство порождается векторами аь а„ , а„. Его называют также линейной оболочкой векторов аь аь ..., а„.
Нетрудно видеть, что линейная оболочка векторов а„ ам ..., а„ совпадает с пересечением всех надпространств, содержащих эти векторьь $ 10. Определение аффинного пространства Выше мы неоднократно иллюстрировали общее понятие векторного пространства на примере (обычной) плоскости или (обычиого трехмерного) пространства. Однако эти иллюстрации были, строго говоря, не совсем точными — ведь основным понятием той геометрии, которая изучается в средней школе, является точка, и все геометрические образы можно понимать как множества точек, в то время как в определении векторного пространства точки вообще не фигурируют.
В школьном курсе геометрии понятие вектора появляется позже понятия точки: вектором там называют упорядоченную пару точек (направленный отрезок) АВ, определяя далее условия равенства векторов и правила их сложения н умножения на число. ь ~ь~ ОПРЕДЕЛЕНИЕ АФФИНИОГО ПРОСТРАНСТВА вз Нам сейчас придется поступить иначе. Располагая уже определением векторного пространства, мы дополним его, введя в рассмотрение еще и точки Полученное таким образом множество (векторов и точек) — его называют точечно-векторным, или аффинным, пространством,— будет уже ближе к тому пространству, которое изучается в курсе элементарной геометрии, хотя и не будет еще полностью с ним совпадать.
Дело в том, что само понятие «аффинного» пространства предполагает, что это пространство лишено метрики, т. е. способа измерения длин и углов. Оно станет вполне идентичным (во всяком случае для двух- и трехмерного случаев) обычному пространству лишь после введения в нем соответствующей метрики (см. ниже, главу 1Ч). Определение 11. Пусть имеются векторное пространство Я (элементы его по-прежнему обозначаются строчными латинскими буквами) и, кроме того, множество элементов, которые мы будем называть точками (и обозначать прописными латинскими буквами), причем кагкдой упорядоченной паре точек М, й( поставлен в соответствие один и только один вектор х из Я (хотя разным парам точек может быть поставлен в соответствие один и тот же вектор); мы будем писать в этом случае Мй=х.
Будем предполагать, что зто соответствие между точками и векторами обладает следующими свойствами: 1. Для каждой точки М и каждого вектора х найдется одна и только одна такая точка )Ч, что М)Ч= х. 2, Для любых трех точек М, Н, Р МИ+БР=МР. Все точки и все векторы вместе образуют тогда аффинное пространство. Аффинное пространство называется п-мерным, если п-мерно соответствующее ему векторное пространство Д. Итак, аффинное пространство А — это множество элементов двух родов: точек и векторов, связь между которыми задается с помощью операции откладывания векторов.
Произвольный вектор х можно отложить от любой точки М, получив при этом определенную точку 1Ч, и тогда М.А(=х. Точка М называется началом, а точка й1 — концом вектора ММ. л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1гл. и Далее, почти очевидны следующие предложения. 1. Если МИ=ЯР, то ЯК=ЯР. (Это вытекает из равенства МФ+ НР = МР = МЯ + ЯР.) В частности, так как ММ+1У1У=МУ=ММ+ММ, то ММ=УУ, т. е. все векторы, у которых начало и конец совпадают, равны между собой.
Такой вектор Ы/ является нулевым, так как М(У+ФЧ=МТ'. 2. Вектор (ч'М является противоположным МФ, так как МУ+ УМ = ММ = О. $11. Введение координат в аффинном пространстве В и-мерном аффинном пространстве А координат ы т о ч е к можно ввести следующим образом. Выберем какую-нибудь точку О в качестве начала координат. Тогда для каждого вектора х, ввиду условия 1 определения 11, найдется и притом только одна такая точка Х, что ОХ = х. Так будет установлено взаимно однозначное соответствие между всеми точками и всеми векторами из А: точке Х ставится в соответствие вектор х = ОХ, концом которого она является (в обычном трехмерном пространстве это — откладывание всех векторов пространства от начала координат).
Далее, в соответствующем А векторном пространстве Я выберем какой-нибудь базис еь ем ..., е„. Тогда каждый вектор х из А будет определяться строкой своих координат: х=(хь хм ..., х„). Эти же координаты мы отнесем и соответствующей вектору х точке Х; будем писать в атом случае: Х(хн хм ..., х„).
Таким образом, если в и-мерном аффинном пространстве А выбрана система координат (т. е. точка О как начало отсчета и базис еь еа, ..., е„в соответствующем А векторном пространстве Я), то каждой точке из А будет однозначно сопоставлена строка из и чисел — ее координат. У точки О все координаты будут равны нулю, так как ей соответствует, очевидно, нулевой вектор О. Если Х(хн хм ..., х.) и У(уь ум ..., у„) — две точки аффинного пространства А, то, ввиду равенства, ОХ+ХУ=ОУ имеем ХУ=ОУ вЂ” ОХ, т, е, координа- $121 ПЕРЕХОД К НОВОН СИСТЕМЕ КООРДИНАТ аб ты вектора ХУ равны разностям у,— х, координат его конца и начала. Можно показать, что, подобно векторным пространствам, все аффинные пространства Одной и той же размерности тоже «устроены одинаково», так что (если зафиксировано основное поле г) размерность аффинного пространства является его единственной характеристикой.
Поэтому н-мерное аффинное пространство мы можем обозначать далее просто через А", $12. Переход к новой системе координат Посмотрим, как преобразуются координаты точки аффинноге пространства А" при переходе к новой системе координат, Пусть сперва изменяется только начало координат, Предположим, что новое начало помещено в точку 0', координаты которой в старой системе (аг, аг, ..., а„). Для любой точки Х из А" имеем 00'+ О'Х = ОХ, (12) Координаты вектора ОХ= (хь хм ..., х„) — это координаты точки Х в старой системе координат; координаты вектора 0'Х = (х„ х,, ..., х„) — координаты точки Х в новой системе; координаты вектора 00' — это координаты точки 0' в старой системе, т.
е. (а1, аг, ..., а„). Из равенства (12) получаем 0'Х = ОХ вЂ” 00', или, в координатах, (Хг, Хг, ° ° ., Ха) = (Х„Х„..., Х„) — (а„а„..., а„) аг, ам " ага аг1 и ''' га »1 аг ''' аа ... а (13) и х; =хг — ссг, 1= 1,2,..., и, т. е. новые координаты точки лолучаются, если из старых ее координат вычесть координаты нового начала в старой системе координат. Пусть теперь начало координат не меняется, но в векторном пространстве 12", соответствующем А", выбирается новый базис с матрицей перехода к.МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО 1гл. и т.
е. старый базис, образованный векторами вь еь..., в„, заменяется новым, составленным из векторов в„ е„...,е„, где е,=а„е,+амс,+ ... +а„;е, 1=1,2, ...,и. Так как координаты точки Х вЂ” зто, по определению, координаты вектора х=ОХ, то, как следует из 2 6, ста. рые координаты точки будут выражаться через новые ее координаты по формулам х, а„х, + амх, + ... + а;„х„, 1= 1, 2, ..., и. В общем случае, когда и начало координат О переносится в точку О'(аь ам ..., и.), и базис вь ем ..., в„с помощью матрицы перехода (13) заменяется новым, старые координаты хь хь ..., х„ произвольной точки Х и новые ее координаты х„ х„ ..., х„ связаны соотношениями х, анхт+ аыхь+ ...
+ а„х„+ ао 1= 1, 2, ..., и. й 13. камерные плоскости в аффинном пространстве Пусть в п-мерном аффинном пространстве А" установлена система координат. Рассмотрим снова (совместную) системууравнений (4), ранг матрицы коэффициентов которой равен г, и пусть н=л — г.
Определение 12. Множество всех точек иэ А", координатьс которых удовлетворяют системе уравнений (4), называется й-мерной плоскостью; одномерные плоскости называются такзкв и р ям ьсм и, а (и — 1)-мерные плоскости — г ил врпяоскостями. Понятно, что каждую гиперплоскость (для которой г=1) можно задать всего Одним линейным уравнением а 1х1+азхз+...+а„х„= о. В обычном трехмерном пространстве гиперплоскости— вто обычные плоскости, а на обычной плоскости — зто прямые, $!и Й.меьные плОскОсти В АФФинном пРОстРАнстве ат Можно показать, что при переходе к новой системе координат в А" точки, удовлетворяющие системе уравнений (4), будут удовлетворять некоторой новой си. стеме уравнений, ранг матрицы коэффициентов которой тоже равен т. Пусть и будет й-мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
