Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 14

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 14)

Соответствующая система (3) линейных о д н о р о д н ы х уравнений определяет некоторую й-мерную плоскость пь, «проходящую через начало координат». Если все векторы отложены от начала координат, то те векторы, концы которых принадлежат аь, образуют подпростраиство, а векторы, концы которых принадлежат и, образуют й-мерное линейное многообразие. Это многообразие получается, если ко всем векторам подпространства пь прибавить один и тот же вектор а.

Можно сказать поэтому, что и-мерная плоскость и получается из пь пар алл ел ьн ым переносом на вектор а, Это позволяет дать следующее О п р е д е л е н и е 13. Две й-мерные плоскости и араллельны, если определяющие их системы таковы, что соответствующие однородные системы равносильны (имеют одни и те же решения). <<-мерная плоскость и, и 1-мерная плоскость и, параллельны (при 1)<<), если и! параллельна какой. нибудь й-мерной плоскости, содержащейся в пэ (в этом случае определяющие и, и пт системы таковы, что однородная система, соответствующая им является следствием однородной системы, соответствующей и!). Пусть снова и будет й-мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4). Общее решение системы (4) в векторной форме имеет вид х=а<с<+а,с»+...+а»с<+а; (14) где ха=а<с!+а»се+...+а»с» — общее решение соответствующей однородной системы (3) и а — некоторый фиксированный вектор (одно из решений системы (4)).

Если с,=(сп, са..., с<,) прн 1 =1, 2, ..., й и а= (а<, аь .=., а„), то записывая равенство (14) в координатах, получим параметрические 1гл. и л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО уравнения 'я-мерной плоскости: х1 — — а1си+ахс11+...+алс11+а1, 1=1, 2, „„и, Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) равен и — 1, соответствующую а(елях,.:, л) х(хьхх,-.,х,) (одномерную) плоскость l выше мы назвали прямой. Ф 1 В этом случае общее / решение системы (4) в векторной форме имеет й сГс„сх,...,с,) вид х=ссс+а, (1б) Рис. 7.

где хл — — ас — общее решение соответствующей однородной системы и а=(аь ах, ..., а„) — некоторый фиксированный вектор (рис 7). Если с = (сь сз, ..., с„) и х= (хь хх, ..., х„), то, записывая уравнение (15) в ко. ордннатах, получим параметрические уравнения прямой: х1 = ис1+а1, хх = асз + аь х„= ив„+а„, которые, исключая параметр а, можно переписать в виде х — а х — а 1 1 1 л л х — а С1 Сх Сл (Это — канонические уравнения прямой. Они имеют смысл и в том случае, если некоторые из знаменателей обращаются в нуль — тогда равны нулю и соответствующие чнслители).

Если в пространстве Л" даны две точки А(аь ах, ..., а„) и В(Ьь Ьз, ..., Ь.), то проходящая через них прямая АВ определяется, очевидно, урав- нениями х — а х — а 1 1 л Л х — а ь — а ь — а '' ь — а' 1 1 1 1 л л (1б) $!3! А МЕРНЫЕ ПЛОСКОСТИ В АФФИННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 39 Обозначив равные отношения (16) через р, получим па- раметрические уравнения прямой АВ: х,=а<+р(Ь,— а,), или х,=(1 — р)а<+р(<ь 1=1, 2,..., и Полагая 1 — р=<х, будем иметь х<=аа<+ро„где а+р=1.

(17) Если а и (! — вещественные, причем 0 ( а ~ 1 и, значит 0 ( (! ~ 1, то говорят, что соответствующая точка х при- принадлежит отрезку АВ. Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) ра- вен п — 2, то определяемая ею плоскость дву мер на, и общее решение системы в векторной форме имеет вид х = а < с<+ атст+а, где хч — — а<с,+атсх — общее решение соответствующей однородной системы (3), а а= (а„аз, ..., а„) — некоторый фиксированный вектор. Если с, = (сп, са, ..., с,„), 1=1, 2, то координаты точек Х(хь хм ..., х„) этой плоскости определяются формулами х„= а,см+ атом+ а„, й = 1, 2,, „и (параметрические уравнения двумерной плоскости). Пусть в аффинном пространстве А" даны две плоскости: й-мерная плоскость и, определяемая системой уравнений (4), и 1-мерная плоскость н', определяемая системой уравнений снх, +с,,х,+ ...

+с,„х„= й„ смх< + стчхт + ... + Сч< хп —— йч (18) с„х, + с„х, +... + с,„х„= й, Тогда их пересечение (т. е. множество точек, принадлежащих одновременно и н, и п') будет определяться системой, состоящей из всех уравнений системы (4) и всех уравнений системы (18), и значит тоже будет некоторой плоскостью (которая, в частности, может состоять из одной точки или даже вообще не содержать ни одной точки, если объединенная система окажется не- л-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО [ГЛ.

и 90 совместной). Легко видеть, что каждая й-мерная плоскость в А" является пересечением некоторых г = и — й гиперплоскостей. й 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве О п р е д е л е н и е 14. М ножество точек в е щ е с т в е нного аффинного пространства называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками А и В оно содержит и все точки отрезка АВ. Легко видеть, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло. Оп р еде ле н и е 15. Множество точек оффинного пространства называется о г р а н и ч е н и ы м, если координаты всех его точек в некоторой системе координат в совокупности ограничены (легко видеть, что тогда они будут ограничены и во всех системах координат).

Пусть в (вещественном) аффннном пространстве А" задана гиперплоскость ах,+а,х,+... +а„хл=Ь. (!9) Этой гиперплоскостью все точки из А" разбиваются на два полупространства: А,— множество точек, для которых а,х, +а,х,+... +а„х„)Ь, и А,— множество точек, для которых а,х, + а,х,+... +а„х„(Ь. Полупространства А[ и А, пересекаются по самбй гиперплоскости (19). Т е о р е м а 7.

Каждое полупространство аффинного пространства А" является выпуклым множесп[вам. Доказательство. Пусть точки Р(р„р„..., р„) и [ч'=(чм д„..., йл) из А" пРинаДлежат, напРимеР, полупространству А,; тогда а„о,+а,р,+...+а„р„)Ь, а1у,+алул+...+а у„)Ь.

Если Х (х„х„..., х„) — произвольная точка отрезка РО, то по формулам (17) х;=ар,+ран 1=1, 2, ..., и, где а, р) 0 и а+р=!. Для этой точки Х имеем а[х,+а,х,+... +а„х„= = а, (ар, + рд,) + а, (ар, + ~д,) +... + а„(ар„+ ~д„) = = а (а, Р, + а, Р, +... + а„Р„) + 5 (а, [1, + алУ, +... + а„д „) в )аЬ+~Ь=(а+~)Ь=Ь, т. е. произвольная точка Х отрезка РЦ принадлежит А,.

ь 1И ВЫПУКЛЫЕ МНОЖЕСТВА В АФФНННОМ ПРОСТРАНСТВЕ 9~ Гиперплоскость (! 9), как пересечение выпуклых множеств А1 и Аь является выпуклым множеством, Каждая й-мерная плоскость в А", как пересечение нескольких гиперплоскостей, выпукла. Пусть в А" даны гп полупространств, определяемых неравенствами анх, +а„х, + ... +а,„х„) о„ амх, +а„х, + ... +а,„х„)Ь„ а,х,+а,х,+...+а „х„)й . (20) (Все знаки неравенств здесь одного смысла — Етого всегда можно достичь, умножая в случае необходимости обе части неравенства на — Е) Пересечение этих полу- пространств, называемое выпуклой многогранной областью, определяет множество решений системы линейных неравенств (20).

Если зто пересечение ограничено, оно называется (выпуклым) многогранником и-мериого пространства А", ГЛАВА Н1 ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ф 1. Определение н примеры О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что в векторном прост- ранстве )т' задан оператор,или преобразование, .Ф*), если каждому вектору х ~ гг поставлен в соответствие опреде- ленный вектор зб(х) или; как мы чаще будем писать, лаях еи Л.

Оператор (преобразование) А называется линейным, если для любых двух векторов х и у из В и произволь- ного числа а ни Р 1) Ф(х+у) = зал+,Фу, 2) хб(ах) арбх. Вектор Ах называется образом вектора х, а вектор х — прообразом вектора лгх при преобразовании,Ф. Выберем в пространстве г( базис еь еы ..., е„. Тог- да если х=х,е,+х,ет+...+х„е„, то в силу линей- ности оператора мг имеем .иге, = х пбе, + х,лге, +... + х лге„, г = 1, 2, ..., п, Но так как лбе, (где 1 = 1, 2, 3, ..., и) — это тоже век- тоР из гт, то бве, можно Разложить по базисУ еь ез, .

„ ..., е„; пусть лбе, = аые! + азгез +... + а„,е„, ! = 1, 2, ..., и. Тогда Фх хг(аыег+ аз,ез+... + а„ге„) + + ха (а же, + азтет + ° .. + а.те.) +... „. +х„(аыег+ аа„ез+... +а„„е„) = ь) На плоскости в в обычном трехмерном пространстве чаще говорят о преобразовании. Мы будем пользоваться и тем, и другим термннами, ио чаще — первым из иих (оператор). ОПРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЪ| зн эз (анх| + амхз +... +а,„х„) е, + (амх, + амха+...

... + а,„х„) е, +... + (а„,х, + а„зха +... +а„„х„) е„. Если х„х„...,х„— координаты вектора мех в том же базисе е|, е|ь ..., е„, т. е. если ~х = х,е, + х,е, + ... + х'„е„ то, ввиду единственности разложения вектора по базису, имеем х,=а„х, +а„х, + ...+а,„х„ х, =а„х, +а„х, + ... +а,„х„, х, =а„,х,+а„,х,+ ... +а„„х„. Таким образом, каждому линейному оператору Ф в данном базисе е|, ем ..., е„отвечает м а т р и ц а а а ... а „ а а ... а „ '| | пз" ип а ... а А =[ (2) 1-й столбец которой образован коэффициентами разложения вектора .Фе, по базису еь ем ..., е„; при этом коэффициеяты разложений (1) координат вектора Фх по координатам вектора х образуют с т р о к и матрицы А. Если в и-мерном векторном пространстве Й задан ба.

зис, то не только каждому линейному оператору Ф отвечает определенная матрица А, но и, обратно,, каждая квадратная матрица А порядка и может рассматриваться как матрица некоторого линейного оператора. Действительно, пусть е|, ем ..., е„ вЂ” базис пространства )г, и пусть дана матрица (2) и-го порядка (мы будем писать короче: А = (а„)). Обозначим через ла оператор, переводящий произвольный вектор х=х|е, +хаеа+...

Характеристики

Список файлов книги