Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 18
Текст из файла (страница 18)
С другой стороны, если х, у~11|', т. е. если ЛФх= О и Фу О, то и очс(к+у) = Фх+зегу = О и ачс(ах) = аФх О, т. е. х+ у е= тт' и ах ен )т', и значит, М— подпространство. Размерность области значений оператора л4 совпадает с рангом матрицы А (и называется рангом оператора Ф). Действительно, подпространство лвгг порождается векторами Фе„ЛФеа, ..., Фе„, (6) где е|, ез, ..., е„— любой базис пространства тг, и значит, размерность матс равна максимальному числу линейно независимых векторов в системе (6), т. е. равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы А. Размерность ядра Ф называется дефектом линейного оператора Ф.
Теорем а 4. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности и пространства. Доказательство. Если ранг линейного оператора Ф равен г, то среди векторов .Фег, Феа, ..., л!е„ найдется г линейно независимых, через которые линейно выражаются все остальные. Пусть, для определенности, зто будут Фе|, Феа, ..., Фе,. $61 НЕВЫРОЖДЕННЫЯ ЛИНЕЯНЫЯ ОПЕРАТОР НБ Обозначим через Ь подпространство, порожденное в )г векторами еь ем ..., е„и покажем, что (г-мерное) подпространство 1. и ядро У пересекаются только по нулевому вектору. Действительно, если хан 1,П У, то х ен Е, т.
е. х = а, е, + аает +... + а,е„и х я У, т. е. мах = а1.Фе1+ сгтзьег+... + а„Фе, = О. Но так как векторы Феь Фет, ..., Фе, линейно независимы, то а6 = =аз ...=а,=О и х=О. Покажем теперь, что надпространства Е и У порождают все 16 (т. е. что их сумма совпадает с )т). Пусть х — произвольный вектор из )г'.
Тогда,Фх~.Ф)г и, следовательно, Фх = р,Фе6+ ртФет+... +р„Фе,. Вектор у = р1е6+ реет+... + р,е, принадлежит, очевидно, 1., а разность г=х — у~У, так как Фг= за(х — у) = зарх — лгу = О. Мы нашли, что х = у+а, где уев 1„ а генМ, Таким образом, пространство )т равно и р я м о й сумме подпростраиств Ь и Ф, а значит, его размерность и равна сумме размерностей этих подпространств.
В дальнейшем нам понадобится еще такое Определение 2'. Пусть зг — линейный оператор, отображающий пространство )61 в пространство 166 (вообще говоря, другой размерности). Тогда множество зИ6 ы 166 всех векторов у из 166 вида у = .6Рх, где х ем еий„назьчвается областью значений оператора Ф (или о б р аз о м и р о с т р а н с т в а )6 при отображении за), а множество М с: — Р, всех векторов х из П, таких, что,Фх = О,— его ядром. Нетрудно видеть, что область значений оператора .Ф является подпространством в )66, а его ядро — подпространством в )1, (докажите это), $6.
Невырожденный линейный оператор Линейный оператор Ф мы назвали невырожденным, если из равенства Фх = О вытекает, что х = О ($1). Далее, в $1 было показано, что матрица невырожденного линейного оператора в любом базисе имеет отличный от нуля определитель, а в 5 2,— что для всякого невырожденного линейного оператора М существует обратный линейный оператор ге' '.
Наоборот, если для линеиного оператора .Ф существует обратный оператор ЛНЧЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ив и'л. ш зФ ', то этот оператор — невырожденный, так как из равенства мах = О, применяя к.обеим его частям оператор зй-', получаем за-'(Фх) = зй-'О = О; ио зФ-'(зэх) = = (Ф-'зн)х = 3'х = х, и значит, х = О. Ранг невырожденного линейного оператора в пространстве )с" = К равен п, так как определитель его матрицы отличен от нуля; дефект невырожденного линейного оператора равен нулю. Обратно, всякий линейный оператор ранга и будет, очевидно, невырожденным, Область значений невырожденного линейного оператора и- мерна и, значит, совпадает со всем )г: невырожденный линейный оператор отображает й н а в с е гг.
Ядро невы- рожденного линейного оператора состоит лишь из нулевого вектора. Невырожденный линейный оператор взаимно однозначно отображает пространство й на себя, так как из равенства .ягх =.Фу вытекает, что зй(х — у) = 0 и, значит, х — у = О, т. е. х = у. Под действием невырожденного линейного оператора линейно независимые векторы переходят в линейно независимые. Действительно, если векторы еь еы ..., е„линейно независимы и а1зэе1 + оаз$ез +...
+ о.,зле, = =.Ф(а~е1+ азет+,. а,еА) = О, то а,е, + атез+... + а„е, = 0 и а~ — — аг —— ... — — а, О. Следовательно, если,Ф вЂ” невырожденный линейный оператор и подпространство )т1 с: — Й г-мерио, то и подпространство ФЙ~ имеет ту же размерность г. Покажем, что если зР— линейный оператор ранга г, а Я вЂ” невырожденный линейный оператор, го оба оператора зРЯ и ЯФ будут ранга г. Действительно, область значений (невырожденного) линейного оператора Я совпадает со всем пространством: Я)с = )с, и следовательно, область значений оператора зРЯ г.мерна, т.
е. ранг оператора зРЯ равен г. С другой стороны, область значений лг)с операторамг г-мерна, а так как оператор Я-невырожденный, то он переводит г-мерное надпространство зай в г-мерное же надпространство ЯзЖ, и значит, область значений оператора Яза тоже г-мерна, т. е. ранг оператора Язв равен г, ннВАРИАнтные подпеостРАнстВА 11т $7.
Инвариантные надпространства Пусть Я~ — подпространство векторного пространства 17 и Ф вЂ” действующий в 17 линейный оператор. Образ .Фх вектора х из й» вообще говоря, не обязан принадле- жать 1с» Особый интерес представляют такие подпрост- ранства, векторы которых действием оператора Ф не вы- водятся из этих подпространств. О п р е д е л е н и е 3. Лодпространство Я, пространст- ва )с называется инвариантным относительно линейного оператора Ф, если образ Фх каждого вектора х из Я, принадлежит 17, (иными словами, если яг)с1 с:-' Я1). Примеры.
1. Пусть ге' — поворот вокруг оси Ог обычного трехмерного пространства. Инвариантными под- пространствами будут, например, плоскость хОу и ось Ог. 2. Если яг — ортогональное проектирование того же пространства 17з на плоскость хОу, то инвариантными подпространствами будут: плоскость хОу, все плоскости, проходящие через ось Ог, сама ось Ог и все прямые, со- держащиеся в плоскости хОу (и проходящие через нача- ло координат).
3. В пространстве Р„многочленов степени не выше и надпространства Р„при всех й, О ( й ( и, инвариантны относительно оператора дифференцирования. 4. В любом пространстве каждое подпространство инвариантно относительно тождественного и нулевого операторов. 5. В любом пространстве само пространство Я и его надпространство, состоящее нз одного нулевого вектора, инвариантны относительно любого линейного оператора.
Покажем, что пересечение и сумма подпространств, инвариантных относительно линейного оператора Ф, ин- вариантны относительно,~Ф, Действительно, если подпространства Я~ и 17з инва- риантны относительно л~ и х ен Й~ П 17т, то х вне~ и хгмЯ» а значит, Ахен 1т, и Ах ~17ы т. е. Ах~Я~ П 17т. С другой стороны, если х ~ 1с~ + йы то х = и + о, где и ен 1т» о ен йт. Но тогда .4и ен 17» А о е )ах и Фх = = Фи+ Фо еи 1т1+ )гх. Т е о р е м а 5.
Если Ф вЂ” невырожденный линейный оператор и )71 — подпространство, инвариантное относи- тельно Ф, то 17, инвариантно и относительно Ф-', ~гл. Рп ЛИПЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Доказательство. Пусть еь ез, ..., е,— базис подпространства )11.
Тогда векторы Фе1, Фез, ..., Фе„, тоже принадлежащие Я, (ввиду инвариантности )7,), линейно независимы (см. $ 6), и значит, они тоже образуют базис 111, т. е. произвольный вектор х~Я1 представляется в виде х = аьяге1 + а~зле»+... +и,Фе,. Но тогда и Ф-'х = а1е1 + азез +... + а,е, принадлежит Я1.
Сделаем еще одно, полезное для дальнейшего 3 а меч ание. Пусть,Ф вЂ” произвольный линейный оператор, действующий в п-мерном пространстве предположим, что )1 распадается в прямую сумму Я = Я1 ®Яз своих подпространств )71 и Ка, инвариантных относительно .Ф; е1, ем ..., е,— базис 111 и е,+1, е,+1, ..., е„— базис )71.
Ввиду инвариантности подпространств )11 и )т», имеют место равенства Фе1 = а„е, + ат,ет +... + а„е, при 1 = 1, 2... „г и м! е» = а,+1 ье„+1+ а„+а,,е,11+... +а„,е„ при й=г+1, г+2, ..., л (так как Фе,я И1 при 1'= 1, 2, ..., г и Феья)71 при й = г+1, г+2, ..., н). Тогда матрица оператора Ф в базисе еь е», ..., е„всего пространства имеет вид 11 11 ''' 1г а а ...а„О о ... о о ... о о ...о о о ...о а„+ „+ а„+ „+ ...а„+ (7) О ... О а„„+1 а„„<Ь1 ... а„„ Можно сказать, что матрица А «распадается на клетки»: где А~ — матрица оператора ла в подпространстве )71, А,— матрица оператора .4 в подпространстве Я1, а пря.
О П СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ И СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ П9 моугольные матрицы в левом нижнем и правом верхнем углах матрицы А состоят из одних нулей. Таким образом, зная матрицы А| и Аз Оператора Ф в подпространствах )?, и )тз, мы можем составить из них матрицу оператора .Ф во всем пространстве ??. Верно и обратное утверждение: если матрица опера. тора Ф в некотором базисе имеет «клеточный» вид (7), то пространство 7? очевидным образом распадается в прямую сумму инвариантных относительно яс подпространств т(1 и тто. $8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора В предыдущем параграфе мы познакомились с определением подпространства, инвариантного Относительно данного линейного оператора.
При этом особый интерес представляют о д и о м е р н ы е иивариантные подпространства. Пусть )?~ — такое подпространство и х~т?1 (где хчьО); тогда Фх~)?н и значит,,ягх=Лох, где Ло — число. Если у — любой другой вектор из )?и то у=ах и Фу = Ф(ах) = алак = а(Аох) = Ло(ах) = Лоу. Определение 4. Вектор х Ф 0 называется собственным вектором линейного Оператора .Яг, если найдется такое число Ло, что Фх = Л,х; зто Ло называется соотвествующим вектору х собственным значением оператора Ф (матрицы А). Как мы только что видели, если )?, — одномерное инвариантное относительно оператора гтг подпространство )?, то каждый ненулевой вектор из )?1 является собственным вектором оператора Ф и притом с одним и тем же собственным значением.
Обратно, если х — собственный вектор оператора .Ф, то порожденное им одномерное подпространство Й, (состоящее из всех векторов вида ах) будет, очевидно, иивариантным относительно Ф. Как найти собственные значения и собственные векторы линейного Оператора? Предположим, что х — собственный вектор, а Ло — соответствующее ему собственное значение линейного оператора яа. Тогда лУх = Лох.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
