Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 21
Текст из файла (страница 21)
+авх„+~,у,+... ... + р„у + р +,г „+... + р,2, = О. (18) Применим к обеим частям этого равенства оператор З: а,ЗХ, +о.,Зх,+... +а„ЯХ + + р,Зу1+... -)- р„Зу + р +,Зг +, +... + р,З2, = О. Но так как Зх,=б при 1'=1, 2, ..., й, Яу| — х, прн 1=1, 2, ..., т и Зе,=х,' при 1'=т+1, ..., г, мы имеем р>х,+... +р х„+[)„„х„'„+... +р,х,'=О. Однако векторы х„х„..., х„, х„'„, ..., х,' образуют базис З1[ и, значит, линейно независимы, т.
е. Р[=О при 1=1, 2, ..., г. Поэтому нз равенства (18) следует, что и,х,+и,х,+... +а„х„=О, и ввиду линейной независимости векторов х„х„..., хв также и а,=О при 1=1, 2, ..., й. Так как векторы системы (17) линейно независимы, а число их равно размерности пространства 1к, то они образуют базис В.
Теперь мы можем перейти к доказательству теоремы 9. Доказательство это мы разобьем на несколько шагов. 1. Сначала мы рассмотрим ч а с т н ы й с л у ч а й, когда линейный оператор А, представляемый в некото- $ м1 ~зз ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА ром базисе матрицей А =1а,„), имеет только одно собственное значение сг, т. е, когда его характеристический многочлен имеет вид (а — А)". 1.
Введем некоторые обозначения. Пусть х — собственный вектор оператора .Ф, тогда Фх = ах, или (,ях — сай')х = О. Обозначим оператор .РР— аЕ через ЛР„. Тогда ЛР,х = (Ф вЂ” аЮ)х = О. Таким образом, оператор лг, переводит в нуль, ааннулирует» каждый собственный вектор (и, не считая нуля, — только собственные векторы) оператора АФ. Обозначим через М, я д р о оператора ,ЯГ.
— оно состоит из всех собственных векторов оператора .РР с добавлением нуля. Далее, обозначим Й1 область значений оператора Ф„. Подпространство )г1 и н в а р и а н т н о относительно ЯГ, так как РР)г1 =.РР'(Ф„н) = га (ЯР)г)— шля,)с = )г, (легко видеть, что .ЯРФ. =.ЯР„.ЯГ).
Так как 1г' — векторное пространство над полем к о м п л е к с н ы х чисел, то в (инварпантном) подпространстве )г1 (если Й~ Ф О) найдется собственный вектор оператора Ф. Этот вектор, поскольку все собственные значения оператора Аа равны а, аннулируется оператором .РР„ — и значит, он принадлежит я д р у й1Я оператора иг„ рассматриваемого в йь Но если ядро уя оператора М, в Я, имеет ненулевую размерность, то его область значений )г, = .рг )г, =,м.')г' имеет размерность, меньшую размерности Йн и значит, включение )(з = = Фаи ~ ЗР й = 'т', — С т Р О Г О Е. Заметим, что )уз совпадает с пересечением Ф1 П Ян ибо Фз состоит из всех тех и только тех векторов подпространства )гн которые аннулируются оператором Ф„; но из тех же векторов состоит и пересечение йГ~ П )г1.
Продолжим зто построение. Если подпространства )гР и )У„ где р = 1, 2, ..., уже определены, обозначим через Л'+, ядро и через )гРю область значений оператора РР„ в подпространстве )г . Если )х чь О, то ядро ИР+, имеет ненулевую размерность (ибо наше пространство — комплексное!), и значит, йР+1 с= йР. Пересечение же МР П й, = УР+ь Так мы получим (строго) убывающую цепочку подпространств Я:Ой1= Фа)А «йз= Фай ~)АА = Фвй:О -ю ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл.
И1 134 которая, поскольку размерности этих подпространств убывают, должна закончиться нулем. Пусть 1«1+1 =- = .'4и тс = О, но тсА = Рритт чьО Поскольку Я1Р~ — — О, то ядро М1ю оператора,Ф„в 1«1 совпадает с )т1. Но из того, что Л'1 Д )т'„= М1+~ — — )т1, вытекает, что )т1 ы М1. 2. Теперь мы будем строить искомый базис пространства )г, начиная с базиса подпространства )т1, и, переходя последовательно от Р«1 к )т1 „ от )1,, к )1)1 1, и т. д., постепенно дополним его до базиса всего пространства )с. Итак, выберем в подпространстве 1«1 базис хн хз, ...
..., хр,. Перейдем к подпространству )т1 б так как 141 с= <: — Ф1, то мы можем дополнить базис х„х„..., хр, подпространства ЙА до базиса х„х,„..., хр„х„+1, ..., хр, ядра )Р1, Пусть у,, у„...,ур, — те векторы из )1', Н которые оператором .Ф, переводятся соответственно в вектоРы хн хз ..., хрг ДРУгими словами, Ун ..., Ур,— это прообразы векторов хн хр, ..., «р,:,тр„у, = х, при 1 = = 1, 2, ..., р1.
Схематически: «Р +1 «Р 1 Т У1 У1 Ур, Как видно нз леммы (стр. 131), векторы х„х„..., хр„хр,+„..., хр„ун у„..., у„ образуют базис подпространства Я1 ~ (размерность которого равна, следователььо, р, + рр). Перейдем далее к подпространству 14„ 1. В пересечении ФА = 1Р1 ~1) РА, уже построен базисх„х.„...,хр„ хр,+,, ...,хр,. Дополним эту систему векторов до базиса Х1 «1~ ~ Хр Хр -~.1 Хр~ Хр~+1~ Хр ядра й11 ь С другой стороны, векторы «1~ «1 '''~ ТРО «Р+1~ ''')«РНУ1 Уру '''~урь образуют базис подпространства )41 ь Пустьур,+м ... , ур, — те векторы (из )г1 ~), которые оператором Ф, з ав ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА 135 переводятся соответственно в векторы х„+ь ...,хр„ а гь г„...,гр, — векторы (из <4< з), которые переводят- ся в векторы уь у„..., урс Схематически это можно изобразить так: ,х„+ь ...,хР, базис № „ х< х, . ° °,х „х„,+ ° ° ° х, Уь ..., Ум базис 1<А,.
УР<+ь ' ' ' УР< г„..., гР, По лемме векторы «<> «<» ' ' '» «Р»> ХР>+<> ' ' ' » «Р> «Р»+1> ' ' '» «Р» У<» У<> ° » УР, УР,+<> ° ° » УРН г< г< ° г<ь образуют б а з и с подпространства <<< э При этом очевидно, что .М1«< = О пРи 4 = 1, 2 " Рь Р<+ 1 " Рь Р<+ 1, ", РМ Ф,у, = х< при 1= 1, 2, ..., рь р<+ 1, ..., рр,. Ф,г< =у, при <=1,2,..., р<. Это построение мы продолжаем до тех пор, пока не получим базис всего пространства <<. В нем все векторы х, будут векторами нулевого слоя (это — собственные векторы оператора лФ), все у< — векторами первого слоя, г< †вектора второго слоя, и т.
д. Для ясности рассмотрим подробнее частный случай, когда я = 3, р< — — 2, рз = 2, рз = 5, р< = 7. Здесь базис пространства 17 мы получим в виде х<, хь хз, х<, хь хв, хп Уь Уь Ум У<, Уь гь г<ь и<, иэ При этом зг,х< — — О при 1= 1, 2, ..., 7;,Ф„у, = х, при < = 1, 2, 3, 4, 5;,Ф,г< = у< при 1 = 1, 2; яг,и< = г» при 1= 1, 2, или ятх< = ах, при < = 1, 2, ..., 7; лРУ< = ау, + +х, при 1 = 1, 2, 3, 4, 5, лгг< = аг, +у, при < = 1, 2; .РРи< = аи<+ г, при < = 1, 2.
Расположим теперь этн базисные векторы в порядке хь у<, г<, и<, хь уь гм и„хь уь х<, уь хь уь х<, хт. Легко видеть, что в этом базисе матрица оператора Ф !гл. ш линеиные опег»тоны !ЗО приведется к жордановой форме: ! 1 ! а ! О О) О а ! О', О О а О О О а! а ! О О! ! ! ! !Оа2О О О а ! )О О О а О а! :~ ! !а 2! ! 10 а! ! ! ! Все невыписанные элементы матрицы 2 равны нулю. В общем случае доказательство завершается аналогично. Легко видеть, что в матрице ! будет Р, клеток порядка !г+ 1, Рг — Р! клеток порядка А, рг — рг клеток порядка и — 1, ... и, наконец, Р,+! — Р, клеток порядка 1. (Конечно, не исключено, что для некоторых ! р,+, — — Р„и тогда клетки соответствующих порядков будут отсутствовать.) Общее же число жордановых клеток равно Р! + (Рг Р!)+ (Рз Р2) + ° ° ° + (Рлл! Рл) = Рлль а размерность п всего пространства )с равна (22+1)Р + я(Р— Р!)+(я — 1) (Р Рг)+ ° ° ° +1 (Рлл\ Рл) = Р! + Р2+ ' ' +Рл+! Числа Р!, Р!+Рг Р!+Рг+Рг " Р!+Рг+" +Рл— это размерности подпространств Я» = .м'.„Я, )г» 2 = = Ф 'Я,..., Йл Ф„и' — они равны соответственно рангам матриц,уФа, Ф~ ',..., лба.
Обозначив ранг матрицы геаг через г! (и через гг ранг единичной матрицы 137 ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА й !0] порядка и, т. е. полагая ге = а), будем иметь Р! =гы Р!+Рз= 'з-и Р1 + Рз+ Рз = гз-ж, Р! + Рз+ + Рз = гь откУда Р,= г! — гш Р„, = г,— гз, ..., Р, г,, — г„, р, = г„(= г,— гз+!, так как гз+г = 0). Ранги матриц лапь, Фо г,..., Ф„можно найти непосредственно, по ним определяются числа рз, р„..., р„— а значит и вид искомой жордановой матрицы Прежде чем перейти к доказательству теоремы в общем случае, РассмотРим пРи меР.
ПУсть опеРатоР.Ф в некотоРом базисе еьее, ез кмеет матрицу А= 0 3 — ! Его характеристический многочлен )г — Л ф(Л) =~ 0 3 — 1 — 1 ~=(2 — Л) ! 1 Л)=(2 — Л) . 0 1 1 — Л Собственное значение здесь одно, равное 2, кратности 3. Матрица оператора г»з = лт — 23': Аз 0 1 — 1 Ясно, что Аз = О, Р значит, здесь й 1, ге 3, г1 = 1, гз = О. Так как р~ г, 1 и р, го — гз 2, жорданова форма нашей матрицы будет содержать одну жорданову клетку порядка 2 и одну — порядка 1, т.
е. зто будет матрица 1= 0 2 0 Далее, если нам надо найти и новый базис, заметим, что .Фзе, О, лазе» (1, 1, 1), лазе» = ( — 1, — 1, — 1). Следовательно, образ И~ з»зй пространства й — это одномерное подпространство с (1, 1, 1). Ядро АГз оператора лтз определяется уравнением $»вЂ” -аз= 0 (здесь $з и Вз — координаты соответствующего вектора). Оно двумерно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
