Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Его базис образуют, например, векторы (1, О, 0) и (1, 1, 1). Прн этом й~ ~ АГР В качестве зжорданоза базиса» можно взять, следовательно, векторы л1 (1, 1, !), хз = (1, О, 0) (вектор кз дополняет базис й~ до базнса й1~) и у, *= (О, 1, 0) (у| — это прообраз вектора кз прк преобразовании лгз). !гл. Еп ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 138 Для контроля проделаем следуюшую выкладку. В нашем случае матрица С перехода от старого базиса еь ез, е, к новому кн ро кз такова: Гго!1 ГО 0 11 С= 1 1 0~, и значит, С 1= 0 1 — 1 ! 0 0 ! 0 — ! Вычислим произведение С гАС: 0 1 — ! 0 3 — 1 ! ! 0 ; оно равно 0 2 0 — найденной выше жордановой матрипе. П.
Перейдем теперь к доказательству теоремы 9 в общем случае. 1. Пусть Ф вЂ” произвольный линейный оператор, действующий в пространстве )с размерности л над полем комплексных чисел, а — одно из его собственных значений и ег, е,, ..., е„ вЂ” базис ядра Фг оператора лй,. Дополним эту систему векторов до базиса е!, ет, ..., Е„е„,г, ..., е„ (19) всего пространства )с. В базисе (19) матрица оператора ,яй имеет вид Лгв а 0 ....... 0 а А+ 0 а ....... 0 лз 1,+1 озп 0 .......
а о„ А+ 0 0 ... ° ° ил+з а+1 ЛА,» ° па+1,ч О О ...... ° О печа+1 овч А+1,А+1 ЛАЧ-1,1+З ' ' ' А+1„» ОА+З,АЕ1 А+З,А+З ' ' ' ЛА+З,» 1Р (Х) = (а — А) ... а„„вЂ” А гЧА+ 1 ггч,А-~-З ОА+1,А+1 ~ ' ' ОА+1,и А+З,А+1 ' ' ' А+З,в = (а — А) тр(А), где тр()г) = ... а„„вЂ” А ггл,А+1 Характеристический многочлен гр(А) оператора Ф, оче- видно, таков: ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА $10! 139 Рассмотрим образ )г1 — —.м1 дг пространства Я при преобразовании ж„. Так как ядро )У1 оператора яг„ в )г имеет размерность й, то размерность г подпространства Я1 равна а — й. За базис Я1 можно принять любые г линейно независимых образов элементов исходного базиса еь ег, ..., е„пРи отобРажении лР„т.
е. любые г линейно независимых векторов из М„ег, Ф,ег, ...,,ж,е„ (см. стр. 114), илн, что то же самое, любые г линейно независимых стол б цо в матрицы лР . Но матрица эта имеет вид О ...... О аг г+1 О ...... О аг А+1 аг» а,» О ...... О а„ „+, ... " .. аг» О ...... О ад+1 гг, — " ° " ° аг-гг,» А а О,..... О а„г+ . а„„вЂ” а Фд, = а,+, г юг+1+ а„+г, дг+г +... + а„я„, и значит, м атрицей оператора Ф в подпространстве Я1 размерности г = а — й (в базисе д„гьдггг,...,д„) является клетка »А+1,д+1 а»+1 А+г аг+г,А.Р1 аг+г,г+г . аг+г,» -а»,гег а»,А+г ° ° ° а»» Так как первые й столбцов этой матрицы — нулевые, то последние а — й = г столбцов ее л н н е й н о н е з а в иск мы; следовательно, онн и образуют искомый базис )Гг, Обозначим векторы этого базиса через юг+1, дг+г..., ..., а„(таким образом, д< = .Ф,е, = аг,е, + аг,ег+...
+ -1- а, г,,е, 1+ (аа — а) е< + аы1,,е,+1 +... + а,е„прн 1 = =й+1, й+2, ..., а). Найдем матрицу оператора лРв базисе дг+1. дг+г, ... ..., д„пространства Л1. Для этого надо найти образы Фй, базисных векторов Аг, при действии оператора ж,. Но .Фд, = аФ (зФ е,) = лу„э~е, = з»„(а„е1 + анег +... ...+ а„,е„) = а1»Ф,е1+ аггнг,ег+... + а„»РР,е„. А так как ее,ег = 0 при 1 = 1, 2, ..., й и ла ег = д, при 1 = =й+1, й+2, ..., а, то ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ »гл. И! 140 Как видно нз п. 1, характеристический многочлен »р(Л) оператора Ф в я» равен, где»р(Х) — хар (л) (а 1)А рактеристическнй многочлен оператора Ф в 14.
Он может все еще иметь корень, равный а, но кратность этого корня будет на й единиц меньше, чем кратность того же корня для оператора,я» в пространстве Я. В то же время ясно, что при переходе к подпространству )т! все остальные собственные значения оператора Ф н е меняются и не изменяют своих кратностейй. Если оператор .Ф в )»! имеет собственное значение, равное а, то точно так же, как выше, переходя к подпространству )с, = .~Ф )т, мы можем еще понизить кратность корня а, не меняя кратностей остальных собственных значений.
Продолжая это построение, мы придем, в конце концов, к подцространству )т', .яг„'»», в котором оператор л~ совсем не имеет собственных значений, равных а. В этом случае дефект оператора »»р, в 1», равен О, и значит, ранг его равен размерности этого подпространства, т. Е.,Ф,Я, = )с,— оператор Ф„рассматриваемый в подпространстве 14„ является н е в ы р о ж д е н н ы м. В этом случае ранг матрицы лр'+' совпадает с рангом матрицы»е' (см. стр. 116).
2. Предположим, что оператор Ф имеет собственные значения а», ам ..., ар с кратностями, соответственно равными йь йм .. „й,. Применяя надлежащее число раз описанный в п. 1 прием, мы можем построить подпространство ч-! з»+! врт где Я'»=,Ф",.47, . ~„' »БФ„'»+' Ф„Р) в котором оператор Ф совсем не имеет собственных знач е н и й, р а в н ы х а», ам, а»-ь а»+ь ... ар. В подпространстве ЯЯ у оператора Ф будет лишь одно собственное значение, равное а», причем о н о б у д е т т о й ж е кратности я», что и у оператора .Ф в п р о стр а нет не )»'.
Конечно, подпространство ЯЯ нива рна н т н о относи т е л ь н о .Ф, так как ФЯЯ = ЖФ»» ы жогдлновл ногмлльнля еогмл $!01 ыЗ!К. Оно инвариантно также н относительно каждого нз операторов А,,!, где !'=1, 2, ..., р. Размерность подпространства З!)т, как видно нз построения, равна кратности й! собственного значения а,. В подпространстве З!)т каждый нз операторов Маею с4азю ° ~ Аа! ~ 4а!+ ° ° ° у Ая является н е в ы р о ж де н н ым и, следовательно, оператор З, как пронзведенне невырожденных операторов тоже будет невырожденным, т. е.
З!(З!й) =Зг(1 прн всех ! = 1, 2, ..., р. В то же время очевидно, что З!(З~й) = О прн ! чь 1'. 3. Покажем, что если е,', е,', ..., е,' †баз подпространства Зф, то й!+л,+... +й =п векторов е!! (где 1=1, 2, ..., р и для каждого ! отвечающне ему 1' пробегают значения 1, 2, ..., й!) образуют б а з н с и р о с т р а нства Н. Так как число этих векторов равно размерностн Й, то нам достаточно доказать нх линейную независимость. Предположим, что какая-то линейная комбинация векторов е! обращается в нуль. Обозначая сумму всех тех нз зтнх векторов, которые принадлежат Зф, через ао получим равенство а,+а,+...
+ар О, где, конечно, некоторые нз слагаемых могут и обращаться в нуль. Применим к обеим частям оператор Я:, учитывая, что Зтал=О пРн )Фй, полУчим Злат — — О. г(о так как оператор Зр действующий в подпространстве З~Р,— не- вырожденный, то ат — — О. Таким образом, базисные векторы всех ннварнантных относительно А подпространств З!)т', З,)т', ..., З„й линейно независимы, и значит, онн образуют базис всего пространства )('. В этом базисе матрица оператора А разобьется на клетки: Г А!1 ! ! ! ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ.
1П 142 Π— 2 1 2 ! 3 — 1 — 2 О 2 1 — 2 Π— 1 О 2 А [ Его характеристичесниа миогочлен — Л вЂ” 2 1 1 3 — Л вЂ” 1 О 2 1 — Л О вЂ” 1 О 2 =Л» — 6Л»+13Лз — 12Л+4= 2 — Л (Л вЂ” 1)з (Л вЂ” 2)з. Собственные значения Л» ~ 1 н Лз 2, оба кратности 2.
При этом — 2~' Аз = А — Е = — 1 — 2 1 1 2 — ! О 2 О О ! О Аз= — 2 ! 2 2 — 1 — 2 6 — 2 — 6~' — 3 1 3 Ранг матрицы А~ равен 2; значит, сушестзуют два линеано независимых собственных вектора, отеечаюших собственному значению, рав. ному 1. Легко видеть, что здесь и ранг матрицы Аз равен 2. )Лалее, имеем — 2 — 2 1 2 ! 1 — 1 — 2 О 2 — 1 — 2 Π— 1 О О Аз = А — 2Е = где А,— это матрица оператора Ф, в подпространстве ЯД.
Так как оператор лб в подпространстве лв,)с имеет лишь одно собственное значение сси то, как показано в п. 1, соответствующим выбором базиса в Я,Я клетку Ф, можно привести к жордаиовой форме. Тем самым приведется к жордановой форме и матрица оператора Ф во всем пространстве )с (см.
замечание на стр. 1!8). Рассмотрим пример. Пусть оператор Ф в некотором базисе имеет матрицу $ 101 ЖОРДАНОВА НОРМАЛЬНАЯ ФОРМА 143 Ранг матрицы Аз равен 3, значит, сушествуег лишь одномерное под. пространство, отвечаюшее собственному значению, равному 2. Отсюда уже ясно, что искомой жордановой формой матрицы А будет Заметим, что ранги матриц Аз н Аз одинаковы н равны 2.
2 2 — 1 — 2 — 1 — ! ! 2 2 2 — 1 — 2 — 1 — 1 ! 2 1 О О О О 1 О О О О 2 1 О О О 2 — 2 — 2 ! 2 1 1 — ! — 2 — 2 — 2 1 2 1 ! †! — 2 ГЛАВА 1Ч ЕВКЛНДОВО ПРОСТРАНСТВО В 1. Скалярное произведение Мы определили векторное пространство, в котором можно складывать векторы и умножать их на числа, ввели понятия размерности, базиса, линейного оператора, а теперь в этом пространстве мы введем метрику, т. е. способ измерять длины и углы. Метрику в векторном пространстве удобнее всего ввести, используя понятие с к а л я р н ого яр о и введен и я. В обычном трехмерном пространстве скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин, умноженное на косинус угла между ними. Это скалярное умножение коммутативно: (х, у) =(у, х), ассоциативно относительно умножения вектора на число: (ах, у) =а(х, у) и дистрибутивно относительно сложения векторов: (х+ у, х)=(х, г)+(у, г); кроме того, скалярный квадрат (х, х) любого ненулевого вектора х положителен.
В случае п-мерного векторного пространства у нас нет понятия длины н угла, и мы введем скалярное произведение аксиоматически. Его определение мы дадим для случая, когда основное поле р есть поле ком ил е к с н ы х чисел. Читатель, собирающийся изучать вещественное евклидова пространство, должен всюду, где над числом а из поля г стоит черточка, просто ее опустить: ведь в том случае, когда число а вещественно (и, кстати сказать, только в этом случае) а=а.
Определение 1. Говорят, что в векторном пространстве 11 задано скалярное произведение, если каждой паре векторов х, у из )с' поставлено в соответствие число (х, у) ~ Р так, что выполненьч следующие условия: 1. Для любых двух векторов х и у (х, у) = (у, х). ~(В случае вещественного пространства (х, у) = (у, х).) скллярноя ппоизведянии 145 2. Для каждого вектора х и любого а еп с (ах, у) = а(х, у). 3. Для любых трех векторов х, у, 2 (х+ У, 2) = (х, 2) + (У, 2).
(Эти условия называются аксиомами скалярного умножения.) Пространство Д называется в атом случае пространством со скалярным произведением. Из условия 1 непосредственно вытекает, что (х, х) = (х, х), т. е, что скалярный квадрат любого вектора х является вещественным числом. Пространство со скалярным произведением, удовлетворяющее кроме условий 1 — 3 еще и условию 4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
