Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Для того чтобы найти выражение линейного функцно- нала в координатах, выберем в пространстве )с базис еь ез, ..., е„. Если х = х,е, + х,ет+... + х„е„— произ- вольный вектор нз )с, то 1(х) = )(х<е< + хтез + ... + х„е„) = = х<)(е<) + хз)(ез) + ... + х„)(е„). Обозначив Г(е<) = ао где < 1, 2, ..., и, получим )(х) = х,а< + хзаз + х.а„, Таким образом, прн фиксированном базисе линейный функционал представляется л н н е й н о й ф о р м о й '), т.
е. выражением вида )(х) = а<х< + атхз + ... + а„х,. Если пространство )1 ее кл ндов о, а базис е<, ещ ... ..., е„— ортонормнрованный, то 1(х) = (х, а) — скаляр- ') Слово еформв> означает еоднородный многочлен>, т. е. многочлен, являющийся суммой одночленов одной н той же степени.
164 опвглтогы в ввклндовом пгостглнствв 1гл, ч ному произведению вектора х и некоторого (зависящего только от 1, но не от х) вектора а= (аь ам ..., а.). Легко видеть, что верно и обратное: если в евклидовом векторном пространстве Й задан вектор а = = (а>, ам ..., а„), то г(х) = (х, а) — скалярное произведение вектора х и вектора а — является л н н е й н ы м ф у н к пи о н а л о м, так как 1(х+ у) = (х+ у, а) = = (х, а) + (у, а) =)(х) +)(у) и Цах) = (ах, а) = = а(х, а) = а)(х). й 2.
Оператор, сопряженный данному Л е м м а. Если в евклидовом пространстве (х, и) = (х, о) для всех векторов х, то и = о. Доказательство. Из равенства (х, и) (х, о) вытекает, что (х, и — о) =О при всех х. Подставив х = и — о, получим (и — о, и — о) О. Но так как пространство )г е в кл и до в о, то и — и = О и и = о. Пусть )г — евклидова пространство и мт — линейный оператор в нем. Покажем, что при фиксированном у скалярное произведение 1>(х) = (мех, у) является линейным функционалом относительно х. Действительно, 1>(х,+хе) =(ьк(х,+х,), у) = (Мх1+,Фхм у) = = (Фхь у) + (Фхм у) = ~>(х1) + ~„(хз) н 1„(ах) = (зэ(их), у) = (>х.Фх, у) = а(А'х, у) = сц'„(х). Как показано в $1, найдется такой вектор у' из )т, что при всех х 1„(х) = (Фх, у) = (х, у'). Этот вектор у' зависит только от у (не от х1) и можно положить поэтому у'=Ф'у. Вектор Ф'у определяется вектором у, т. е..Ф' — оператор, переводящий вектор у в новый вектор у' (который мы и обозначаем Фьу).
Покажем, что этот оператор — линейный, Действительно, при всех х, у, г енЯ мы имеем (лФх, у+я) ~ (х,.Ф*(у+я)) и (мФх, у+ г) (Фх, у) + (.Фх, е) = ~ (х, мь у) + (х, мгев) = (х> вгику+ эзее)> 6и ОПЕРАТОР, СОПРЯЖЕННЫЙ ДАННОМУ 1бз откуда (х, Ф»(у+2)) = (х, Ф»у+Ф»2) и, ввиду леммы, ,РФ» (У + 2) = зР (У) + Ф» (2), Аналогично, если а я Р, то для любых х, у~ Я имеем (Фх, ау) =(х, Ф»(ау)) (зарх, ау) = а(з»х, у) = а(х, Ф»у) = (х, аФ»у), откуда, по той же лемме, Ф*(ау) = АР»у, Определение 2.
Линейный оператор лС» такой, что лри всех х, у еи Я (Фх, у) = (х, лФ»у), называется сопряженным Ф, Легко видеть, что оператор, сопряженный л~,— е д н нственный, так как из равенства (х, яу) = (х, (уу), справедливого при всех х, у ~Й, вытекает (по той же лемме), что Му = чту при всех у и, значит, я = йт, Пусть А = [а„) — матрица линейного оператора .Ф в ортонорм пров а ином базисе еь ез, ..., е„, А' = (а»,] — матрица, транспонированная к А, А» = А'= = (а„) — матрица, элементы которой комплексно-сопряжены элементам матрицы А'. Обозначим через линейный оператор, имеюший в том же базисе матрицу А», и покажем, что Ф1=,зФ», т, е, что Фт и есть оператор, с о п р я ж е н н ы й Ф. Мы имеем, очевидно, (заеь е„) = (а„е, +амез+ ° .. +а„~е„,е,) = а„ и (ен зз,еь) = (ен аа,е, + а„,е, + ... + а„„е„) = а„п т.
е, (,Фенеа) =(ен.зФ,еа) при всех (, й. А тогда, если х = Х х;е~ и у = ~2~ у»е», А 1 166 опвг»тогы в ввклидовом пгостг»истаа 1гл. т то и ь ь (,Фх,у) = .~Ф~ х»еь ~ у»е») = ~ х~у»(.рФеие») $1»=1 1»е т и / ь ь 1*. ~ »1 = ( Х *бь ш Х ю .)- »=,'' »=1 и ь ~ х;у» (еь л~,е») = ~к~ ~х;у» (вФе;, е») = (,Фх, у), к»-» к»=1 т. е. для всех х, у (.Фх, у) =(х, Ф,у) и оператор Ф, является сопряженным .ис, т. е..Ф» = Ф». Таким образом, для каждого линейного оператора .Ф в евклидовом пространстве существует и притом только один сопряженный ему линейный оператор Ф*, матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной и комплексно-сопряженной матрице оператора вй.
Покажем, что вй»* = Ж Действительно, имеем (х, Ф'*у) = (.Ф'х, у) = (у,,Ф*х) = (Фу, х) = (х, вуу) при всех х, у, и значит, опять по той же лемме, май**у = =,Фу при всех у, т. е. лд»* = Ф. Свойства оператора, сопряженного данному. 1. о'* = Ю, так как (х, Ю*у) = (Ех, у) = (х, у) = (х, а'у), и, согласно лемме, д' = Ю. 2. (,Ф+Я)'= ма'+Я*, так как (х, (и!+Я) *у) = ((,Ф+ Я)х, у) = (Фх+ Ях, у) = = (л1х, у) + (Ях, у) = (х, .Ф'у) + (х, Я'у) = = (х, .Ф»у+Я»у) = (х, (вй»+Я»)у), и, по лемме, (вам+Я)» = Ф*+Я'. 3.
(мгЯ) * = Я*.яг*, так как (х, (зйЯ)*у) = ((ФЯ)х, у) (3$(Ях), у) = = (Ях, Ф'у) = (х, Я*,Ф*у); по лемме, (ге'Я)» = Я*Ф'". !67 ОПЕРАТОР, СОПРЯЖЕННЫИ ДАННОМУ 4. Если мг-' существует, то (Ф ')" = (Ф») ', так как из равенства (,ЖФ-') = о' и пп.3 и 1 вытекает, что (Фм~-')* =Ю», или (Ф-')».Ф» = Ю, т. е. что (Ф»)-' = = (Ф-')' 5.
Если а — число, то (а.4)» = сьФ», так как (х, (аФ)»у) = (аФх, у) = а(Фх, у) = = а(х, Ф»у) = (х, а.4»у), и, по лемме, (а.Ф)» = аФ». Теор ем а 1. Если надпространство Я, инвариантно относительно линейного оператора Ф, то его ортогональное дополнение Яг инвариантно относительно сопряженного Ф оператора мг», Доказательство. Пусть х — произвольный вектор из ЯА,, у в произвольный вектор из Яь Тогда (Ф»х, у) = (х, Фу) = О, так как Фучик! и, значит, х 1.мгу. Следовательно, вектор ма»хы И~, и я~г инвариантно относительно Ф», Пусть 1(1) — произвольный многочлен с комплексными, вообще говоря, коэффициентами.
Обозначим через у (г) многочлен, все коэффициенты которого являются комплексно-сопряженными к соответствующим коэффициентам многочлена г(1). Так, если !(1) = (1+ 1)Р+ +(2 — 1)1+1, то т(1) = (1 — 1)Р+ (2+1)1+1; если ((1) = 2Р+ 3! — 5, то ~(1) = ((!), и т. д. Теорем а 2. Если ~р(Л) — характеристический многочлен линейного оператора Ф, то характеристическим многочленом сопряженного Ф оператора Ф» будет~р(Л).
Доказательство. Пусть а — Л а ...а„ р(Л) =!А — ЛЕ1= а 2» ~'''а Тогда характеристический многочлен оператора Ф» равен )А» -1Е! =!А' — ЛЕ~ = ~А' — ЛЕ' ~ = ~ (А — ЛЕ) ! = 'и Л "г» "''1 = !А — ЛЕ~ = ьм а — Л...а»„ а — Л п» а„ !ба опаектогы в ввклидовом пгоствкиствв [гл. и Сл едс та не. Если Л~ — собственное значение оператора Ф кратности й, то Л, — собственное значение оператора .Ф* то й ж е кратности й. Действительно, если Ч(Л) = ( — 1)" (Л вЂ” Л )'(Л вЂ” Лз)...
(Л вЂ” Л ), где Лт, Лз, „., Л Ф Ль то Ф(Л) ( — 1)" (Л вЂ” Л1) (Л вЂ” Лз) ° ° ° (Л вЂ” Т ), где тоже Лм Лз, ° Л ФЛ1 В частности, в вещественном пространстве Р характеристический многочлен линейного оператора Фч р авен характеристическому многочлену оператора Ф— и все их собственные значения одинаковы (т. е. спектры их тождественны). ф 3.
Самосопряженный оператор Определение 3. Линейный оператор зФ, совпадающий со своим сопряженным, т. е. такой, что Фч = =Ф, называется самосопряженным. В вещественном пространстве самосопряженный оператор называют также симметрическим, а в комплексном пространстве — зрмитовым. Таким образом, если мс — самосопряженный оператор, то тождественно при всех х и у из й' (л~х, у) = (х, мсу). Свойства сам оса п ряженных операторов. 1. Тождественный оператор является самосопряженным, так как о" = Ю. 2 Сумма самосопряженных операторов является самосопряженным оператором, так как если мг* = л~ и Я* = Я, то (ле+Я)" = л~*+Я* =.~К+Я.
3. Для того чтобы произведение самосопряженных операторов было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были перестановочны между собой, т. е. чтобы имело место равенство ФЯ = ЯФ. Действительно, если Фч =.Ф и Я" = Я, то (ФЯ)" = Я'.иг* = ЯФ, что равно ФЯ САМОСОПРЯЖЕННЫЯ ОПЕРАТОР в том и только в том случае, если операторы Ф и Я перестановочны. 4. Оператор, обратный к невырожденному самосопряженному оператору, является самосопряженным, так как если Ф' = .РЯ, то (м'-') ' = (Ф*) -' = Ф-'. 5. Если ЯФ вЂ” самосопряженный оператор, то для того, чтобы произведение сьяР бьсло самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы число а было вещественным, так как в этом случае (ил»)* = а.Ф* = аФ.
Теорема 3. Если Ф вЂ” самосопряженный оператор и )г, — надпространство, инвариантное относительно Ф, то и )т', инвариантно относительно Ж Доказательство. По теореме ! )г1 инвариантно относительно Ф*, но,Ф' = .Ф, следовательно,й~А инвариантно относительно Ф. Далее рассмотрим отдельно самосопряженные операторы в вещественном и в комплексном векторных пространствах. А, Пространство !г вещественно.
Пусть Ф вЂ” самосопряженный (симметрический) оператор в вещественном векторном пространстве и А = = ~а;,1 — его матрица в ортонор миров а ином базисе. Тогда матрицей оператора Ф' в том же базисе будет транспонированная к А матрица А' = (а„,] (см. 5 2), и так как Ф* = Ф, то А' = А, т. е. а„= а„, при всех й я. Обладающая этим свойством матрица А называется симметрической (она «симметрична относительно главной диагонали»). Пример симметрической матрицы: ! +~/2 н Обратно, линейный оператор, имеющий в ортонормированном базисе симметрическую матрицу, будет, очевидно, самосопряженным, Теорема 4. Все корни характеристического много«лена самосопряженного оператора Ф вещественны. Доказательство. Пусть Х = и+ !р-комплексный корень характеристического многочлена самосопряженного оператора А.
Тогда, как видно из доказательства САмосОПРяженнын ОПЯРАтОР 171 К тоже инвариантно относительно Ф. Продолжая это построение, мы найдем а попарно ортогональных (и значит, линейно независимых) единичных собственных векторов оператора Ф. В базисе, состоящем из этих векторов, матрица оператора Ф приведется к диагональному виду Геометрический смысл самосопряженного преобразования виден из последней теоремы; если х = х,е1 + хзез + ... +х„е„ вЂ” произвольный вектор нз )г, то Ах = х~), е1 + хафез +... +х„х„е„. Таким образом, при соответствующем Ф преобразовании точек точка Х(хь хм ..., х„) переходит в точку Ряе !3.
Х'()чх1, Хохм ..., А„х„) н, значит, в базисе, состоЯщем из собственных векторов оператора Ф, оно сводится к л растяжениям вдоль координатных осей с коэффициентами, соответственно равными 711, Хз..., 7,„(см. рнс. 13, на котором изображено действие на фигуру К евклндо- 172 ОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВОМ ПРОСТРАНСТВВ 1ГЛ, Р вой плоскости самосопряженного преобразования с соб- 1 ственными значениями Х, = — и дг = 2). Б. Пространство й — комплексное. Пусть Ф вЂ” самосопряженный (эрмнтов) оператор в комплексном векторном пространстве и А = (а,Д— его матрица в ортонормированном базисе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
