Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 29
Текст из файла (страница 29)
+ у„е„) = и и — ~ х<у,А(е<,е„) - 2'"„а»ах<уз, <,4=1 где коэффициенты ам = А (еь е,) зависят от ба- зиса и не зависят от х и у. Таким образом, в заданном базисе билинейный функционал представляется билип н ей ной формой, т. е. выражением вида »аых<уае). »,а < Матрица А = [а„) называется м а тр и ц е й этой б ил и- нейной формы. В частности, сналярное произведе- ние (х, у) представляется билинейной формой и ~ д<вх<уа, где у»ь = (е», е„).
<,а=в Билинейную форму А(к, у) можно рассматривать как матричное произведение Х'А У, где Х вЂ” столбец (и значит, транепоннрованнаи к Х матрица Х'— строка) из координат вектора л, У вЂ” столбец из координат вектора у и А — матрица билинейной формы. Найдем, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису.
Пусть в базисе е», ез, „., е„ А(х,у) ~~~~ а<ах<у„где ац,= А(еье,), <,ь=< Р Ф 1 и пусть е<, е,...,е„— новый базис, в котором и А(х,у) ~ Ь„х,у„где Ьле=А(ев,ее) же=< Положим А = [а»ь], В = [Ь„) и обозначим через С= [с„| матрицу перехода от старого базиса к новому; е) Сам билинейный функционал»(к, р) часто тоже называют билинейной формой. внлнненныи ернкцнонйл 189 тогда Ьрч А (ер, еч) = А (сйрей+сзрез+... + с„ре„, сйче1+сзчез+ ... + сисе„)»» » и и сг„с„,А(ег,ей) = ~ с,рс„,аг, ~ сграгйсйч. г,й 1 г,й — 1 г,й 1 Обозначив с„через йро получим » Ь„= ~ йрга;йсйе.
1, й=й Матрица [йрг) = С' является транспоннрованной к и матрице С = [сгр1. Далее, так как ~ амсй, есть элемент, й=1 стоящнй в 1-строке н г)-м столбце матрицы АС, то и и / и лз йргагйсйч = Х йрг ~ Х агйсйч 1,й=1 1=1 й=1 — это элемент, стоящий в р-й строке н а-м столбце мат рицы С'АС. Таким образом, В= С'АС. Заметим, что так как матрица перехода С (а значит, н С') является невырожденной (т. е. имеет ранг н), то ранг матрицы В равен рангу матрицы А (см. $ 6 главы 111). Таким образом, ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса н может быть назван поэтому рангом самой билинейной формы (билинейного функционала). Прнведем еше другой вывод формулы (!).
В обозначениях й 3 глазы 1Н имеем Хс~ — СХ»ьв и Ует СУ»ьь. далее, яз равенства (лгйг) ° я',Ф' ($2 главы Ч) для матриц вытекает равенство (АВ) В'А' — оно справедливо, впрочем, не только для квадратныл матрнц, и, значит, Х, Х„,С'. Следовательно, А (х, р) = ХНА»гуег ХювС АетСУнов. Но А (х, р) ХнозАяовуяов в, знзчнт, нов = ет (легко А =СА С надеть, что нз равенства Х'Вгу Х'Взу, справедлнвого для любой строки Х' я любого столбца У, вытекает, что Вг Вз), 190 БИЛИНЕИНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ 1ГЛ, Ю Билинейный функционал А(х, у) называется симметрическими м, если для всех х и у из )т А (х, у) = А (у, х). В этом случае аа = А (е„ е„) = А (е„, е,) =а»ь т. е.
матрица 1а~»1 соответствующей билинейной формы (в любом базисе) будет симметрической; обратно, если матрица билинейной формы (в каком-то базисе)— симметрическая, то и соответствующий билинейный функционал будет симметрическим (почему?). Примером симметрического билинейного функционала может служить скалярное произведение векторов пространства со скалярным произведением. Последний примерявляется вполне общим, так как и, обратно, каждый симметрический билинейный функционал А(х, у) удовлетворяет, очевидно, условиям 1 — 3 из $1 главы 1'Ч и, значит, может быть принят за скалярное произведение. Если в симметрической билинейной форме А(х, у) положить у = х, то получится квадратичная форма А(х, х).
При этом матрица А квадратичной формы А (х, х) — это, по определению, симметрическая матрица А отвечающей А(х, х) билинейной формы А(х, у). Заметим, что по квадратичной форме породившая ее симметрическая билинейная форма определяется однозначно. Действительно, пусть А(у, х) =А(х, у) при всех х н у. Тогда А (х + у, х + у) = А (х, х) + 2А (х, у) + А (у, у), откуда А (х, у) = — [А (х + у, х + у) — А (х, х) — А (у, у)). 1 Билинейная функция А(х, у) называется кососимметрической, если А(х, у) = — А(у, х) прн всех х, у~)?. В заданном базисе кососимметрнческая функция представляется кососимметрической формой А(х, у) ~ а~»х~у», к»-1 где а„= А(еь е„)= — А(е„, е,)= — ам при всех 1, я и, ПРИВЕДЕНИЕ Х СУММЕ КВАДРАТОВ 191 % а! в частности, ан — — О при всех !.
Так, в трехмерном пространстве кососимметрическая форма имеет вид ам(х!уз — хзу!) + а!з(хзуз — хзуз) + азз(хзуз — хзуз) ° Пусть А(х, у) — произвольный билинейный функционал. ТогдаВ(х,у) = — (А(х,у)+А(у,х)) является, ! очевидно, симметрическим, а С(х, у)=-~(А (х, у) — А(у, х)) 1 — кососимметрическим функционалами. Но А (х, у) = В(х, у)+ С(х, у); следовательно, каждый билинейный функционал может быть представлен в виде суммы симметрического и кососимметрического функционалов. й 2.
Приведение квадратичной формы к сумме квадратов Теорем а !. Пусть А(х, х) — произвольная квадратичная форма в п-мерном векторном пространстве. Тогда найдется такой базис, в котором вта форма приводится к сумме квадратов (т. е. в котором все коэффициенты при попарных произведениях координат вектора х равны нулю). Доказательство проведем индукцией, по числу входящих в форму переменных. Если в А(х, х) входит лишь одна координата, скажем, А(х, х) = а„х'„ то наше утверждение очевидно.
Предположим, что оно справедливо для всех квадратичных форм, зависящих от пз — ! координат, и рассмотрим квадратичную форму, зависящую от пз переменных: А (х, х) = а„х,'+ 2а„х,х, + а„х, '+ ... + а„х„'. Если здесь есть хотя бы один квадрат с отличным от нуля коэффициентом, например, если а „ФО, то соберем все члены, содержащие х„: 2аз,„х,х„+ 2а„„х,х -!- ... + 2а„згзх„зх,„+ а„,„х„', 192 БИЛННВИНЫВ Н КВАДРАТНЧНЫВ ФОРМЫ !ГЛ.
Ч! и «выделим полный квадрата! 2а1тхихт + 2автхвхт + ° ° ° + 2ат-1,тхт-1тт + аттхт 1 — (а1тх1 + автхв +, + ат 1 тхт 1 + аттхт) авив 1 (а1тх1 + ат»Х1 + ° ° + ат-1,тхт-1) ° 1 а»в Тогда А (х, х) — (аттх, + а,тх, + ... + а „х„)' + В (х, х), а где квадратичная форма В(х, х) зависит уже только от и! — 1 координат: х1, хз, ..., х 1.
Положим У!=хо Уз=ха, ...,У 1=х У = П! Х! + аз„Х1 +... + а„„Х»в У»+1 тв Хт+Ь ... У» = Х». Так как определитель о о ... о ... о О 1 О ... О ... О а1т а„„ аат ... а,„ ... О = а„тчьО, о о о ... о то этот переход к новым координатам вызывается переходом к некоторому новому базису — с матрицей перехода, обратной матрице определителя 0 (см.
$ 6 главы П). По предположению индукции, форму В(х, х), зависящую от и — 1 переменных хь хз, ..., х„1, посредством перехода к новому базису можно привести к сумме квадратов. При этом окончательно приведется ксумме квадратов и форма А(х, х). Мы предполагали, что хотя бы один из квадратов входит в форму А(х, х) с ненулевым коэффициентом. Если это не так, т. е. если все па = О, то допустим, что, например, аы чь О, и положим х! = У! + У1, ха = У! — У1, х, = У1, ... х„=У» ПРИВЕДЕНИЕ К СУММЕ КВАДРАТОВ 193 — это соответствует переходу к новому базису с Е,=Е, +Е„Е,=Е,— Ехо Е,=Е,, ...,Е„=Е„ с матрицей перехода ) о ...
о — о...о о о ) ... о о о о ... ) (определитель этой матрицы равен — 2 ~ О). При этом произведение х,хг обратится в у', — у'„и мы придем к первому случаю. Мы доказали, что если в л-мерном векторном пространстве Л задана произвольная квадратичная форма, то в )с можно найти такой базис, в котором эта форма приведется к сумме квадратов: А (х, х) = а,х," + а,х.,' + ...
+ а„х„", (2) В 2 где х„х„...,х„— координаты вектора х в новом базисе. Коэффициенты а, могут быть и положительными и отрицательными; некоторые из ник могут быть равными НУЛЮ. СДЕЛаВ ЕЩЕ ОДНУ ПОДСтаНОВКУ )г (ан) Х, = гп ЕСЛИ ос~О и х;=г;, если а,=О, приведем квадратичную форму А(х, х) к виду А (х, х) = ~ г, + г, ~ ... ~ гю, где коэффициент перед каждым неизвестным гь ге,... ..., г равен + 1, или — 1, или, после изменения нумерации базисных векторов,— к виду А(х, х) = г, +г,+ ...
+г, — г,+, — ... — гр+2. 2 2 2 2 2 П р н м е р. Квадратичную форму хг+ 2хгхв+ Зхг+ 4хсхн+ -)- бх,се+ Зхг привести к сумме нвпдрагпе. Р е ш е н н е. А (х, х) = (х, + хв + 2хл)2 + 222 + 2х,х, — хе = = (х, + хе+ 2хн)' — (хв — хв)2 + Зхг = гг )- ге — гг. где г, = х, + х, + 22,, г, = )ссйлг, гн = х, — х,. т Л.
И. Головннв 194 вилннаиные н квлдрктнчныа формы ~гл гл 3 3. Закон инерции квадратичных форм Приводя квадратичную форму А(х, х) к сумме квадратов разными способами, мы будем получать в формуле (2), вообще говоря, разные коэффициенты. Однако имеет место следующее важное обстоятельство: Т е о р е м а 2 (закон инерции квадратичных форм). Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же. Д о к а з а т е л ь с т в о (от противного).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
