Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Коэффициенты Хь Хе — это собственные значения матрицы (4); их можно найти из уравнения (7) Они вещественны, так как матрица (4) симметрическая (теорема 4 главы Ч). Произведение Х1Хх собственных значений равно свободному члену гр(0) квадратного уравнения (7), т. е. равно определителю 6 — ~~ы ~и~ Рассмотрим теперь отдельно два случая: 6 ~ 0 и 6=0. $. 6 = ) Ае чь О. Преобразуем уравнение (6) следуюгцим образом; х +~~ +)з у'+ — ' +с=О, ЬЛ ь'" гдес = Ь вЂ” — ' — — ~.
Сделаем подстановку Х Эта подстановка отвечает переносу начала координат ь, ь,~ в точку — З 2, /при сохранении направлений осей. 1 й Уравнение (6) приведется тогда к виду Х,х"' + ).,р"' + с = О. (8) Предположим сначала, что ).Ае ) 0 (т. е. что 6 ) 0). В эгон случае геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (8), представляет собой э алине (рис. !5,а), если знак с противоположен знаку Х~, оно сводится к одной точке, если с = О, и совсем 208 КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1ГЛ. Чп не содержит точек, если знак с совпадает со знаком Л|*).
Пусть теперь Л|Лт < 0 (т. е. 6 < 0); тогда (8) будет уравнением гиперболы, если сФ 0 (рис. 15,б), и пары пересекаю|цихся прямых, если с = О. l г / Рис. 15. В случае 1 линия представляет собой центральную кривую второго порядка (легко видеть, что для содержащей хотя бы одну точку кривой (8) начало координат является ц е н т р о м с и м м е т р и и). П. 6 = Л|Лз = О, и пусть, например, Лз Ф О. Уравнение (1) приводится к виду ЛзУ'Я + 2Ь,х'+ 2ЬзУ'+ Ь = О. (9) Если Ь| Ф 0 то, выделив полный квадрат, будем иметь |.(г 4- —,' ) «|ь, (Ф.~ —,', — ~) — О.
После переноса начала координат ь ь' х" = х'+ — — —, у' = у +— ь, 2Ь 2Л Ь|' Ля уравнение (9) принимает вид Лзу"Я + 2Ьгх" = О. (10) ') Вместо «точки», определяемой уравнением Л,х«я + Л,у"' = О, 1 « говорвт также о паре «мнимых прямых> у"= + |1/ — 'х",пересекаю— Л, шихся в вещественной (т. е обыкновенной, реально существующей) точке.
«Пустое множество точек» Л,х"'+ Азу' '+ с = О, где Ль Ля с— одного знака, называют также «мнимым эллипсом>. за ИНВАРИАНТЫ КРИВОИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 209 Это — каноническое уравнение параболы (рис. 16). В случае, когда коэффициент Ьг = О, уравнение (9) приводится к виду д у Л, у'+У~ +Ь вЂ” —,' =О, н после подстановки х" = х', у" = у' + — ' Ля принимает следующий вид: Лху"'+ с = О, (11) ь,' гдес= Ь вЂ” —. Лх Это — пара параллельных прямых, если сЛ, ( О, пара совпадающих прямых, если с = О, и «пустое множество точека (ие содержащее ни одной точки) при сЛх ~ О*).
Таким образом, утверждение, сформулированное в начале параграфа, доказано. Рис. !О 6 = ~~хх ') Урааненне Лху"'+ с О, гпе Ххс ) О, опрелеляет, хах иногла г с говорят, спару мнимых параллельных прнмыхгму" = Х г 1гг Л,. $ 2. Инварианты кривой второго порядка Слово нвариантный значит неизменный. Инвариантам и кривой называются такие выражения, составленные из коэффициентов ее уравнения, которые не меняются при переходе от одной прямоугольной декартовой системы координат к другой такой же системе, т.
е. при поворотах осей координат и при параллельных переносах осей. Теорема 1. Для кривой второго порядка (1) сумма коэффициентов при квадратах координат з = оп+ ахх, определитель, составленный из коэффициентов при старихих членах: 21О кРиВые и пОВеРхнОсти ВТОРОГО пОРЯВХА !Гл. чп и определитель третьего порядка а а1 а Д= ь ь ь а а а являются инвариантал1 и.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим отдельно перенос начала координат и поворот координатных осей. Предположим прежде, что начало координат (при сохраненли направлений осей) переносится в точку с координатами (а, б). Тогда х=х'+а, У=У +Р где х' и у' — новые координаты.
Подставляя эти значения х и у в уравнение (1), получим ац(х'+ а)'+2ам(х'+ а) (у'+ б) + ам(у'+ й)1+ + 2а1(х'+ а) + 2аз(у'+ р) -(- а = О, нли ацх + 2а12Х у + аму + +2(аца+ а11р+ а,)х'+ 2(а„сь+ а„б+ аг)у'+ + (аца'+ 2а1зар+ аязбт+ 2а,а+ 2агр + а) = О. (12) Мы видим, что группа старших членов вообще ие из- менилась, отсюда инвариантность з и б очевидна. (Заме- тим, кстати, что коэффициент при х' равен 2(аца+ + а1тр+ а1) = 1' (а, р) — частной производной от левой части уравнения (!) по х, взятой при х= а, у = б; ко- эффициент при у' равен 1, (а, р), а свободный член ра- вен 1(а, б), так что окончательно преобразованное урав- нение принимает вид а„х" + 2а„х'у' + а,„у" + г".
(а, б) х' + +1, (а, Р) у'+1(а, б) = О Для уравнения (12) определигель Ь равен ьц 12 аца+ а„р+ а, 12 а а, а+а, р+ь, а а+а О+а а а+а р+а, а1а +2а ар+а р~+ ' + 2а а+ 2аьй+ ь Фи ИНВАРИАНТЫ КРИВОИ ВТОРОГО ПОРЯДКА 211 В ычитая из последней строки этого определителя первую, умноженную на сз, и вторую, умноженную на р, получим ап а а а+а,зр+а, а а па+а р+а а а аи +ар +а А проделав такие же операции над столбцами получен- ного опеределнтеля, найдем, что он равен ам а а а а а а т. е.
равен старому определителю Л. Таким образом, инвариантность Л при переносах начала координат тоже доказана. Далее, при повороте Осей координат на угол <р мы переходим от одного ортонормированного базиса к другому — такому же; следовательно, матрица квадратичной формы а~ ~х + 2амхр + аззу преобразуется так же, как матрица соответствующего линейного преобразования (см.
5 5 главы Ч1). Но для линейного преобразования с матрицей [а '] коэффициенты его характеристического уравнения ф (й) агз а — Х1 = )зз — (ап+ а„) й+ а„а,з — а'„= )зз — ВХ+ б вообще не зависят от выбора базиса (теорема 6 $8 главы 1Н). Этим доказана инвариантность з и 6 при поворотах координатных осей. Аналогично, можно доказать и инвариантность определителя Л. В семом деле, если мы переалем н новому базису е, е, где е =созф ег+з1пф ез, ез — — — з!и ф е, + соз ф ез, 212 КРИВЫЕ И ПОВЕРХНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА !ГЛ.
Ун то координаты преобразуются по формулам к = сов ф ° к' — з1пф ° у', (13) у з!и ф ° к'+ сов ф у'. В трехмерном евнлндовом пространстве )1з в ортонормнрованном базисе ег, ез, е, рассмотрим квадратичную форму от трех переменнык: г(х, у, г) = апх'+ 2амку+ аму'+ 2а кг+ 2а ух+ аг', которая нрн г = 1 превращается в )(к, у). Прн переходе к новому базису с матрнцей перекода с сов гр — ып ф 01 з!пф созф О О О 1 координаты в )1з преобразуются по формулам к = созф к — з1пф у, у= в!пф х'+созф у', г = г'. (14) Если )(к, у) прн полстановке (13) переходит в Ьнк" + 2Ьмк'у'+ Ьгзу" + 2Ь!к'+ 2Ьгу'+ а свободный член прн этом, очевидно, не меняется), то ясно, что (х, у, г) прн подстановке (14) перейдет в Ьпх'з+ 2Ь~зх'у'+ Ьму" + 2Ь|Кг'+ 2Ь,у'г'+ аг"'.
Но пря переходе к новому (ортонормнрованному!) базису определи- тель матрицы квадратичной формы не меняется, следовательно, для формы Е(х, у, г) имеет место равенство Ьы Ь„ Ь, 1 1 аг, а, а, Ь,з Ь,з Ьз = а,з а,з аз . Ь, Ь а а, аэ а ГГО значению 6 можно судить о типе кривой: если 6)0, перед нами кривая эллиптического типа (эллипс, точка или «пустое множество» вЂ” «мнимый эллипс»), если 6(0 — кривая гиперболического т ни а (гипербола или пара пересекающихся вещественных прямых), если 6 = 0 — кривая и араболическо- Левая часть его есть определитель а лля Г(к, у) в новом базясее,, е а правая часть — в старом.
Следовательно, я прн поворотах коордн- натных осей этот определитель также не меняется. Теорема полно- стью доказана. гн инв»шииты кгивои втогого поеядк» тгз го типа (парабола или пара параллельных прямых, возможно, совпадающих или даже не существующих— «мнимых»). Установленная в теореме 1 инвариантность выражений з, 6 и Ь облегчает приведение уравнения кривой к каноническому виду. Так, например, в случае центральной кривой, т. е. при 6 Ф О, уравнение кривой, как мы видели, приводится к виду Лгхг + Л»У' + с = О, где Ль Лг — собственные значения линейного оператора (а а с матрицей ~~гг гг~.
Но для последнего уравнения и ггг о о) А=~о ъ, о~ = Л,Л,с, о о 1 а откуда ЛгЛгс = Ь, илн 6с = б, и с = 6 . Таким образом, «каноническое», т. е уже упрощенное, уравнение цент- ральной кривой второго порядка, будет иметь вид Л,х'+ Л,у'+ — = О, а Если 6)0 н ЛФО, то наша кривая — э л л и п с илн «м н и м ы й э л л и п с» Эна будет эллипсом (вещественным), если Л, и— а Ь разных знаков, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
