Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 35
Текст из файла (страница 35)
е. т а к ж е, как базисные векторы, в случае линейного функционала, и с матрицей С ', о б р а т н о й матрице С,— в случае вектора. Коэффициенты линейной формы (так же, как координаты вектора) представляют собой пример тензора, если назвать тензором заданную в каждом базисе систему чисел, линейно преобразующихся при переходе от одного базиса к другому. Точное определение этого понятия будет дано ниже; пока же мы только еще добавим, что оба рассмотренных теизора являются о д и о в а л е н тн ы м и, так как определяются системами чисел аь ам ..., а„или х', хэ, ..., х", зависящими от одного индекса.
Коэффициенты линейной формы при переходе к новому базису, преобразующиеся так же, как базисные векторы, образуют тензор ковариантный, т. е. «сопреобразующийся» — преобразующийся одинаково с базисными векторами. Координаты вектора — пример конт р а в а р и а н т н о г О, т. е. «противопреобразующегося» тензора. Рассмотрим еще три примера. 3, Билинейный функционал. Пусть в и-мерном векторном пространстве [т задан билинейный функционал А(х, у) (5 [ главы ч)). Тогда, если х = хе, и у = у'е„— произвольные векторы из )г, то А(х, у) = А (х'еь у'е,) = х'у"А(еь е,) = а„х'у', где аи —— А(еь е„): в заданном базисе е[, ем ..., е„билинейный функционал А(х, у) представляется билинейной формой а„ху" (по [ и по к суммирование!) от координат векторов х и у с коэффициентами а,„(ср. стр.
188) Перейдем к новому базису е„е„..., е с матрицей перехода (3). Тогда, если х = х' е[ и у = у' е[и А (х, у) = А (х"е[, у"еь) = х"у"А (е[, е„) = а их"у", (6) ПРИМЕРЫ ТЕНЗОРОВ 229 где ас« = А (е;, е„) = А (с;'е;, сне„) = с;'с",А (е;, е„) = с,'еда!а (7) (ср. стр. 189). Таким образом, билинейный функционал А(х, у) в каждом базисе определяется системой из лз чисел а„, зависящих от двух индексов, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по закону (7), т.
е. по каждому из этих двух индексов так же, как базисные векторы. Это — пример тензора в а л е н т н ост и д в а (зависящего от двух индексов), ко в а р на н т н о г о по обоим индексам (дважды ковариантного). 4. Линейный оператор. Каждый линейный оператор Ф в и-мерном векторном пространстве Я в заданном базисе еь ем ..., е„представляется матрицей А = = (а»1 (здесь опять верхний индекс — номер строки, нижний — номер столбца).
При переходе к новому ба- Р зису е„е„..., е„с матрицей перехода С эта матрица А преобразуется в С-'АС (5 4 главы 1П). Вспомним, как выражаются элементы а»м матрицы С-'АС через элементы а~» матрицы А. В матрице АС элемент р-й строки и й-го столбца равен а,"с„'. В матрице С-'АС элемент Рй строки и й-го столбца — это Ь»а;с„т. е. з ! а' — ~Р' >!Р ь = Ь,а!с« =- с»ЬРа;. (8) Таким образом, линейный оператор .Ф в каждом базисе определяется системой из а' чисел ад, занумерованных двумя индексами, нижним и верхним, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по формуле (8) — по нижнему индексу, так же как базисные векторы, а по верхнему — с обратной матрицей, «контравариантно» базисным векторам.
Это — еще один пример тензора в а л е н т н о с т и д в а (зависящего от двух индексов), в этом случае один раз к о в а р и а н тного и один раз контравариантного (смешанный двухвалентный тензор). 5. Символ Кронекера. Рассмотрим смешанный двухвалентный тензор, координаты которого в некотором 1гл. юп Гонятие о тензогдх 230 фиксированном базисе гь еь ..., г„определяются ра- венствами ~1, если 1=1, б,'=( ' 10, если 1+1 (см. стр. 227).
В новом базисе г„г„..., г„имеем 6',~ = — с,"Ь,'б' = с,"Ь' = 61. Таким образом, координаты тензора 6,' одинаковы во всех системах координат. (Это можно объяснить тем, что в первоначальном базисе гь ем ..., е„ элементы 6;' составляют единичную матрицу, и значит, соответствующий тензор определяет тождественное преобразование, матрица которого — одна и та же во всех базисах).
й 2. Определение и простейшие свойства тензоров Пусть в и-мерном векторном пространстве )г в каждом базисе задана система из и"+' чисел а'„"„'"'ч (за нумерованных р нижними и а верхними индексами, которые независимо друг от друга пробегают значения 1, 2, ..., и); предположим, что при переходе к новому базису с матрицей перехода (3) эти числа преобразуются по закону а'чп'"Ч = сднс~~, Сгбд,бдн ° . Ь'ч а".'".'""ч. (9) д — — д,д, д д,д, Тогда мы говорим, что имеем (р+ ц)-валгнтный тгнзор, р раэ ковариантный и д раз контравариа н т н ы й. Числа а,",'"'„ч называются координатами 1~Я- э тензора. Скаляр, т.
е. величину, во всех системах координат имеющую одно и то же значение, можно рассматривать как тензор н у л е в о й валентности. Ясно, что если координаты двух гензороводинакового строения (т. е. таких, у которых одинаковы числа кои контравариантных индексов) совпадают в одном ка. ком-нибудь базисе, го они совпадают и во всех остальных (н значит, эти тензоры равны), так как при пере- ь 21 Определение и простейшие свонства тензОРОЕ 231 а при переходе от базиса еь еь ..., е„ к базису е, е, ..., е„— (1! ) Из равенства (1О) получаем Ьте.
= Ь„'сме = бме (12) а из равенства (11)— Ь» е» вЂ”вЂ” Ь»„с»е = б е =е »-а а (13) [са], а матРица [Ьа]— следует, что Здесь матрице [Ь ] — обратная к матрице обратная к [ с~]. Из равенств (11) и (12) -а Е =С ЕА=САЬ!Е,'=Е!Е,'ч ГДЕ » — с — а!— а! — саь! »= »а а нз равенств (!О) и (!3) — что е =с е =с Ь е =7.е», т 1и ! ! е1 ! м ! где 1, =с~Ь» .
Таким образом, матрипеа перехода от базиса е, е, ...,е„ к базису е, е, ..., е„ будет матрица [г»] = [ са»ьа!], ходе к новому базису координаты обоих тензоров преобразуются одинаково. Поэтому для того, чтобы задать тензор данного строения, достаточно задать его координаты в какой-нибудь одной системе координат. А это можно сделать без каких-либо ограничений: в качестве координат тензора в данном базисе можно выбрать сапер»ивино произвольные числа. Действительно, пусть в базисе еь ем ..., е„ произвольно заданы и"+е чисел »,». .»е Тогда координаты соответствующего тензора в любом другом базисе найдутся по формуле ( 9), н нам остается только проверить, что при переходе от любого базисае„е„..., г„к любому другому базису е„е,....,е„координаты полученного тензора тоже преобразуются по формуле (9).
Покажем зто иа примере трехвалентного теизора а„. Пусть н прн переходе от базиса еь е,, ..., е„к базису е, е, ..., е„имеем е =с"'е (! О) ! т м' поннтие о тензордх [ГЛ. ЧП1 232 а сбратный к ней — матрица (г')] = (с'" Ь ! 1. Мы имеем (14) ал — — сллЬ„,Ь(ол . Из равенства (14) получаем Ь"с с'а = Ь"с с'с"ЬРЬдс"! = л! д = лрдг.г»= = (Ь" с") (ср бр) (с'Ьд) с'„' = бл»б~б!см = ам!. Подставляя это значение а~~ в равенство (!б), будем иметь «и ал — — сл ь ' ьггьлс"'с~~опт — — ( слльл) (ь ~ см) (ьг!с!) а„' = ел)р!(а„' т.
е. формулы преобразования кооРдинат теизора при переходе от базиса е, е, ..., е„ к базису с , е, ..., е„ имегот в точности такое строение, каное требуется. В обо!ем случае доказательство аналогично. Из сказанного вытекает, что если, например, х'— произвольный одновалентный контравариантный тензор, то его можно рассматривать как совокупность координат некоторого вектора. Действительно, если в одном каком-нибудь базисе еь ез, ..., е„взять вектор с координатами х', х', ..., х", то и во всех остальных базисах координаты этого вектора и заданного тензора совпадут. Точно так же каждый дважды ковариантиый тензор ан можно рассматривать, как совокупность коэффициентов некоторой билинейной формы, а каждый смешанный двухвалентный тензор а; — как совокупность элементов матрицы некоторого линейного оператора, и т.
д. Тензор, координаты которого не меняют своего значения лри транслозиции любых двух индексов из данного множества индексов г, 1, ..., т (причем все эти ин. дексы — только верхние или только нижние), называется с и м м е т р и ч е с к и м я о этим индексам. Примером симметрического тензора может служить совокупность коэффициентов симметрической билинейной формы, тзз % з1 оперкции нхд тензоркми Свойство тензора быть симметрическим не зависит от выбора базиса Рассмотрим, например, трехвалентный тензор а,'ь и пусть в базисе еь еь ..., е.
з з ал =- ан. Тогда в базисе е„ е„ ..., е гьвгьт гч а . = с~его„а,г н аз = с;с;б„аи. и гч Заменяя во втором равенстве а,"г на ан, найдем, что гч г ггА г аз = сгс<Ь„аг,. г Но сумма не зависит от обозначения индекса, по которому производится суммирование; поэтому, заменяя з на 1, а Г на з, получим гч гггьг А ам = с;сгр„агг =- ам. Кососимметрическии по данным индексам С /, ..., гп (только верхним или толька нижним) называется тензор, координаты которогоа"'лч изменяют ьгьг...ьр знак при любой транспозиции индексов из выделенной группы (не меняясь при этом по абсолютной величине). Свойство тензора быть кососимметрическим по данной группе индексов тоже не зависит от выбора базиса. Примером кососимметрического тензора может служить кососимметрическая билинейная форма. $ 3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
