Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Усть [у~] — матрица, о б р а т н а я матрице [д„] в каком-то фиксированном базисе еь еь ..., е„. Тогда у'лул; — — 6,' при всех 1, 1 = 1, 2, ..., и. Построим дваж- ды контравариантный тензор, координаты которого в базисе еь ез, ..., е„равны д'"; тогда координаты этого теизора во всех остальных базисах определятся по фор- У муле (9). В каждом новом базисе е„е,,..., е„, ввиду тен- зорного характера операций умножения и свертывания, будем иметь нл ~ ь 1 д у„=6,'.
=6;, и значит, координаты тензора уи во всех системах ко- ординат образуют матрицу, обратную матрице [д,л]. Тензор а" называется контравариантным метрическим тензором. Переход от контравариантных координат вектора к ковариантным его координатам по формуле (16) можно назвать опусканием индекса.
Чтобы поднять индекс, т. е. перейти от коварнантных координат вектора к его конт- равариантным координатам, умиожим обе части равен- ства (16) на де (и, конечно, просуммируем по (); мы полУчим У"х~ = Я~ Я~лх = блхл = х~. Операцию опускания или поднятия индекса в евкли- довом пространстве (эта операция носит выразительное название жонглирования индексами) можно применить к тензору любого строения.
Пусть дан, например, трех- валентный тензор ал, один раз ковариантный и два раза и контравариантный. Свертка его с метрическим тензором У~лил~ = 61л (17) будет дважды ковариантным и один раз контравариантным тензором. Свертка ул;К =с;гл (18) — трижды ковариантным, а наоборот, свертка у~лап = д"" (19) — трижды контраварнантным тензором. Если оба 1гл. юп понятие о тензовхх 240 Ф Р Р базиса еь ем ..., е„и е„е„...,е,— ортонормированные, то 11, если 1= й, 10, если 1~ й, и равенства (!7) — (19) последовательно дают а~ь' — — Ь~м, Ь';„= с;м, а„" = а"'.
Таким образом, а,' = Ьгь=см=д"', и г ьм В этом случае ко- и контравариантные индексы при пе- реходе к новому базису ведут себя одинаково, и закон преобразования тензора определяется исключительно его еаленгностью Последнее можно объяснить еще и следующим обра- зом. Если оба базиса еь е,, ..., е„и е„е„..., е~ орто- нормированные, то матрица перехода С от первого ба- зиса ко второму ортогональна, т е. С-' = С'. Но тогда ь Ьь=сг — и в формуле (9) для преобразования, например, тензора ахи: а„'"=сьЬчКач", можно заменить одно или оба Ь на с, или, наоборот, с заменить на Ь.
Так, заменяя Ь,' на си получим н а = л~и сьс~б„ае. ~И~Р44Ф' 4-1 Здесь пришлось использовать знак суммы ~я~~, так 44т как индекс о, по которому происходит суммирование, оба Раза стоит навеРхУ. ПолагаЯ ае~" = ачр, полУчим длЯ аггь закон преобразования в виде ьч~ ~ чем а',.„= сьс;Ь„ачь — с;сь Ь,арч, т. е. тензор а(ь является дважды ковариантным и один раз контравариантным. Но его координаты в обоих ба- зисах равны соответствующим координатам тензора аь и один раз ковариантного и дважды контравариантного. Так, выше (5 5 главы Ч1) мы уже видели, что при переходе от одного ортонормированного базиса к дру- гому, тоже ортонормированному, матрица билинейной формы (дважды ковариантный тензор) и матрица ли- нейного преобразования (один раз ковариантный и один раз контравариантный тензор) преобразуются одинакова ГЛАВА 1Х основные понятия специдльнои теории ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ Содержание настоящей главы — это всего лишь некоторая интерпретация физических законов.
Ясно, что сами эти законы нельзя в ы в е с т и из линейной алгебры. Впрочем, переход от чисто алгебраических рассмотрений (в первых параграфах главы) к физическим эффектам будет довольно плавным. $1. Двумерные пространства со скалярным произведением Пусть Р— вещественное векторное пространство, в котором определено скалярное произведение, т. е.
каждой паре векторов х, у. из )г поставлено в соответствие (вещественное) число (х, у), так что: 1) (х, у) = (у, х), 2) (ах, у) = а(х, у), 3) (х+у, г)=(х, г)+(у, г) при всех х, у, г из 1Г и всех вещественных а. Заметьте, что мы н е т р е б у е м выполнения условия 4 (стр. 145). Длиной, или модулем, вектора называется корень квадратный из его скалярного квадрата, При этом, вообще говоря, ненулевой вектор может иметь нулевую и даже мнимую длину. (Если (х, х)= — а'(О, то, по определению, (х( = а(, где а ~ О, а 1 = у — 1.) Если в пространстве )т выбран базис, то скалярное произведение представляется симметрической билинейной формой (х,у) = ~~~ я;»х;у» с»=1 зт координат векторов х и у.
Соответствующая квадрагичная форма в некотором (вообще говоря, другом) а4я специальная творня относитальности пл. ~х базисе приводится к «сумме квадратов» р 2 2 2 г (», х) = х, + х, +... + хр — хр.~., — ... — «р, р (5 2 главы Ч1).
При этом число р положительных и число д отрицательных квадратов являются инвариантами пространства 1с (закон инерции квадратичных форм, $3 главы Ч1) и определяют его тип. Так, для двумерного пространства (плоскости) возможны такие значения р и йч 1) р=2, д=О; 1') р=О, у=2; 2) р =1,у=О; 2') р=О, у=1; 3) р=1, у=1.
В случае 1) в некотором (ортонормированном) базисе скалярный квадрат произвольного вектора х = х,е, + +хааа равенх', + х',, и это пространство евклидово. В случае 1') (х, х) = — х, '— х',, и пространство несущественно отличается от евклидова. В случае 2) (или 2'), что почти то же самое) квадратичная форма (х, х) содержит только один квадрат, и в некотором базисе (х, х) = х1 (соответственно — х',).
Такая плоскость называется полуееклидовой. Наконец, в случае 3) квадратичная форма (х, х) в некотором базисе приводится к разности квадратов х', — х',; такая плоскость называется пссвдоевклидовой. 5 2. Полуевклидова плоскость Пусть Л вЂ двумерн векторное пространство с полуевклидовой метрикой и еь еа — такой его базис, в котором скалярный квадрат (х, х) произвольного вектора х = х,е1 + хре, равен х',. Тогда, в частности, (еь е,) = О, (ем ез) = 1 и (е1+ем е, + ез) = 1 = (еь е1) + 2(е, ез) + (ем ер) = = 2(еь ез)+1, откуда (еь ез) = 0 полгнвклидовг плоскость 243 (вектор ег — нулевой длины, вектор ег — единичный, е, и ег ортогональны). Такой базис условимся называть каноническим. Пусть х= х~е1+хге, и у = у,е1 +угег — произвольные векторы из Я; тогда их скалярное произведение (х, у) равно х1У1 (еь е1)+(хгуг+ хгу~) (еь ег)+ хгуг(ег, ег) = хгум а модуль вектора х равен ?х ? = У' х,' = ?хг ~.
Р У Предположим, что е,, е, — другой, т о ж е к а н он и ч е с к и й базис в пространстве Я и 11 гг — матрица перехода от первого базиса ко второму, т. е. что Р е,=а„е,+а„е, и е,=а„е,+а„е,. Тогда (е„е,) = а'„= (е„ег) = О, откуда аг1 = О и (, )— Р У~ е„е,) = а„= (е„е,) = 1, т. е. ам = ~ 1. Таким образом, матрица перехода от одного канонического базиса к другому имеет вид [а а (1? Зафиксируем теперь какой-то канонический базис еь ег и угол между векторами х = х~е~ + х,е, и у = у1е1 + + угег, по определению, положим равным (2) Так определенный угол, вообще говоря, не инвариантен относительно перехода к новому (даже каноническому) базису.
Посмотрим, какие еще ограничения надо наложить на матрицу перехода для того, чтобы 244 специальная таогия относительности 1гл. гх угол (2) не зависел от системы (канонических) координат. При переходе к новому (каноническому) базису с матрицей перехода (1) координаты векторов. х и у соответственно преобразуются в У х', = а„х, ~- а„х„х, = ~ х, и Ф Р У1 = амУ1+ амум Уа = ~ Ух причем знаки ух, и у, одинаковы. Тогда угол между векторами х и у в новом базисе в силу определения (2) должен быть равен ! Р 1 Ух х1~ (а У +амУ а„х, +а «а(,,(У х ( он будет иметь прежнее значение в том и только в том случае, если ац — — + 1. Поэтому, зафиксировав один какой-то канонический базис, мы дальше будем допу- 'Р екать только такие базисы е„е„матроны перехода к которым от базиса еь еа имеют вид [+1 а (3) (мы пОлОжили ам = о).
Легко видеть, что если матрица перехода от базиса У еь ех к базису е,', е„имеет вид (3) и матрица перекоа да от базиса е„е, к базису е„е, — тоже вида (3), то и матрица перехода от базиса еь ет к базису е„е, будет такого же вида. Обозначим через Аа матрицу Ао= [1 Тогда, очевидно, Аа=[ о 1]=~ [ о 1] А'=[о — 1]=[о 1]Аа, А =[-' "]=[' 0]А [-1 О] Рассмотрим теперь двумерное точечно-векторное пространство, в котором расстояние между точками Х(хь ха) н у(уь уа) считается равным модулю век- ПОЛУЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ 246 тора Х1' = (у2 — хь у, — хз) в полуевклндовой метрике, т.
е. равным (У2 х2(. Если представить точки полуевклндовой плоскости точками обычной (евклндовой) плоскости с теми же коордннатамн, то (уз †( — это евклидова длина проекции вектора на ось ординат. (В частности, длина любого отрезка, параллельного еь будет равна нулю.) Две точки, расстояние между которыми равно нулю, назовем параллельными, подобно тому как в евклидовой геометрия параллельными называются прямые, угол между которыми равен нулю; тогда параллельные точки — это точки, принадлежащие одной прямой, параллельной вектору еь Рис. 17. Окружность радиуса т с центром в данной точке М(аь а2), т.
е. совокупность всех точек, отстоящих от точки М на одно н то же полуевклидово расстояние т,— это пара прямых, параллельных осн абсцисс н отстоящих от данной точки М на (евклндово) расстояние г (рис. 17, п). Центром такой окружности будет также любая точка прямой, проходящей через М н параллельной тем же прямым. Уравнение окружности радиуса т с центром в точке М (аь а2) имеет внд (х2 — а2) В частности, уравнение «единичной окружности» (окружности радиуса единица) с центром в начале координат имеет вид х» — — 1, 246 СПЕИИАЛЪНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
