Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Пусть е прниоугол ной декартовой системе координат в пространстве задано уравнение )(к, у, г) = опх'+ 2пнху+ пыу'+ 2аззкг+ 2пмуг+ аззгз-1-2азк+ + 2азу+ 2азг+ и = О. (17) Рассмотрим квадратичную форму от трех переменных: апк'+ 2опху+ аму'+ 2аззхг+ 2аззуг+ аззг'. В некотором, тоже ортонормированном базисе она приводнтси к сумме квадратов: Хзк'з + Хзу" + йзг". 222 кривыв и повврхности второго порядка (гл. оы При этом уравнение (17) приводится н виду Л,х" + Лзу" + Лзг" + 2Ь,х' + 2Ь»Р' + 2Ь,г + Ь = О Здесь возможны три случая: 1.
Все Лз отличны от нуля. П. Одно из Лз равно нулю. П1. Два из Лз равны нулю. Рассмотрим каждый из этих случаев отдельно. !. ЛзЛ»Л» чь О. Точна таким же образом, кан и в случае кривой второго порядка, можно избавиться от членов первой степени: Л (х' + — ~) + Л, (у' + ~ ~ ) + Л, (г' + ) ' ) + с = О. Сделав подстановку ьт х"=х'+ ) з ь, г" = г'+ —, ),» ь Р =Р + Л т. е. выполнив кекоторый параллельный перенос осей координат, мы получим уравнение Л,х»' + Лзу«' + Л,г"' + с = О. Здесь возможны случаи Ьз = О н Ьз Ф О.
При Ьз = О уравнение (!8) имеет вид )ззхиз+ Лзу»з+ Ь = О. Это — уравнение цилиндрической поееэхности, вид которой определяется ее направляюшей Л,х»' + Лзу» + Ь = О в плоскости х' 0'у" (эллиптический цилиндр, гипербоЛический цилиндр, пара лересекпющихся плоскостей, одна прлмащ или гира «мнимьзх плоскостей», пересекаюшихся по вещественной прямой, «пустое множество» точек, или «мнимый эллиптический цилиндр»), При Ь, Ф О уравнение (18) приводится к виду Лзх»'+ Лзу«з+ 2Ь»гч = О. Это — уравнение центральной поеерхчосги второго порядка (новое начало координат является ее центром).
Будем считаю» что с < О (в противном случае умножпм уравне. нне на — 1). При с < О возможны следуюшне случаи: 1. Л~ ) О, Лз ) О, Лз > Π— эллипсоид. 2 Лз > О, Лз ) О, Лз < Π— однополосгимй гиперболоид. 3. Л, > О, Лз < О, Л, < Π— деупозостный гиперболоид. 4. Л, < О, Лз < О, Лз < Π— пустое множество» точек (его называют также «мнимым эллипсоидом»). Если с = О и все Лг одного знака, получается гочка («мнимый конус»); прк с = О и Лз разных знаков — конус. П.
Один из ноэффициентов Лг равен нулю; пусть, например, Л, = О. Тогдз соответствующим переносом начала координат уравне. ние поверхности можно привести к виду Лзх"з+ Лзр»'+ 2Ь,г" + Ь = О, Ьз1 исслидовлиин зилвнимия поввпхности 223 Если ЛзЛз ) О, это — эллиптический параболоид, при ЛзЛт ( О— гилерболаческий параболоид. 1П.
Среди чисел Лз два равны нулю, пусть, например, Лз = О и Л, = О. Уравнение (17) прииодится и виду Лзх'з + 2Ьзу' + 2Ьзе' + Ь О. (19) Если Ьз О и Ьз = Π— это лара параллельных плоскостей, различных при Л~Ь ( О, совпадающих при Ь = О и змнимыхз при ЛЬ)О. Наконец, если хотя бы одни нз коэффициентов Ь„Ь, уравнения (19) отличен от нуля, положим Ьзу" + Ь,т" Ь,у" — Ь, " 1/Ь, '+ Ь', 1/Ь', + Ь', ' 1 О О Ь ~/Ь,з+ Ь', (/ Ь, '+ Ь,' О Ьз 1/ Ь',+Ь', 1/уз+ Ь,' При этом уравнение (19) преобразуется в Л,х'з + 2 ф/Ьз + ЬзУч + Ь = О, а это последнее уравнение, так как '~ Ь + Ьз Ф О, посредством з/ з з переноса начала координат преобразуется в Лтх"'з + 2'~/ Ьз + ЬзУ™ = О.
Это в параболический цилиндр. Заметим без доказательства, что, иак и в случае кривой второго порядка, при преобразовании уравнения поверхности второго по. рядка можно использовать и н в а р и а н т ы. Здесь это булут з, =-а и + аз, + аза ( а„азз азз азз озз азз (с точностью до знаков — это коэффициенты характеристического что, как легко видеть, отвечает перехолу к новому (тоже ортонорми- рованному) базису с матрицей перехода с24 крмвын м поннрхноптм второго поояз«кд [гд.
чп Газз атз атз ~зЗ многочлена матрицы а„азз а,з и определитель азз а з азз Уравнение центральной поверхности приводится к виду Ь Лаза+ зззУ~+ йз2з+ д = О. Определитель Ь обраитается в нуль в том и только в том случае, если поверхность является конической или цилиндрической (в част. ности, распадается на пару плоскостей — различных, совпадающнх нлн «мннмыхь). аи а,з а,з а, а„аы аз« азз азз азз аз аз аз аз аз а ГЛАВА ЧШ понятии О тензОРАх В этой главе пространство )х предполагается в е щ ествен ны м. $1. Примеры тензоров Прежде чем дать общее определение тензора, рассмотрим несколько примеров. 1.
Линейный функционал. Пусть !(х) — линейный функционал ($1 главы Ч) в и-мерном векторном пространстве 21. Выберем в Й базис е1, е2, ..., е„и пусть х = х'е1 + х'ез + ... + х"е„ вЂ” произвольный вектор из !22. (Номера координат мы условимся теперь писать с в е р х у; целесообразность этого будет видна из дальнейшего.~ Тогда !(х) = а,х' + азх' + ...
+ а„х", (1) где а1 =!(е1). Перейдем к новому базису е1, е2, ..., е„и пусть новые базисные векторы получаются из старых по формулам о 1 2 О 'Са е; = сае, + с1е, + ... + ссе„=,~ свез. (2) 2=1 В матрице перехода 1 1 1 с с ... с„ 2 2 2 с с ... с„ ,н н ,о 2 и мы условимся теперь обозначать номер строки — верх. ним индексом, а номер столбца — нижним. Пусть в 8 Л. И.
Гововнна 22б ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ [гл. чп! и новом базисе хии ~ х"е«, тогда «=1 и 1(х) = ~~'., а;х", «=! где у и А и и а'; = ~(е«) = ~~ ~ с«"ед) = Д с~«~(ед) = ,'Е ода . (4) А=1 Д=1 Д-1 Таким образом, линейный функционал )(х) в каждом базисе определяется строкой из и чисел а«, ад, ..., а„, причем при переходе к новому базису эти числа преобразуются по формулам (4), т. е. точно так же, как базисные векторь«(2)„ Примем теперь для сокрашения записей следующее соглашение (правило Эйнштейна): если в каком-нибудь выражении один и тот же индекс, скажем «, встречается дваждьь один раз наверху и один раз внизу, то имеется в виду, что по этому индексу производится суммироваи ние (в пределах ! = 1, 2, ..., и), а знак суммы ~ в этом «=1 случае опускается.
Так, например, по определению, и и и ~! Д А !««Д Л РЧ «Х! с«ед — — ~ с,ед, с«х = ~~ с;х, б! а,=,с~ (««а„, и т.п. Д=1 «=1 «=1 В этих обозначениях равенство (2) можно переписать так: е« = сдед, равенство (1) — так: 1(х) = а,х', а равенство (4) — так: а« = с«ад.
Аналогично, если в одном и том же выражении имеются по две или более пар одинаковых индексов (каждый из которых стоит один раз наверху и один раз внизу), то мы также всегда будем считать, что по этим индексам производится суммирование, причем все эти ин. $ |! 227 пгимегы тензоРОВ друга пробегают значения дексы независимо друг от 1, 2, ..., и. Так, например, и ат" Мр = 2~ ат" И™р, цт=» |У» с~ О» а||и —— ~~ а|г;, ит.
п. ьт=| 2, Вектор. В заданном базисе е|, ет, ..., е„каждый вектор х представляется строкой из п чисел (х', хт, ..., х") — его координат. В новом базисе е|, е„..., е„тот же вектор представляется другой строкой (х", х', ..., х'"!, причем если (3) — матрица перехода от первого базиса ко второму, то, как было показано в 5 6 главы П, х' = с,'х". (б) равносильно тому, что ~1, если |=/, 10, если Положим ~1, если | =-/, б,' = 10, если 1~/ (так называемый символ Кронекера).
Тогда <» |» с»Ь! = Ь„с; = 6>. Умножив обе части равенства (5) на Ь» (и, естественно. суммируя по й), мы получим (так как 6'; = 0 при 1Ф/ и 6,' =!), или р| х = Ь„х . Таким образом, новые координаты хп вектора х получаются из старья его координат х' с помощью матрицы С ', обратной матрице перехода С, причем в Это — выражение старых координат через новые.
Выразим отсюда новые координаты хп через старые х'. Пусть С ' =[Ь~»1 — матрица, обратная матрице перехода С. Тогда равенство СС-'= С-'С= Е 22В ПОНЯТИЕ О ТЕНЗОРАХ [гл. Яш коэффициенты разложений хн по х' образуют строки матрицы С '. В двух рассмотренных примерах (линейный функционал, вектор) есть нечто общее, позволяющее заключить их в рамки общего определения. И линейный функционал, и вектор в каждом базисе определяются и числами, соответственно а[, а», ..., а„и х', хз, ..., х", причем при переходе к новому базису зти числа преобразуются линейно — с матрицей С, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
