Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 38
Текст из файла (страница 38)
~х Углом между прямыми называется угол между параллельными им векторами. Если х =(й, 1) и у =(т), 1) — два вектора единичной длины, то угол между ними равен !Х Ч=!,) ц; он измеряется той «дугой», которую зти векторы высекают на «единнчной окружности» (рис. 17, б). Заметим, что в полуевклидовой метрике смежные угльс равны между собой. Действительно, угол между (единичными) векторами (х, 1) и (у, 1) равен )у — х1; смежный угол— между векторами ( — х, — 1) и (у, 1) равен ~ — — —,~ = (у — х(. Приведем несколько примеров теорем «элементарной полуевклидовой геометрии». Будем называть т р е у г о л ь н и и о м фигуру, образованную тремя тачками, никакие две из которых не параллельны.
Теорема 1, Большая сторона треугольника равна сумме дауа других его сторон. Действительно, так как АВ = А'В', АС =- А'С', ВС = В'С' (рис. 18, а) и А'В' = А'С' + В'С', то АВ = АС + ВС, или с=а+Ь. Эту теорему можно считать аналогом теоремы косинусов в евклидовой геометрии. Теорема 2. Больший угал треугольника равен сумме двух других его углов. Для доказательства проведем прямую СЕ 11 ВА (см.
рис. 18, б). Тогда, очевидно, а.АСЕ = А, а ~ ЕСО = В. Но г'.АСЕ+ ~ ЕС0 аАС0 = С и, значит, С = А+В. Теорем а 3. Стороны треугольника лролорииональны противолежащим углам. Для доказательства проведем С011е, (см. рис. 18, в). Тогда С0 А = — (где С0 равно модулю разности абсцисс точек 0 и С— Ь С0 е в кл и до во й длине отрезка С0),В = —, значит, А ° Ь а ' В а, откуда А В а Ь ' (Эту теорему можно считать аналогом теоремы синусов евклидовой геометрии.) ПОЛУЕВКЛИДОВА ПЛОСКОСТЬ 247 Из трех последних теорем видна определенная «двойственность» теорем полуевклндовой плоскости, выражающаяся в равноправия сторон н углов треугольника.
Если в формулировках этих теорем заменить слово «сторона> словом «угол», н наоборот, то, нз теоремы 1 получится теорема 2, а нз теоремы 2 — теорема 1; онн двойственны друг другу. Теорема 3 двойственна сама себе, Рис. 18. Такой двойственности нет на обычной, евнлидовой плоскости, ва которой нмеютсн параллельные прямые (угол между которыми равен нулю), но нет «параллельных точек» (расстояние между которымн равно нулю). Эта «несправедливость» устранена в полуевклндовой геометрии, где, наряду с параллельными прямыми, имеются н «параллельные точки». 3 а д а ч н. Докажите, что в полуевклндовой плоскости 1.
Отрезок, соеднняюшнй середины боковых сторон (средняя линия) треугольника, параллелен основанию я равен его половине. 1'. Точка пересечения биссектрис двух углов треугольника параллельна противолежащей вершнне, причем угол между этими биссектрисами равен половнне третьего угла треугольника. 2. В равнобедренном треугольнике середина основання парал. лелька вершине. 2'. В равнобедренном треугольнике биссектриса угла прв вершнне параллельна основанию 3. Бкссентриса треугольника делит протнволежашую сторону нз части, пропорпяональные двум другнм сторонам.
3'. Медиана треугольника делит соогветствуюш~ й угол на частя, пропорцнональные дзум другим углам. 248 спениАльнАя теОРия Относительности [ГЛ. [Х 4. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2: 1, считая от вершины. 4' Биссектрисы треугольника пересекают противоположные стороны з трех точках, лежаших на одной прямой. Эта прямая делит каждый угол между стороной н биссектрисой прогиволежашего угла в отношении 2 1, считая от стороны.
(Легко видеть, что утверждения 1 н 1', 2 н 2', и т. д. двойствен. кы друг другу. Им можно дать н двойственные одно другому до. казательства.) 5. Сформулируйте свойства параллелограмма и докажите их. 5'. Дайте определение фигуры, двойственной параллелограмму («антипараллелограмм»). Сформулируйте и докажите ее свойства. 6.
Сформулируйте и докажите признаки равенства треугольников. 7. Данный угол циркулем и линейкой разделяте иа н равных частей. 8. Дайте определение центрального угла, вписанного угла. Покажите, что вписакный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу, и что угол с вершиной вне круга измеряется полуразностью, а угол с вершиной внутри круга — полусуммой дуг, заключенных между его сторонамн. Интересна еше одна фигура, родственная окружности евклидовой плоскости н называемая циклом.
Она определяется как геометрическое место точек, нз которых данный отрезок виден под данным углом (з евклидовой геометрии, как известно, это определение снова приводит к окружности). Можно поназать, что цикл полуевкля. дозой плоскости в евклидовой плоскости изображаетсн п а р а б оп о й, однако подробное обсуждение етих вопросов завело бы нас слишком далеко. Вместо этого мы отсылаем читателя к книге И.
М. Яглома «Принцип относительности Галилея и неевклидова геометрии>. Э 3. Псевдоевнлидова плоскость Пусть д. — двумерное векторное пространство с псевдоевклидовой метрикой и е[, ез — тот его базис, в котором скалярный квадрат произвольного вектора х = =х,е, + хэеэ Равен х', — хэ Тогда, в частности, (ен е,) = 1, (еэ, ез) = — 1 и (е[+ ез, ег + е,) = 1 — 1 = О = = (ен е,) + 2(ен еэ) + (ею еэ) = 2(е[, еэ), откуда (ен ех) = О (т. е. вектор е[ — единичный, вектор еэ — «мнимо-единичный», е, н еэ ортогональны). Такой базис будем на- псевдоевклндовА плОскость 249 4 гу зывать ортонормироеанным.
В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов х = х,е, + хгег и у = у,е1 + у,ег равно (х, у) = хгу1 (еь е,) + (х,уг + хгу1) (е1, ег) + + «гуг(еыег) = хгу1 — «2Уг, а модуль вектора х равен 2/ 2 2 )х(="~ х,— х,. Рассмотрим теперь двумерное точечно-векторное пространство, в котором расстояние между точками Х(х,, хг) и У(уь уг) считается равным модулю вектора ХУ = (у1 — хь уг — хг) в псевдоевклидовой метрике, т. е.
равным ')г'(уг — х,)' — (у, — «2)2. Окружность радиуса г с центром в точке М(а1, аг) — зто совокупность всех точек, удаленных на одно и то же (псевдоевклидово) расстояние г от точки М. Значит, уравнение окружности радиуса г с центром в точке М (221, аг) будет иметь вид (Х1 — 221) — (Х2 сгг) = г .
Таким образом, если точки псевдоевклидовой плоскости представить точками евклидовой плоскости с теми же координатами, то окружность представится г и п е р б олой, если ее радиус гФО, и парой пересекающ и х с я п р я м ы х при г = О (рис. 19). Радиус такой окружности может быть положительным, нулевым или даже «чисто мнимым». Так, уравнение окружности по. ложительного радиуса г=а с центром в начале координат будет иметь вид х,— х,=аг (гипербола с горизонтальной вещественной осью). Окружность м ни мого радиуса г = аг (с тем же центром) имеет уравнение хг — х' ,= аг 251 псевдОевклидОВА плОскость 4 3! (гипербола с вертикальной вещественной осью). Эти два семейства окружностей разделяются окружностью н улевого радиуса х', — х, '= 0 (пара прямых — обгцие асимптоты обоих семейств гипербол; см. рис. 20).
Если векторы х и у ортогональны, т. е. если их скалярное произведение равно нулю: (х, У) = хгУг — хзУз = 0 то к у, ка У, — угловые коэффициенты этих векторов, рассматриваемых в евклидовой метрике, взаимно обратны н, значит, векторы, ортогональные в псевдоевклидовой метрике, при изображении на евклидовой плоскости по направлению симметричны друг другу относительно биссектрисы 1 — 11! координатных углов (см. рис. 21, на котором ег~ ез, а, 1 а„ Ь,) Ьз)'.
Каждый вектор, у которого (х!( = 1Хз(, ОРтогонален самомУ ь, себе и имеет нулевую длину. Для Рнс. 21. векторов с вещественными длинами )х,( Р- 1хз), а дла вектоРов мнимых длин 1х,(< (1хз( (см. тот же Рис. 21, на котоРом вектоРы е„аь Ь! имеют вещественные длины, векторы е„аю Ьз — мнимые длины, а вектор с ортогонален самому себе и 1с(=0). 3 а д а ч и. Докажите, что в псевдоевклидовой плоскости 1. диагонали прямоугольника равны между собак. 2. Лиагонали ромба взаимно перпендикулярны.
3. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон. 4. Средняя линия треугольника параллельна основанию н равна его половине. 5. Медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся в ней в отношении 2:!. б. Середвнные перпенднкуляры к сторонам треугольника пересекаются в одной точке. 252 специАльнАя теОРия ОтиОсительности [ГЛ. 1Х 7. Высоты треугольника пересекаются в одной точке. В. В равнобедренном треугольнике медиана является н биссектрисой и высотой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
