Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Операция сложения в множестве комплексных чисел (а значит, и подавно, в множестве вещественных и в множестве рациональных чисел) коммутагивна и ассоциативна. Все зто — примеры «групп по сложению». $1! ПРИМЕРЫ ГРУПП. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ втз Рассмотрим теперь множество всех о т л и ч и ы х о т нуля вещественных чисел и «операцию умножения» в нем. Произведение любых двух таких чисел — снова отличное от нуля вещественное число; произведение любого числа а на (вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а, и для каждого (отличиого от нуля!) вещественного числа а имеется обратное ему (и тоже отличное от нуля) вещественное число а-', произведение которого на а равно 1. Аналогичными свойствами обладает и множество всех отличных от нуля рациональных чисел, множество всех положительных вещественных чисел или всех положительных рациональных чисел, а также множество всех отличных от нуля комплексных чисел илн множество комплексных чисел, по модулю равных 1, Каждое из них замкнуто относительно операции умножения„ все онн содержат единицу н у каждого из их элементов имеется обратный элемент, принадлежащий тому же множеству.
Умножение комплексных (а значит, и вещественных, и рациональных) чисел коммутатнвно (аЬ = Ьа для всех а и Ь) и ассоциативно ((аЬ)с = =а(Ьс) для всех а, Ь, с). Это — примеры «групп по умножению». Можно привести и более неожиданный пример: группу по множению образует, например, пара чисел, 1 и — 1. прочем, множество, состоящее из одного числа 1 (или О), тоже образует группу по умножению (соответственно по сложению). Комплексные числа 1, 1, — 1, — 1 также образуют, очевидно, группу по умножению. Складывать можно не только числа, но, например, векторы линейного пространства Я, причем это сложение подчиняется тем же законам, что и сложение чисел: оно коммутативно и ассоциативно, в )с имеется нулевой элемент 0 такой, что х+0 = х для любого хее)с, и для всякого вектора хв )с имеется противоположный ему вектор — х, такой, что х+ ( — х) = О.
Складывать можно матрицы одного и тога же строения (т. е. 1ГП Х п1-матрицы, где Гп и и — какие-то заранее заданные целые положительные числа). Это сложение ассоциативно и коммутативно, имеется нулевая матрица, прибавление которой не меняет второго слагаемого — это матрица, состоящая нз одних нулей, и 274 основные понятия таотии гттпп 1гл. х для каждой матрицы [аи] имеется противоположная к ней матрица [ — аа] — такая, что [ач]+ [ — а„] есть нулевая матрица. Если рассматривать только так называемые целочисленные матрицы (т. е.
матрицы с целыми влементами а„), то и суммой двух таких матриц будет матрица такого же строения, нулевая матрица является целочисленной, и для каждой целочисленной матрицы, противоположной к ней, будет тоже целочнслейная матрица. Все это — тоже примеры групп по с л о ж е н и ю. С другой стороны, и перемножать можно не только числа, но, например, невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка л с вещественными (или только с рациональными или, наоборот, с комплексными) элементами.
Произведение двух таких матриц тоже будет невырожденной матрицей (теорема 3 главы 1П) с вещественными (соответственно с рациональными, комплексными) элементами; единичная матрица является невырождеииой, и у каждой невырожденной матрицы имеется обратная (тоже невырожденная и тоже с вещественными или соответственно рациональ. ными, комплексными элементами). Умножение матриц ассоциативно, однако оно не ком мутатив но.
Множество всех невырожденных матриц порядка л с вещественными (рациональными, комплексными) элементами представляет собой пример н е к о м м у т ативной группы по умножению. Дадим теперь общее определение группы. О предел ение 1. Группой называется множество 0 элементов а, Ь, ..., для которых определена некоторая алгебраическая о не рац ия (обычно называемая умножением или сложением), ставящая в соответствие каждой упорядоченной паре а, Ь элементов из 0 третий злемент с = а ° Ь, причем так, что выполнены следующие условия: 1. Эта операция ассоциативна: для любых трех элементов а, Ь, с из 0 (а Ь) с = а (Ь с). 2.
В 0 существует «нейтральный» элемент е такой, что а е=е ° а=а для каждого а ~ О, $ н ПРИМЕРЫ ГРУПП. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ 275 3, Для каждого элемента а из 0 существует «обр а т и ы й» ену элемент а-' такой, что а а-'=а-' а=е. Группа, в которой дополнительно выполняется коммутативный закон: 4. Для любых двух влементов а, Ь ен 6 а Ь=Ь ° а, называется к о м м у т а т и в н о й, или а б е л е в о й. Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конечной группой. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Группа, не являющаяся конечной, называется бесконечной. В том случае, когда «групповая операция» а Ь называется ел о жение м и обозначается знаком +, группа О называется группой по сложению, или аддитивной группой. В этом случае «нейтральный элемент» е обычно обозначается символом 0 и называется нулем, а элемент, обратный к а, обозначается через — а и называется противоположным к а.
В том случае, когда групповая операция называется у м н о ж е н и е м, а Ь обозначается через аЬ, группа называется группой по умножению, или мультипликативной группой, а нейтральный элемент называется единицей и часто обозначается символом 1. Пользуясь ассоциативным законом, можно определить произведение (сумму) трех и большего числа элементов группы. Так как (аЬ)с=а(Ьс), то имеет смысл говорить просто о произведении аЬс трех элементов, равном, по определению, (аЬ) с = а(Ьс). Так же как для линейных пространств, можно доказать единственность единичного (нулевого) элемента группы и единственность элемента, обратного (противоположного) данному.
Заметим, что для каждого элемента а группы ) ') '-) ')', ') ')'- вместо (а-')' мы будем также писать а-'. Далее, в каждой (например, мультипликативной) группе однозначно разрешимы уравнения ах= Ь (решением которого, очевидно, будет х = а-'Ь) и уа = Ь (для которого у = 276 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ. Х =ба-'); ясно, что если группа коммутативна, то эти уравнения не различаются и х = у). Еще одним важным примером группы может слу- жить группа вращений правильного много- у г о л ь н и к а. Пусть дан правильный и-угольник А1А»...А„, и пусть Π— его центр (сделайте чертеж). Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О, при которых этот и-угольник совмещается сам с собой.
Таких поворотов, очевидно, и: ав — поворот на .~ О (тождественное преобразование), 2я а1 — поворот наля.— и э 2п аз — поворот на~ — „2, а„~ — поворот на ~ — „(и — 1). 2л По определению, умножение поворотов — это их последовательное выполнение одного за другим: а„а, = а„„; при этом естественно считать, что а,+„— — а„для любого й, в частности, а„= а«. Это умножение, очевидно, ассоциативно (и коммутативно).
Поворот а«является единичным элементов группы и аь'=а„ь для всех я= =0,1,...,п — 1. Если положить а1 = а, мы будем иметь аз = а', а»= = а', ..., а„1 — — а"-' и, наконец, а„= а" = ам Можно сказать, что эта группа образована степенями одного из своих элементов (или что она «порождается» одним из своих элементов), а именно, элемента а = ан Такие группы называются циклическими. Группа вращений правильного и-угольника является циклической группой порядка и; обозначается эта группа символом С„.
Группа целых чисел (по сложению) тоже является циклической — она порождается одним из своих элементов: ведь 2 = 1+ 1, 3 =(1+ 1)+ 1, — 1 есть элемент, противоположный к 1, и т. д. Эта группа является бесконечнои циклической группой; обозначается она символом С . $ и ПРИМЕРЫ ГРУПП. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГРУППЫ 277 Рассмотрим еще один пример — группу У самосовмещеннй, или группу симметрии, ромба б (она называется еще клейноеской груп- пой четвертого порядка). Пусть дан ромб АВС0 (рис.
27). Он переходит в себя при следующих преобразованиях: Ь~ — тождественное преобразование, З Ь» — симметрия относительно АС, Ь» — симметрия относительно ВР, 04 — симметрия относительно центра О. Произведение (т. е. результат после- рж 27 довательного выполнения одного за другим) любых двух из этих преобразований — снова одно из них. Эти преобразования образуют группу, которую можно представить следующей «таблицей умножения»: ь, ь, ь ь ь, ь, ьз ь, (Ассоциативность этого умножения будет вытекать из результатов $ 3.) Аналогичную таблицу умножения, где слева стоят левые множители Ь„ сверху — правые б„, а на пересечении соответствующих строки и столбца — их произведение Ь,ЬМ можно написать для каждой конечной группы.
Таблицы такого рода называются т а б л и ц а м и К зли. Легко видеть, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы Кали есе элементы стоят по одпому разу (так как из равенства Ь,Ь, = Ь,Ь, умножением слева на Ь, ~ получаем Ь, = Ь„, и из равенства Ь,Ь< — Ь,Ь, то- 278 основныв понятия тногии ггтпп [гл. х же следует, что у, = Ь,), ясно также, что если группа коммутативна, то ег таблица Кэли симметрична относительно главной диагонали (т. е.
при всех 1 и й элемент, стоящий в пересечении 1-й строки н й-го столбца, равен элементу, стоящему в пересечении й-й строки и 1-го столбца). ф 2. Подгруппа О предел ение 2. Подгруппой группы 6 называется совокупность 6, элементов группы О, сама являющаяся группой относительно заданной в О опв. рации. Так, в аддитивной группе вещестеенных чисел содержится подгруппа целых чисел, а в ней при любом й — ' подгруппа чисел, кратных й.
Сама группа вещественных чисел содержится в качестве подгруппы в группе комплексных чисел. В мультипликативной группе отличных от нуля комплексных чисел содержится подгруппа вещественных чисел, а в ней — подгруппа рациональных чисел, подгрупца положительных вещественных чисел.
Много интересных подгрупп содержит мультипликативная группа невырожденных матриц порядка и (полная линейная группа), например, с вещественными элементами. Отметим, в частности, подгруппу ортогональных матриц и подгруппу уни модул я рных матриц (т. е. матриц с определителем, равным 1). Подгруппами полной линейной группы являются также группа матриц с определителем, равным .ь1, группа матриц с п ол о ж ит ел ь н ы м оп р ед ел ителем, группа диагональных матриц, группа скал я р н ы х матриц, т.е.
матриц вида сЕ, где с чь Π— любое число, а Š— единичная матрица, группа т р еугольных матриц, т. е. матриц, у которых все влементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю. Для того чтобы убедиться в том, что подмножество 61 группы 6 является ее подгруппой, надо прежде всего проверить, что произведение (сумма) любых двух злвмгнтов из О, принадлвасит О~ и что если а ~ Оь то и а-'ы Оь Но зтогоидостаточно, так как ассоциативный ПОДГРУППА 279 закон, справедливый во всей группе О, будет выполняться н для элементов из Оь а элемент е (илн 0) как произведение аа-' (как сумма а+ ( — а)) тоже будет принадлежать Оь Пусть дана группа 0 н аен О.
Рассмотрим всевозможные степени (положительные н отрицательные) ..., а з, а-', е = ао а ат аз элемента а. Онн образуют, очевидно, подгруппу — циклическую подгруппу, порожденную элементом а. Прн этом возможны два случая: либо все этн степени элемента а различны, либо среди ннх имеются одинаковые, Последнее наверняка будет, например, в любой конечной й группе. Пусть, скажем, а" = а', где Гп) (, Тогда а ' =е. Обозначим через й наименьшую положительную степень, такую что а"=е. Тогда, для того чтобы имело место равенство а" = е, необходимо н достаточно, чтобы и делилось н а Й.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
