Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 45
Текст из файла (страница 45)
Необходимо только проверить, не зависит ли это определение произведения классов ог выбора представителей в них. Итак, пусть Ь' Ь, с' с; можем ли мы утверждать, что Ь'с' — Ьс? По условию, Ь' = Ьа| и с'= сам откуда Ь'с' = Ьагсаь Если группа О коммутативна, то а1с = са1 (1) и Ь'с' = Ьс (а1аз), т. е. Ь'с' Ьс. В некоммутативной группе равенство (1), вообще говоря, места не имеет. Однако для нашей цели достаточно следующего, более слабого, чем коммутативность, условия: достаточно, чтобы произведение а,с можно было представить в виде са„где аз~А, причем а,, вообще говоря, отлично от аь Если это так, то Ь'с'= Ьс(азиз), т.
е. Ь'с' Ьс, и произведение классов не зависит от выбора представителей в них. Итак, мы будем теперь предполагать, что подгруппа А обладает следующим свойством: для каждогоэлемента а~А и произвольного элемента АГ ен б найдется элемент а енА такой, что ад = да. Это значит, что для 10~ 292 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП ~ГЛ. Х любого а еп А и произвольного д ~ О произведение й-'ад = а ~А. Обозначив через д-'Ад множество всевозможных элементов вида д-'ад, где аен А, дадим следующее Оп р е дел ение 4. Подгруппа А группы 6 называется ее нормальной подгруппой, или нормальным ым делителем, или еще и н вариантной подгруппой, если для любого элемента дан О д-'Ай а А.
Т е о р е м а 3. Пересечение двух нормальных подгрупп группы 6 само является нормальной подгруппой 6. Д о к а з а т ел ь ст в о. Пусть А~ и Ат — нормальные подгруппы группы О и А =А, Д Аь Мы знаем, что А — подгруппа в 6 ($2). Далее, так как А с= А, и А Ра Ам то для любого элемента д ен 6 д-'Ад а д-'А,д с= А, д'-'Ад с: — д-'Агд а Ам а значит д-'Ад с=Л1П Ат = А, т. е.
А — нормальная подгруппа группы О. Теорем а 4. Для того чтобы подгруппа А группы 6 была ее нормальной подгруппой, необходимо и до. статочно, чтобы для любого элемента д ~ 6 имело место равенство й-'Ай = А. (2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточность условия (2) следует из определения 4. Для того чтобы доказать его необходимость, предположим, что А — нормальная подгруппа группы О; тогда для любого элемента д ~н О д-'Ад ы А, а значит, и дАд-' =(д-')-'Лд-' с:-А, откуда, в свою очередь, следует, что А ыд-'Ад.
Но если й-'Адс:-А и А с:-д-'Ад, то д-'Ад = А. Те о р ем а 5. Для того чтобы подгруппа А группы О была ее нормальной подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы левые и правые смежные нласссч группы О по подгруппе А совпадали, 293 ФАКТОР-ГРУППА Д о к а з а тельство. Из равенства й-'Ай = А вытекает, что Ау = дА, т. е. что для любого у~в 6 левый и правый смежные классы, содержащие этот элемент, совпадают, Обратно, если для любого д~ 6 Ад=дА, то д-'Ад = А, и А — нормальная подгруппа, Так, в симметрической группе 5ь подгруппа А = (Рь Р,, Рь) будет нормальной подгруппой, подгруппы же (Рь Ре), (Рп Р,) и (Рь Рл) нормальными не являются.
Легко видеть, что при любом и знакопеременная подгруппа А„является нормальной подгруппой симметрической группы 5„, так как разложение группы 5. по подгруппе А„(и левостороннее, и правостороннее) состоит из двух классов — самбй подгруппы А„и множества В всех остальных элементов (т. е. множества всех нечетных подстановок). Совершенно аналогично этому в любой группе всякая подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой. В коммутативной группе. любая подгруппа является, очевидно, нормальной. $7.
Фактор-группа Пусть 6 — произвольная группа, А — ее нормальная подгруппа и 5 — множество всевозможных смежных квасов группы 6 по подгруппе А (напоминаем, что левые и правые смежные классы в этом случае совпадают). В множестве классов 5 введем операцию умножения, полагая хА ° уА = хуА. Так как подгруппа А является нормальной, то произведение хА ° уА не зависит от выбора представителей х и у в перемножаеммх классах, 294 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП 1ГЛ. Х Проверим, что у нас получилась группа.
1. А с с о ц и а т и в н о с т ь умножения классов вытекает из ассоциативности умножения в группе 0: (хА ° уА) ° гА = (ху)А ° гА = (ху)гА = =х(уг)А = хА ° (уг)А = хА ° (уА гА). 2. Единичным элементом служит сама подгруппа А: А хА = еА хА = ехА = хА, хА А = хА еА = хеА = хА. 3. О б р а т н ы м к классу хА будет класс х-'А, так как хА ° х-'А = хх-'А = еА = А, х-'А ° хА = х 'хА = еА = А. Полученная группа обозначается через 0(А и называется фактор-группой группы П ио нормальной подгруппе А. Фактор-группа коммутагивной группы коммутагивна, так как в этом случае для любых двух классов хА уА = (ху)А = (ух)А =уА хА.
Порядок фактор-группы конечной группы равен индексу нормальной подгруппы А в группе 6, и значит, является делителем порядка п группы б. Фактор-группа симметрической группы Я„по ее под. группе А„ состоит из двух элементов и является, следовательно, циклической группой второго порядка. П р им е р. Покажем, что в группе С всея невырозтденньы ма»'- рш( порядка и (например, с вещественными элементами) подгруппа А унимооулярнык матриц (т.
е. матриц с определителем, равным 1) является нормальной подгруппой, и найдем фактор-группу С)А, Уннмодулярные матрицы образуют подгруппу в С, так как произведение двух уннмодулярных матриц и матрица, обратная унимодуля ной, являются унимодулярпыми (теорема 3 главы П1). алев, подгруппа А унимодулярных матриц является нормальной, так как если матрица а ез А н, значит, (а! = 1, то для любой матрицы у »и С ! в 'ау! = ! у» )! а (! у ! = ! у Е» ! а)у ) = ! а ) =! у — »ауп А. йз! ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ГРУПП 295 Найдем фактор-группу б/А.
Покажем прежде всего, что для того, чтобы две матрицы Ь н с принадлежали одному н тому же смежному классу группы 0 по подгруппе А, необходимо и достаточно, чтобы они имели равные определители. Действительно если Ь с, т. е. Ь = со, где сев А и, значит, )и( = 1, то (Ь( = (с((о) = (с). Обратно, если (Ь( = (с(, то Ь с(с-'Ь), где )с-'Ь( = )с-' 1 Ь( (с( '(Ь( ! и, значит, с 'Ь щ А, т.
е. Ь щ сА и Ь с. Таким образом, каждый смежный класс 0 по А вполне характеризуется определителем входящих в него матриц. Перемножению классов отвечает перемножение произвольных представителей нз них, и, значит, произведение классов В (матриц с определителем ()) и С (матрнц с определителем Т) есть класс ВС вЂ” матриц с определителем ~1. Следовательно, фактор-группа Сг/А изолорфнл лультиплккитпенои ерулпе отличных ог нуля вещественных чисел 9 8. Прямое произведение групп Умножая обе части последнего равенства слева на Ь,', а справа — на а,', получим Ь,та, = Ь,а.
Но Ь,'а,енб„а Ьаа,' ЕЕО„ (3) и, значит, элемент (3) Определение 5. Пусть даны группа О и двг ее подгруппы 6! и Оз, причем выполнены следующие ус- ловия: 1) 6~ и Оз являются нормальными подгруппами группы О, 2) пересечение 6! П Оз состоит только из единицы е, 3) каждый элемент группьг 6 может быть представ- лен в виде произведения а,аз, где а, гп Оь ахен Оз.
Тогда группа 6 называется прямым произведением своих подгрупп 6! и Оз. (Это записывается так: О = Ог Х Оз) Теорема 6. !. Каждый элемент группы 6= 6,ХО, однозначно представляется в виде произведения а,ам где а, ен О, и аз ен О,. 11. Каждый элемент а, ен О, коммутирует с каждым элементом аз ~ Оз (т.
е. агах — — аза!). До к аз а тельство. 1. Предположим, что какой-то элемент группы О двумя способами представлен в виде произведения элементов подгрупп 6! и Оз. а,а, = Ь,Ь, (где ан Ь! ы О!, ам Ьг яя Ог). хйб ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП (ГЛ. Х принадлежит пересечению 6, Д б„т. е. он равен е -1 -1 Ьз а, = е = Ьзаз, откуда Ь~ = а~ и Ьз —— ах. 11.
Пусть а, ~ О, и а, ен бх. Рассмотрим так называ. емый к о м м у т а т о р этих элементов; а,'а, 'а,а,. (4) Произведение а,'а,'а, ~ О„так как Ох — нормальная подгруппа, и значит, произведение(а,'а,'а,) а, при. надлежит бх. С другой стороны, произведение а,'а,а, принадлежит б„так как 61 — нормальная подгруппа, и значит, произведение а,'(а,'а,а,) принадлежит Ог.
Таким образом, коммутатор (4) принадлежит пересечению бг ((бх, и потому он равен е: а,'а,'а,а,= е. Умно- жая последнее равенство слева на ахаь получим агах = ахаг, т. е. любой элемент из О, коммутирует с любым элементом из Ох. Аналогично можно определить прямое произведение 6 = 6~,'эс', Оз,'н',... Р', б„п множителей. Здесь все подгруппы б, являются нормальными подгруппами О, пересечение каждой из подгрупп О, с подгруппой, порожденной в О всеми остальными множителями Оь бь ..., б, „ Оьгь ..., 6„, состоит только из единицы, и каждый элемент группы б можно представить в виде произведения а,ат... а„, где а, ~ бь Легко видеть, что порядок прямого произведения конечных групп равен произведению порядков сомножителей.
Т е о р е м э 7. Пусть даны дее группы А а В; тогда существует такая группа 6, которая является пряным лроазеедением своих яодеруля 6~ а 6ь соотгетстоенно азоморфных данным группам А и В. Д о к л з э т е л ь с т в о. Будем обозначать элементы группы А буквами а, а',..., элементы группы  — буквами Ь, Ь'.... Рэссмотрим множества всевозможных из р элементов (а, Ь), где атвА, Ь гм В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
