Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Заметим, что если 7 — изоморфноеотображение группы 61 на группу бь то ! (е~) = ет, где еь ! = 1, 2,— единица группы 6, и [7(х,')] [! (х,)[-' для каждого х~ ен бь Действительно, пусть хт — произвольный элемент группы бт н х1 — такой элемент группы бь что !(х1) =хе. Тогда ха = 7(х1) = [(х~е~) =)(х~)~(е,) = хг1(е,) и хг =1(х~) = [(е,х1) = [(е1)1(х~) = [(е,)хг, а значит, 1(е,) = ег — единица группы бг (ср.
стр. 72). Далее, 7 (х,) 7 (х, ') = ) (х,х, ') = 7' (е) = ег и 7(х,')7(х,) =~(х,'х,) =7'(е) =е„ и значит, [7(хт)[-' = 7(х,'). Легко проверить, что все группы второго порядка (а также все группы третьего порядка) между собой изоморфны. Но для порядка четыре существуют уже две неизоморфные между собой группы: группа вращений квадрата С4 и группа симметрии ромба У.
Выше мы назвали циклической группой группу, образованную степенями одного из своих элементов. Можно сказать, что циклическая группа порядка п— это группа, изоморфная группе вращений правильного и-угольника (легко видеть, что все циклические группы одного и того же порядка изоморфны между собой!), а бесконечная циклическаягруппа — зто группа, иэоморфная аддитивной группе целых чисел. Заметим еще, что операции в изоморфных группах могут обозначаться по-разному. Так, мультипликативная группа положительных чисел изоморфна аддитивной Ф $! тхзложенив гттппы по подгттппв 2ат группе вещественных чисел.
Изоморфное соответствие между ними устанавливается отображением ! (а) 1од. а, где с чь 1 — произвольно выбранное фиксированное положительное число. $6. Разложение группы по подгруппе !8, — !3, — 8 — 3, 2, 7, !2, !7, 22, — !7, — !2, — 7, — 2, 3, 8, !3, !8,23, 2+А 3+А 4.~-А ~ — !6, — !!, — 6, — !, 4, 9, !4, !9, 24, Введем теперь операцию сложения в множестве самих классов. Пусть даны два класса В н С. Выберем в каждом нз ннх по одному элементу (по представите- Рассмотрим сначала следующий п р н м е р. Пусть 0 будет аддитивная еруппа целых чисел н А — ее подгруппа, состоящая нз всех чисел, кратных й. Разобъем группу б н а кл а осы, относя к одному классу числа, дающие при делении на й одинаховыв остатки.
Тогда для того, чтобы два числа х н у попали в один н тот же класс, необходимо н достаточно, чтобы их разность делилась на й н, значит, принадлежала подгруппе А: х — у = йпенА, откуда х = у + а, где а ~ А. Так мы получим, очевидно, й классов, считая одним нз классов н подгруппу А. Схематически это разложение группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных й, при й = 5 можно пред. ставить следующим образом: 288 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП (ГЛ. Х лю), скажем, Ьен В и сен С, н сложим их, а сумм Ой к л а с с о в В+ С условимся считать класс, содержащий сумму Ь+ с. Такое определение сложения кл ассов будет иметь смысл, если тот класс, в котором содержится сумма Ь+ с, не зависит от выбора представителей Ь и с в классах В и С; проверим, что это действительно так. Если Ь' тоже принадлежит В, а с'ж С, то Ь вЂ” Ь'= йп( и с — с'= йпм а тогда (Ь+ с) — (Ь'+ с') = й(п(+ и,) делится на Ь и, значит, суммы Ь+ с н Ь'+ с' принадлежат одному н тому же классу.
Так определенное сложение классов ассоциативно и коммутатнвно, ибо этими свойствами обладает сложение в самой группе б. Класс, совпадающий с подгруппой А, играет роль нуля, так как в качестве представителя нз А можно взять нуль, а у+О=у при всех у ~в 6. Наконец, для каждого класса В имеется п р о т н в о и о ложны й ему: если Ь ен В, то класс, содержащий — Ь, будет противоположным к В, так как Ь+( — Ь)= О ~в А. Поэтому совокупность построенных кл асса в сама образует группу относительно определенного нами сложения классов. Полученная группа (группа классов) называется фактор-группой группы целых чисел по подгруппе чисел, кратных Ь.
Она является, очевидно, цнкличес к о й группой порядка й. Аналогичная конструкция применима и в общем случае. Пусть Π— произвольная, на этот раз мультипликативная группа, н А — некоторая ее подгруппа. Обозначим через хА множество всех элементов вида ха, где а ~ А; хА называется л е в ы м ем е жн ы м кл а сс о м группы О по подгруппе А.
Каждый элемент у, принадлежащий классу хА, назовем эквивалентным х (будем писать у х). Отметим следующие свойства этого понятия: 1. Каждый элемент х эквивалентен самому себе: х х (рефлексивность отношения ), так как х= хеенхА. 2. Если у-х, то х у (симметричность отношения ). РАЗЛОЖЕНИЕ ГРЭППЫ ПО ПОДГРРППЕ 28Э Действительно, если у х, т. е. уен хА, то у= ха, где а ~ А, а тогда х = уа-' ~в уА, и значит, х ° у. 3. Если х-у и у-г, то х г (транзитивность отношения -).
По условию, х-у, т. е. х=уаь и у-г, т. е. у=гав где а1, азеиА. Но тогда х = (газ)а~ = г(ага~) еи гА, и значит, х — г. Сделаем теперь отступление общего характера. Предположим, что для элементов некоторого множества М задано отношение — (запись х — у читается: «х эквивалентно у»), обладающее свойствами р е ф л е к с и в- ности (всегда х-х), симметричности (если х- у, то у х) и тра нзитивности (если х у и у — г, то х г); тогда говорят, что в этом множестве задано отношение эквивалентности.
Примерами отношения эквивалентности могут служить равночисленность квнечиых наборов предметов, параллельность прямых, подобие треугольников, и т. д. Теорем а 2. Если в л~ножестве М задано отношение эквивалентности, то это множество разбивается на непересекающиеся классы эквивалентных .нежду собой элементов. Доказательство. Обозначим через 5(х) множество всех элементов, эквивалентных х (элемент х'еи 5(х) в том и только в том случае, если х' х). Покажем сначала, что если элементы х и у эквивалентны, то соответствующие классы 5(х) и 5(у) совпадают.
Действительно, если х'я5(х), то х' х. Но так как х — у, то х' — у и, значит, х'еи5(у). Мы видим, что каждый элемент х' из класса 5(х) принадлежит 5(у). Аналогично показывается, что каждый элемент у' из класса 5(у) принадлежит 5(х). Следовательно, 5(х)= = 5(у). Покажем, далее, что если элементы х и у не эквивалентньй то классы 5(х) и 5(у) не пересекаются. Действительно, если г еи 5(х) П 5(у), то г х и г у, а тогда х у. Теорема доказана. Вернемся к нашей группе б и введенному в ней выше отношению .
По теореме 2 группа 6 разбивается на (непересекающиеся) классы эквивалентных между собой элементов. Эти классы называются левыми смеж- 1О Л. И, гола|»на 290 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП [ГЛ. Х ными классами группы 6 по подгруппе А. Одним из этих классов будет, очевидно, сама подгруппа А. Если 6 — конечная группа, то все ее смежные классы по данной подгруппе А состоят из одного и того же числа элементов (элементы смежного класса хА взаимно однозначно соответствуют элементам подгруппы А, так как если бы ха~ равнялось хан то а~ было бы равно аз). Отсюда вытекает важная Теорема Лагранжа.
Порядок подгруппы конечной группы является делителем порядка группы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть 6 — конечная группа порядка и и А — ее подгруппа порядка й. Разложим группу 6 на левые смежные классы по подгруппе А. Если ) — число полученных классов, то, поскольку каждый класс состоит из я элементов, общее число элементов группы и = я(, н значит, и делится на я. Число / (тоже являющееся, очевидно, делителем и) называется и н д е к с о м подгруппы А в группе 6.
Каждый элемент д группы 6 порождает в ней цик. лическую подгруппу (у), состоящую из всех степеней этого элемента. Порядок подгруппы (д) совпадает с порядком элемента д в группе 6. Ввиду теоремы Лагранжа порядок каждого элемента конечной группы является делителем порядка группы. Всякая конечная группа, порядок которой — простое число, является циклической, так как циклическая под.
группа, порожденная в ней любым из ее элементов (кроме е), должна совпадать со всей группой. Аналогично левостороннему разложению, можно построить п р а в о с т о р о н н е е разложение группы 6 по подгруппе А (на классы Ах). В коммутатнвном случае оба разложения совпадают (состоят нз одних и тех же классов). В некоммутативной группе левостороинее и право. стороннее разложения могут оказаться различными.
Рас смотрим, например, разложение симметрической груп. пы 5 по ее подгруппе В = (Рь Рг). Левосторониее разложение состоит нз классов В, РэВ = РзВ = (РО Рэ), РгВ = РеВ = (Ри Ре), НОРМАЛЬНАЯ ПОДГРУППА 291 $61 йравостороннее разложение — из классов В, ВРА=ВРз= (Рм Рь), ВРА=ВРз= (Рм Рь).
В то же время левостороннее и правостороннее разложения группы 5, по ее подгруппе третьего порядка А (Рп Рм Рь) совпадают: каждое из них состоит из двух классов А = (Рп Рь, Рь) и Арг = РгА = (Рм Ръ Р4). $ 6. Нормальная подгруппа Обобщим теперь конструкцию, которая в начале $5 привела нас к понятию группы классов (фактор- группы) аддитнвной группы целых чисел. Пусть А— подгруппа произвольной группы 6. Образуем всевозможные левые смежные классы группы 6 по подгруппе А и попытаемся определить умножение этих классов следующим образом: если даны два класса В и С, выберем из них по представителю: ЬЯНВ, се С, перемножим этих представителей и в качестве произведения ВС возьмем тот класс, в котором содержится Ьс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
