Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Сообщим танже беа доказательства, что а псевдоевклидовой гео. метрии можно ввести понятие угла так, что для треугольника будут справедливы следующие соотношения: аг = Ь'+ сг — 2Ьсей А (теорема косинусов — но косинус тут гиперболический!) н а Ь ай А ай В (теорема синусов, где синусы — гиперболические). За подробностями отсылаем читателя к той же книге И. М. Яглома (см. выше стр. 24й). ф 4.
Псевдоортогональный оператор Линейный оператор зб псевдоевклидова пространства называется псевдоортогональныл[, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если для всех х, у ~ )т' зле[ — — еие[ + аг,еш заев = аше[ + аггег. По определению, (.Фе[, зйе[) = (е[, е[) = 1, (збег, Фег) = (ег, ег) = — ! (счте[, заев) = (е[, ег) = О, а,', — а'„= 1, т. е. (4а) г г атг — агг = — 1, аи аш — аг[ .
а,г = О. (4б) (збх, лбу) = (х, у). Пусть .Ф вЂ” псевдоортогональный оператор в псевдоевклидовой плоскости Й и А = '11 '1г — его матрица в ортонормированиом базисе е„ег, Мы имеем Из равенств (4а) видно, что ап Ф О и а22 Ф О. Из равенства (46) следует, что (6) ап а22 Обозначив равные отношения (5) через В, получим п2! —— Во!4, (6) пм — — Ва22. Подставляя эти значения в равенства (4а), найдем, что 2 2 2 1 а„— 62а22 = 1, откуда а42 = + )/1 — В2 2 2 1 62а22 — а„=- — 1, откуда а,„= + Р'1 — В2 Таким образом, матрица оператора лВ имеет вид (Т) 4У! В2 +У! В2 причем, как видно из равенств (6), оба элемента первого столбца, так же как и оба элемента второго столбца, берутся с одним и тем же знаком.
Матрицу такого вида будем называть псевдоортогональной. Если обозначить через Аа матрицу В Р'1-В Р1-В У! — В' ) то, как легко видеть, В У1-В' )/~ В2 А,= )/! В2 $4! ПСЕВДООРТОГОНАЛЬНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 253 лоз СПЕЦИКЛЬНКЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ (ГЛ. !Х а У1-й' У1-Р' 1 =Аз[! о| У1~-Р' У1-Р' 1 А = "' ' !" ' =А~- — У1:7 (преобразования лаг и .Фз отличаются от етбо осевой, а,Фз — центральной симметрией).
Определители 1Аз~ = 1Аз~ = 1, 1Аг~ = 1Аз~ = — 1. 1 Заметим, что, поскоаьну — ~ 1, то найдется такое зд У1-рз 1 что †.— = с1дгр, =,—, =з1г~р, и тогда И вЂ” йз Г1д гр з1г м1 Это преобразоаанне назыаается гиперболическим аоворотон. Пусть в псевдоевклидовой плоскости 1т имеются два Ф ортонормированных базиса, ег, е, и ед, е, и А= — матрица перехода от первого ко второму. Рассмотрим линейный оператор ЯР с матрицей А в базисе еь ез и покажем, что он — псевдоортогональный.
Действительно, по условию, Фе, = а„е, + а„е, = е, и бее, = а„в, + а.„е, = в,. Если х = х,ег + хает и у = у,е, + узез — произвольные векторы из гдд, то .окх = хд Мед+ халатен = х в; + х в', Р ,ФУ = Удм. е, + Узбаез = У,е, + У,е,. $5] пгинцип относитвльности галнлвя 255 А так как оба базиса еь ез и е], е,— ортонормированные, то скалярное произведение (мах, Фу) = х,у] — хтут = (х, у). Значит, оператор .Ф вЂ” псевдоортогональный, и его матрица имеет внд (7). $ 5.
Пространство событий. Принцип относительности Галилея Предположим, что точка М движется вдоль прямой линии 1, на которой установлена система отсчета Я. Это значит, что на этой прямой расположена шкала с соответствующими делениями и в каждой точке прямой имеются синхронизированные между собой часы. Пусть в момент времени 1 координата точки М равна х. Это обстоятельство, нли, как мы будем говорить, «с о б ы т и е», можно отметить на некоторой (двумерной) плоскости Р точкой с координатами (х, 1). Плоскость Р называется пространством событий. С течением времени координаты точки в пространстве событий меняются, даже если точка М не меняет своего положения на прямой 1 — за счет изменения времени 1.
Таким образом, существование точки в пространстве и времени будет отмечено некоторой линией в плоскости Р. Прямой эта линия будет в том и только в том случае, если точка М движется по прямой 1 с постоянной скоростью, и тогда ее положение в плоскости Р будет определяться уравнением х=и1+Ь где Ь = х(0) — положение точки в момент 1= О. Если точка М неподвижна на прямой 1 («движется с нулевой скоростью»), то соответствующая ей в плоскости Р пря. мая параллельна оси 1. Предположим, что вдоль прямой 1 равномерно со скоростью о движется другая система отсчета, 5', причем в начальный момент времени начала координат обеих систем совпадают: х = х' = 0 при 1 = О. Тогда координата х точки М в системе Я и ксорднната ее х' в системе 5' будут связаны соотношением х = х'+ о1.
ЕЕЕ СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ [ГЛ. [Х При этом считается, что время 1 в системе 5 и время У в системе 5' одно и то же: для одного и того же события т=г' Преобразования х = х'+ ог', (8) или, что то же самое, х'= х — И, ['= Ф называются преобразованиями Галилея. Из них диффе- ренцированием по [ получаем или и=и'+и, (9) где и — скорость точки в системе 5, а и' — скорость ее в системе 5'.
Это — з а кон сложения скоростей в классической механике: скорость и точки в старой системе отсчета равна ее скорости и' в новой системе, сложенной с «переносной» скоростью о (скоростью движения новой системы отсчета относительно старой). Дифференцируя по г' еще раз, получаем Е л е"л' и» ц~з ' Таким образом, ускорения точки М в системе 5 и в системе 5' одинаковы, откуда делается вывод, что одинаковые силы вызывают в обеих системах одинаковые следствия (описываемые вторым законом Ньютона; вызванное силой с ускорение прямо пропорционально этой силе). Другими словами это выражают, говоря, что законы механики инварианты относительно преобразований Галилея (и р н н ц и п о т н о с и т е л ь н о с т и Г алилея).
Вернемся к формулам (8). Они показывают, что при переходе от системы 5 к системе 5' координаты точек пространства событий подвергаются линейному преобра- зо1 птннцнп относнтельностн гьлнлея 237 зованню с матрнцей [1 о1 (1О) Это обстоятельство наводит на мысль ввзстн в пространстве событий полуевклидову метрику. Тогда расстояние между событиями А(хь г1) н В(хх, то) будет иметь опеделенный фнзнческнй смысл: оно будет равно Го — 1, ~ — временному интервалу, протекшему между событиями А и В. Далее, так как переход от одной системы координат к другой задается матрнцей (10), то ннварнантным окажется н введенное в 5 2 понятие угла. Чтобы выяснить его физический смысл, рассмотрим две равномерно движущиеся по прямой ! точки Мо н Мх.
Скорсстн нх обозначим соответственно через и, н ио. В плоскости Р нх движения определяются прямыми по1 н тпо. Пусть Ао(хо, Га) — точка пересечения этих прямых (это значит,чтопрн1= л~~ф'А ) = го обе точки,М~ н Мь 41 (х,от) находились в одном н том же месте прямой р 4р Гюр,рр) 1 — имели абсцнссух,). Предположим, что прн точка М1 нме- ! ет абсцнссу хь а прн т = го точка Мо — абс- 'р цнссу хь Тогда угол "'о между прямыми гп, н гпо (в полуевклндовой метрике) равен углу между векторами АоА, н АоАо, где А~(хь 1,), Ао(хз, 1з) (рнс. 22), н значит, он равен Рис.
22 ! х — х х — х ~ о о о о1 — — — ~ =(ио — и,( — с — с 1 о о х о — относительной скорости движения этих точек. Прн такой интерпретации расстояния н угла теоремы 1, 2 н 3 на стр. 246 получают определенный физический смысл, установить который предоставляется читателю. 9 л. н.
Гоиооиио 2бв спвцилльнля теория относитвльности ~гл. гх в 6. Принцип относительности Эйнштейна Из закона сложения скоростей (9) естественно сделать следующий вывод: если система отсчета 5' равномерно движется относительно 5 со скоростью о и если свет в системе 5 распространяется со скоростью с, то в системе 5' его скорость должна быть равна с — о в направлении движения системы 5' и с+ о — в противоположном направлении.
Однако в 1881 г. американским физиком А. Майкельсоном было экспериментально установлено, что на движущейся Земле солнечный свет распространяется с о д и н а к о в о й скоростью во всех направлениях. После попыток многих ученых как-то согласовать результаты опытов Майкельсона с теорией, в 1908 г. была опубликована фундаментальная работа А. Эйнштейна, в которой излагалась новая теория пространства н времени — так называемая специальная теория относительности. Мы рассмотрим здесь только самые основные, простейшие понятия этой теории. В основу теории Эйнштейна был положен закон постоянства скорости света во всех инерциальныха) системах отсчета. Таким образом, принцип относительности Галилея состоит в невозможности установить равномерное движение одной механической системы относительно другой с помощью каких-либо механических экспериментов внутри втой системы.
Принцип относительности Эйнштейна утверждает, что это невозможно сделать, исходя не только из механических, но также и из каких-либо оптических явлений (связанных, как известно, с электро- магнетизмом). Но приняв закон постоянства скорости света, Эйнштейн вынужден был отказаться от предположения о существовании абсолютного времени, годного для измерения временнйх интервалов сразу во всех инерциальных системах отсчета. То, что эта относительность времени с необходимостью вытекает из закона постоянства скорости света, ° ) В физике инерцилльной называют такую систему отсчета, в которой тело без действия иа него внешних сил дввжетсн равно- Мерно и прямолинейно, Ьв1 пРинцип относительности эйнштейнА 259 можно видеть на следующем простом примере е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
