Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 40
Текст из файла (страница 40)
Представим себе очень большой по линейным размерам поезд, скорость которого сравнима со скоростью света («поезд Эйнштейна»). Пусть в этом поезде у окна находится наблюдатель, который в некоторый момент времени зажигает фонарик, испускающий луч света в потолок. На потолке имеется зеркало, отразившись от которого, луч возвращается к наблюдателю. Путь луча света с точки зрения этого наблюдателя — дважды проходимый отрезок АВ (рис. 23, а). Для наблюдателя же, находящегося вне поезда, путь луча света представится в виде ломаной линии, состоящей из боковых сторон равнобедренного треугольника А,ВАз, высота которого равна АВ (рис.
23, б). Следовательно, путь, проходимый светом, с точки зрения наблюдателя вне поезда, больше, чем для пассажира поезда. А так как скорость У Рис. 23. света постоянна, то время, которое потребуется свету на этот путь по часам наблюдателя вие поезда, будет больше, чем для пассажира поезда: часы внутри поезда о те т а ю т по сравнению с часами на станции. Закон постоянства скорости света делает относительным и понятие одновременности, что хорошо видно на другом примере. Предположим, что в центре вагона того же поезда Эйнштейна находится наблюдатель, который в некоторый момент времени зажигает фонарик.
В дверях вагона имеется механизм, благодаря которому двери открываются, как только до иих доходит свет. Наблюдатель в центре вагона увидит, что задняя и передняя двери открываются одновременно. С точки же зрения наблюдателя вне поезда передняя дверь вагона уходит ') Этот и следующий примеры заимствованы из брошюры Л. Д. Л а н д а у и Ю. Б. Румер а (18). 91 ЕЗО СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ 1ГЛ. !Х от светового луча, тогда как задняя идет к нему навстречу. Ввиду постоянства скорости света, с точки зрения наблюдателя вне поезда свет достигает задней двери вагона раньше, чем передней, и она откроется раньше. Более того, даже последовательность событий может быть разной и для этих двух наблюдателей. Так, если (например, из-за неисправности механизма дверей) задняя дверь откроется несколько позже, чем на нее попадет свет, то, если эта разница во времени достаточно мала, наблюдатель вне поезда все-таки увидит заднюю дверь открывающейся раньше, чем передняя, хотя для наблюдателя в центре вагона последовательность этих событий будет обратной.
ф 7. Преобразования Лоренца Итак, мы вынуждены отказаться от предположения, что время — одно и то же во всех равномерно движу- шихся друг относительно друга системах отсчета. Мы уже не можем считать, что для одного и того же события 1' = 1.
Как же связаны между собой координаты х, г точки всистеме5 и координатых', 1' ее в системе 5', движущейся относительно 5 равномерно со скоростью о? В классической механике эта связь линейна (преобразования Галилея). Мы сохраним зто предположение о линейной зависимости х', 1' от х, 1 — тогда переходу от 5 к 5' будет отвечать переход к новому базису в пространстве событий. Какова же метрика этого пространства? Пусть в некоторый момент времени (начальный для обеих систем 5 и 5') их начала координат совпадают: х = х' = О при 1= г' = О. Предположим, далее, что при г = 1' = О из обшего начала координат обеих систем пущен световой сигнал, принятый в системе 5 в точке х в момент г, а в системе 5' — в точке х' в момент времени г'.
Ввиду постоянства скорости света с !-"!=!-":!=' откуда х' — с'ге = О и х" — с'1; = О. Таким образом, если выражение хе — с'Р (11) ае1 ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛОРЕНЦА 2 21 равно нулю в одной инерциальной системе отсчета, то оно обращается в нуль и во всех остальных. Мы сделаем теперь еще одно дополнительное предположение — о том, что выражение (11) вообще является инв ар ион том, т. е.
что оно одинаково во всех инерциальных системах Отсчета. Положив х = х, и с1 = хз (и соответственно х' = хз и сй = х,), мы можем наше пространство событий рассматривать как псевдоевклидову плоскость, в которой выражение (11), равное з 2 х, — х„ является квадратом расстояния точки (хь хз) от начала координат, или, что то же самое, квадратом длины соответствующего вектора.
Но базис, в котором квадрат длины вектора имеет такой вид, является ортонормированным (см. начало $3). Ортонормированным будет по той же причине и соответствующий базис системы 3', а значит, матрица А перехода от базиса системы 5 к базису 5' псевдоортогональна: 1 ~22,"1 рз .РУ1 рз (причем в каждом из столбцов стоит какой-то один знак). Следовательно, ре, + е ~ ф/1 Рз Рассмотрим сначала случай, когда оба знаменателя положительны, и матрица А имеет вид Аз —— у'1 рз )т'1 рз 262 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ ИГЛ.
ГХ Тогда координаты хн хх и хь х, связаны соотноше- ниями и о=1)с, и р=— с Подставив это значение р в формулы (12) н (13), получим — хк'+ 1' ~/ х'+ ы' у -Т (14) и у'-~ Преобразования (14) и (15) называются преобразованиями Лоренца. Заметим, что формулы (15) получаются из формул (14) простым изменением знака у о. Р к +рх рк +к )'):7' ' У) — р** или, в старых обозначениях, х'+ ' (12) Выражая отсюда х' и 1' через х и 1, получим формулы  — с х+С У)-р" У)-р* Каков физический смысл параметра р? Предполо- жим, что в системе 5' покоится точка М; пусть, напри- мер, это будет начало координат х'= О. По первой из формул (13) для этой точки имеем х — рс1 = О, или — = рс.
к к Но — есть скорость точки М в системе 5, равная, очевидно, скорости о системы Я' относительно 3. Следо- вательно, ПРаоввкзовкния лоааица 263 ' 7Ф )/ и, например, при х' = О, т. е. в начале координат системы 8', увеличению г' соответствовало бы уменьшение 1, что невозможно, так как при этом последовательность всех событий в точке х' системы о' была бы обратной последовательности тех же событий в системе 3. Если же знаки минус стоят в первом столбце матрицы перехода (а во втором столбце стоят знаки плюс), то получаются формулы )'Л от которых к формулам (14) можно перейти, изменив знак у х', т. е. изменив на противоположное направление оси Ох'. Таким образом, мы можем ограничиться исследова.
нием преобразований Лоренца (14) и (15). Формулы Лоренца имеют смысл лишь при ~ †, ~ < 1, откуда следует, что ~о( ( с, т. е. что движение со скоростью, превыщающей скорость света, невозмоскно. ь" Если о мало по сравнению с с, то р' 1 — — ж 1, сь а тогда х' ж х — о1, Р ж 1. Таким образом, при малом о (по сравнению с с) преобразования Лорениа переходят в преобразования Галилея классической механики. Мы предполагали, что в матрице перехода от базиса Р Ф еь ез к базису ем е, все знаменатели положительны.
Покажем, как исключить остальные случаи. Если бы во втором столбце матрицы перехода стояли знаки минус (а в первом какие угодно), то мы получили бы формулы 264 СПЕЦИАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ !ГЛ. !Х Пусть Ох и 01 — координатные оси пространства событий системы 5, Ок' и Оу — оси системы 5' (рис. 24). Как мы знаем, оси Ох' и Ог', если изображать их на евклидовой плоскости, симметричны, друг другу относительно биссектрис ММ' и А!А!' координатных углов первой системы. Ось ОУ можно рассматривать как график движения начала координат системы 5' относительно 5: для всех ее точек х'=О.
Наоборот, л ось 01 — это график движения начала координат системы 5 относительно 5'. Тангенс угла наклона оси ОУ к Ох по абсолютной величине равен х где,— = о — скорость двиРис. 24. жения системы 5' относительно 5. А так как 1о~ (с, то тангенс этот по модулю больше единицы, и значит, все временные оси 01 лежат внутри угла МОО1, а следовательно, все лространственные оси Ох — внутри угла МОл1'. Для прямых ММ' и УУ' имеем ~ — „~ = 1, т.
е. (о ( = с; во всех системах отсчета это — график движения со скоростью света. $8. Некоторые следствия нз формул Лоренца 1. Правило сложения скоростей. Из равенства (18) получаем ц' Вх' В!' вр = в! ' в! = вх и л! х' ь ссх иь +! +! ь ~/ ! х с "! с с' сх 1 с! некОтОРые следствия из ФОРмУл лОРенцА сзз ИЛИ и — о и =— ио з — — +1 С (1б) откуда и'+ о и= —, и'о — +1 С Это — новая формула сложения скоростей. Ес- ли и и о малы по сравнению с с, то и' — и — о. Если и = с, то из формулы (1б) получаем с — о о — — +! С и обратно, если и' = с, то и с+ о и= — =с о — +1 С о — — С +! С н о ! — — 1 С откуда (и, значит, из формул Лоренца вытекает закон постоянства скорости света).
2. Относительность одновременности, Предположим, что события Л и В в системе 5 происходят в один и тот же момент времени ! в точках с разными абсциссами х, и хв Тогда в системе 5' по второй из формул (15) этн события будут происходить в моменты времени 266 специальная тяотня относитальностн ~гл. ~х т. е. события, одновременные в одной системе отсчета, не будут одновременными в другой. Прн этом разность — может быть как положительной, так н отрицательной, в зависимости от знака равности х~ — хз.
(Это хорошо видно на чертеже: если события А и В одновре. менны в системе 3, то отрезок АВ должен быть папаллелен осн Ох, а если онн одновременны в системе 8, то он должен быть параллелен осн Ох'.) Больше того, даже последовательность событий может быть в системах 3 и 5' не одинаковой. Так, на рис. 24 события А н А' одновременны в системе 8 (АА')Ох), прнчем А' происходит, очевидно, позднее О, а следовательно, и А в системе 8 происходит после О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
