Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 49
Текст из файла (страница 49)
зг"-'). (Действительно, имеем: г-' (зг') г = = г"-' (зг") г = (г"-'з) г'+' = (зг) г" ы = зг"+з (см. равенство на стр. 311) — и значит зг" сопряжено с зг"+з при всех й.) Таким образом, общее число классов сопряженных л+3 элементов в группе 0„при нечетном и равно —, анри и четном и оно равно — + 3. Так, группа О, имеет 3 класса сопряженных элементов, группа 0, имеет 5 классов, А А А Г б д РГ' д) Рис.
32. группа 0з имеет 4 класса и группа 0«имеет 6 классов сопряженных элементов. Полезно еще заметить, что диэдральная группа 0„ порождается двумя «образующимитн элементами г и з со связывающими их «определяющими соотношениями» г"=е, з'=е, згз=г"-'. Все остальные соотношения между элементами этой группы вытекают из «определяющих соотношений». Так, например, зг'з = згз'гз = (згз) (згз) = г"-' =г" з,ит.д. й 5.
Группа вращений тетраэдра Т Рассмотрим правильный тетраздр АВС0. Он переходит в себя при следующих нетождественных поворотах: а) При поворотах вокруг каждой из осей типа АР (рис. 32, а), соединяющих вершину тетраэдра с цент- з14 гггппы симметеии геометгических фигее [гл. х~ 2н 4а ром противолежащей грани, на углы — и — '. Всего таз з ких вращений имеется 4 Р,'2 = 8. б) При поворотах на угол и вокруг каждой из трех прямых типа МйГ, соединяющих середины противоположных ребер (рис.
32, б). 1Так как Мй( 1. ВС, Мй( 1 АР, ВМ = МС и Ал( = ЖР, то при поворотевокруг прямой ММ на угол л точка В перейдет а С, С вЂ” в В, А — в Р и Р— в А.] Всего, вместе с тождественным поворотом, мы имеем 1+ 8+ 3 = 12 поворотов, при которых тетраэдр переходит в себя. Им отвечают, очевидно, такие подстановки вершин: (АВСО (АВСО (АВСО (АВСО) (АВСО) (АВСО АВСО ' АСОВ ' АОВС ' СВОА ' ОВАС ' ВОСА ' (ОАсв) (всАО) (сАвО) (вАОс) (сОАв) (ОсвА). Нетрудно убедиться в том, что все эти подстановки— четные (проверьте это!), и значит, соответствующие им повороты действительно образуют группу Т, изоморфную, очевидно, знакопеременной подгруппе А4 симметрической группы Вз.
Условимся о такой терминологии. Если данная кон. фигурация переходит в себя при повороте вокруг оси 1 2н 2н на угол — (причем — это н а и м е н ь ш и й такой не- а Ф нулевой угол), то ось 1 будем называть осью симметрии й-го порядка. 2я Поворот вокруг оси 1 на угол — будем обозначать символом с, (часто и сама эта ось обозначается через 2я с,), поворот на угол — 2 тогда естественно обозначить через с~а, и т. д. Найдем теперь классы сопряженных элементов группы Т. Каждая из осей симметрии третьего порядка может быть преобразована в любую другую ось третьего порядка при повороте, например, вокруг одной из осей второго порядка. Так, при повороте вокруг оси ММ (рис.
32, в) точка А переходит в Р,  — в С, С в в В и Р в А. Плоскость ВСР переходит в плоскость ВСА, ГРУППА ВРАЩЕНИЯ КУБА О 3!5 4 в! центр Р грани ВС0 — в центр Я грани ВСА и ось АР— в ось РС/. Таким образом, все оси третьего порядка (типа АР) эквивалентны между собой, и все повороты вокруг них 2я на углы — между собой сопряжены. Число таких пово- 3 ротов равно 4, и соответствующий классе сопряженных элементов можно обозначить через (4са).
Точно так же сопряжены между собой и 4 поворота вокруг тех же 4л осей на углы —; соответствующий класс можно обоз- 3' начить через (4с',1. Но повороты са и с', ие сопряжены между собой, так как это — повороты на р а з н ы е углы. Далее, каждая из осей второго порядка (типа М/у) переходит в любую другую при одном из поворотов вокруг осей третьего порядка; значит, все оси второго порядка между собой эквивалентны, и три поворота вокруг этих осей на угол и между собой сопряжены.
Этот класс можно обозначить через (Зсэ). Учитывая, что тождественное преобразование составляет отдельный класс, мы получим в группе Т четыре класса сопряженных элементов, состоящих из одного (е), четырех (4сэ), четырех (4с',) и трех (Зсэ) элемвнтов. $6.
Группа вращений куба О Легко видеть, что куб переходит в себя при следующих нетождественных вращениях: а) При трех поворотах иа углы я/2, и и Зя/2 вокруг каждой из трех прямых типа Мй! (рис. 33, а), соединяющих центры противоположных граней (оси симметрии четвертого порядка). Всего таких поворотов 3Х 3 = 9. б) При двух поворотах вокруг каждой из четырех диагоналей (осей симметрии третьего порядка, рис. ЗЗ, б) на углы 2п/3 и 4л/3 (правильный треугольник АС/!' при этом переходит в себя). Всего таких поворотов 2Х4 = 8.
в) При шести поворотах на угол я — вокруг каждой из прямых типа Рб/ (рис. ЗЗ, в), соединяющих середины 315 ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР [ГЛ, Х1 противоположных ребер (оси симметрии второго порядка). Всего, вместе с тождественным преобразованием, мы нашли 1+9+8+6 = 24 поворота, при которых куб переходит в себя. Из доказываемой ниже теоремы будет вытекать, что это — в с е вращения, при которых куб переходит в себя.
Ю С А А В В ,( 1 К вЂ” — — ' -)- — — — С' В А' В 4 В' а) Рис. ЗЗ. Т е о р е м а. Группа О вращений куба изоморфна симметрической группе 5, (и значит, порядок этой группы равен 24). Доказательство. При каждом повороте, при котором куб переходит в себя, каждая его диагональ переходит в одну из диагоналей. У куба 4 диагонали, поэтому каждому вращению куба отвечает определенная подстановка его диагоналей, а произведению вращений — произведение соответствующих подстановок.
Остается доказать, что разным вращениям куба отвечают разные подстановки диагоналей. Действительно, если два разных вращения сс и р куба приводят к одной и той же подстановке диагоналей, то при (нетождественном) повороте ар ' каждая диагональ куба переходит в себя (хотя, возможно, меняются местами концы некоторых диагоналей).
Покажем, что такое вра. щение, при котором каждая диагональ куба переходит в себя, является тождественным. Предположим, что при повороте у все диагонали куба перешли в себя. В частности, перейдут в себя диагонали РВ' и В0' (рис. 34), а тогда перейдет в себя ГРУППЫ БРАШЕИИП КУБА О згт 4 41 и содержащая их плоскость РВВ'Р'. Значит, ось этого вращения либо лежит в плоскости РВВ'Р', причем поворот этот — на угол и, либо к ней перпендикулярна. Но в первом случае переходят в себя только прямые, направленные по оси вращения, и прямые, перпендикулярные к осн.
Однако прямоугольник РВВ'Р' — не квад- Ю С рат, и значит, его диагонали не перпендикулярны друг дру- А гу. Во втором случае, т. е. если ось вращения перпендикулярна плоскости РВВ'Р', она сов- р падает с прямой Р(~, а тогда не переходят в себя (переставляются) диагонали АС' н А'С. В Таким образом, группа вра- Рис. 34. щений куба изоморфна симметрической группе В4. Найдем теперь, как элементы группы 0 разбивают. ся на классы, сопряженных элементов. Три оси симметрии четвертого порядка, очевидно, эквивалентны, и значит, повороты вокруг них на углы и/2 сопряжены между собой.
Далее, эти оси являются д в ус т о р о н н и м и (опрокидываются при поворотах на угол и вокруг других осей четвертого порядка), и значит, повороты вокруг них на углы Зп/2 тоже сопряжены не только между собой, но и с поворотами на углы и/2. Поворот на угол и/2 можно обозначить через с4, поворот на угол Зп/2 — через с,'. Мы нашли класс, состоящий из шести элементов, который можно обозначить символом (Зе„Зс,'(, или даже, короче,— символом (бе4). Все повороты вокруг тех же осей четвертого порядка на углы и/2 ° 2 = и сопряжены между собой (и только между собой).
Число таких поворотов равно 3, соответствующий класс можно обозначить через (Зс']. Далее, все оси третьего порядка (диагонали) между собой эквивалентны (переходят друг в друга, например, при поворотах вокруг осей четвертого порядка). При этом каждая диагональ является двусторонней осью (опрокидывается при поворотах вокруг перпендикуляр- 3!В ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР !ГЛ. Х! ных к ней осей второго порядка. Значит, все 8 поворотов вокруг диагоналей на углы 2п!3 и 4я/3 сопряжены между собой. Соответствующий класс можно обозначить через [4с„4с',), или просто через (8сз).
Наконец, шесть осей второго порядка переходят друг в друга, например, при поворотах вокруг осей четвертого порядка, и значит, все шесть поворотов вокруг иих на угол и сопряжены между собой. Этот класс можно обозначить (бсз). Учитывая отдельный класс, образуемый тождественным преобразованием, получаем всего пять классов сопряженных элементов, состоящих из одного (е), шести (бс4), трех (Зс1), восьми (8са) и шести (бст) элементов. 6 7.
Группа симметрии тетраэдра Тл Кроме семи осей симметрии правильный тетраздр имеет шесть плоскостей симметрии. К 12 вращениям, при которых тетраэдр переходит в себя (и которые отвечают, как мы видели, четным подстановкам его вершин), добавим одну из симметрий, например, симметрию относительно плоскости АОМ (рис. 35) — ей соответствует А (нечетная) подстановка /АВС04 4,АСВВ! вершин тетраэдра. Если умно! жить эту симметрию на каж! дый из 12 поворотов, при кото! рых тетраэдр переходит в се- бя, мы получим еще 12 преоб-  — — ~ — = я разований, отвечающих нечет- Р ным подстановкам вершин.
Среди них будут 6 «чистых» ь" симметрий и 6 произведений Рис. 35. поворота и симметрии. Кроме этих 24 преобразований, не существует никаких ортогональных преобразований, при которых тетраэдр АВС0 переходит в себя (в частности — никаких вращений, кроме рассмотренных в 4 5), так как каждое такое преобразование отвечает определенной подстановке его вершин и, значит, совпадает с одним из уже определенных преобразований. Таким об- з|в ГРУППА СИММЕТРИИ КУБА ОЬ ам разом, группа симметрии тетраэдра Т, изоморфна симметрической группе 5, и, значит, она, изоморфна группе вращений куба О. Поэтому эта группа тоже состоит из пяти классов сопряженных элементов, содержащих 1, 6, 3, 8 и 6 элементов.
Найдем, как распределяются элементы группы Т, по этим классам. В группе Т, класс из трех элементов образуют, очевидно, повороты вокруг осей второго порядка (Зсз). Класс из 8 элементов состоит из всех поворотов вокруг осей третьего порядка: (4с», 4с,'); повороты вокруг осей третьего порядка на углы 2И/3 и 4п(3 в группе Т не сопряжены, а в группе Т, они оказываются сопряженными, так как если з — симметрия, скажем, относительно плоскости АМР, а г — поворот относительно оси АР, лежащей в этой плоскости на угол а, то егз есть поворот вокруг той же самой оси АР на угол — а.
В нашем случае это доказывается следующим равенством: (АСВВ) (АСВВ)(АСВО) = (АОВС) и значит, эгэ = г-', Далее, 6 симметрий относительно плоскостей вида АРМ, очевидно, сопряжены между собой (эти плоскости «эквивалентны» — при поворотах переходят друг в друга), они образуют отдельный класс; обозначим его (6о). Остальные 6 преобразований — произведения поворота и симметрии тоже, следовательно, образуют отдельный класс (бо').
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
