Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Далее, имеем Г(о)[1= йь Г(я')[~ = — [ь Г(из)[, = — 1[ь Г (а) [з = — 1[ь Г(а') Ь = — [з, Г(а') [т = йт. Таким образом, в базисе [ь [т матрицы представления Г будут иметь вид Г (е) = [ ], Г (а) = [' ], Г (аз) = [ Г(.)=[-' О], н представление Г оказывается прямой суммой двух одпочерных представлений; Г,(е) = 1, Г,(о) = 1, Г,(а') = — 1, Г,(а') = — 1 Гз(е) = 1, Гт(а) = — 1, Г,(о') = — 1, Г,(оз) = г' Легко Видеть, что из любых двух представлений группы сх всегда можно составить представление, являюи(ееся их прямой суммой. Заметим также, что если представление Г~ группы ст изоморфно Г, и Г, изоморфно Г„то прямая сумма Г = Гг 9 Г, изоморфна Г' = Гт 9 Га УНИТАРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ззз $ и Действительно, пусть гт„гтм Лм Аг, — соответственно пространства представлений Г„ГН Г„ГН Тогда существуют изоморфные отображения М1 пространства )г, на гг, и Яе — пространства Р, на Й, такие, что ЯТГт = Г,Я, и УУ,Г, = Г,УУ,.
Пусть, далее, тг = Я, 9)тт и Л'=Ят 9 й,— пространства представлений Г и Г'. Тогда отображение АВ с матрицей И- [и где Н,— матрица отображения Мь ~ = 1, 2, в соответственно выбранных базисах, будет, очевидно, изоморфным отображением пространства )т на )т'. Далее, ясно, что — матрицы представлений Г и Г', и мы имеем, очевидно НГ= — [,',] [,' .] = ги, а значит, представление Г изоморфно Г. Аналогичное утверждение справедливо, конечно, и для любого числа слагаемых Гь й 5.
Унитарное представление. Приводимые и иеприводимые представления Определен не 5. Представление Г группы 6 называется унитарным, если в пространстве представления Я можно так определить скалярное произведение, что это пространство станет евклидовым, а все операторы Г(а), где а ги 6, будут унитарными. Л е м м а. Каждое представление конечной группы является унитарным.
333 ЛИНЕПНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП (ГЛ. Хг! Доказательство. Можно считзть, что пространство )!— евклидова: мы просто положим, по определению, скалярное произведение векторов х х,е» + х,ет + ... +х е„ и у = у,е» + утеэ + ... ... + у„е равным (х у) = х»у»+ хэуэ+ ° ° ° + «„у„ Ясно, что относительно этой метрики пространство )! будет евклидовым, з базис еь еэ,..., е„ вЂ” ортонормированным, так как (е», е,) 1 для всех » и (е», е») = О при » Ф /. Если в этой евклидовой метрике все преобразовании Г(а) уии.
тарны, то наше утверждение доказано. В противном случае мы изменим скалярное произведение в )<, полагая, по определению, <х,у) = ~ЧР„(Г(а) х, Г(а)у), (2) ам О где суммирование ведется по всем элементам а группы О. (В формуле (2) <х, у) — новое скалярное произведение векторов х и у, в (х, у) — старое скалярное произведение.) Проверим, что функция ( , > удовлетворяет всем условиям, которые должны выполняться для скалярного произведения в комплексном евклидовом пространстве. Имеем !. (у, х) = Ч~', (Г (а) у, Г (а) х) = ~нр~ (Г (а) х, Г(а) у) = ам О амо ~~>~ (Г (а) х, Г(а) у) = <х, у).
ам а 2. (ах, у) = ~нр~ (Г (а] (ах), Г (а) у) = аОО ~яр~ а(Г(а) х, Г(а)у) = а ~и~~ (Г(а) х, Г(а) у)= а(х, у). аОО ама 3. (х! + хз, у> = ~ (Г (а) (х, + х,), Г (а) у) = аОО = ~ (Г (а) х„Г (а) у) + ~ (Г (а) хэ, Г (а) у) = <х,, у> -(- (х,, у). аша аЫО 4. Если вектор х Ф О, то так как оператор Г(а) — невырожден. ный, то и Г(а)х чи О, а тогда (Г(а)х, Г(а)х) ) О, и значит, вся сум- ма ~ (Г(а)х, Г(а)х) больше нуля С другой стороны, если х О, аОО то <х, х>, очевидно, равно О. Таким образом, скзляраый квадрат (х, х> ) О н из равенства (х, х> = О вытекает, что х = О. Покажем, что е новой метрике вге операторы, соответствующие элементам группы О, унитарны, т.
е. что (Г(Ь)х, Г(Ь)у> = = (х, у> для каждого Ь ен 6. Действительно, (Г (Ь) х, Г (Ь) у> = ~к>~ (Г (а) Г (Ь) х, Г (а) Г (Ь) у), а»ка унитАРИОВ пРедстАВление Ь з! Но Г(а)Г(Ь) = Г(аь), твк квк à — представление группы О, и пос. ледняя сумма равнэ,~~ (Г(аЬ) х, Г(аЬ) у). Йвлее, если а пробеаео гает все элементы (конечиой0 группы ба а=а>,а,,аэ,...,аэ, в Ь вЂ” один из этих элементов, скажем, Ь =- аь то произведения.
аЬ = а,а>, аэа>, аэа> , аэа> — это тоже все элементы группы б, но взятые, вообще говоря, в ккком-то другом порядке (из равенства аэа> = а,а> немедленно вытекало бы, что аэ = а>). Следовательно, ~ (Г (аЬ) х, Г(аЬ) р) = ~Р~ (Г(а) х, Г (а) Е) = (х, у) ее а омо и окончательно <Г(Ь)х, Г(Ь)у) = (х, у>. В дальнейшем, говоря о представлении (конечной) группы, мы всегда будем пользоваться тем, что оно унитарно. О и р е д е л е н и е 6. Представление Г группы б в пространстве (с называется приводимым, если в )с имеется нетривиальное (т.
е. отличное от всего пространства )с и от «пространства размерности О», образованного нулевым вектором) подпространство )тг, инвариантное относительно б (т. е. инвариантное относительно всех преобразований Г(а), где а гн б). Если такого подпросгранства нет, то представление Г неприводимо. Ясно, что одномерное представление всегда неприводимо. Т е о р е м а 1. Пусть à — приводимое представление конечной группы б в пространстве )с и )с — подпространство )х>, инвариантное относительно группы б. Тогда найдется такое, тоже инвариантное относительно б, надпространство ггз, что Я=Я>9йз.
(Таким образом, для того чтобы представление к о н е чной группы было разложимо в прямую сумму подпредставлеиий, необходимо и достаточно, чтобы оно бы. ло приводимым.) Доказательство. По лемме мы можем считать пространство )т евклидовым, а все операторы Г(а), соответствующие элементам группы б,— у н и т а р н ы м и. 333 лг!Иейные пРедстАВления конечных ГРупп Шл. хн Тогда ортогональное дополнение )1а = В~! подпространства В! тоже инвариантно относительно группы 6 (см. стр. 182) и )с = )т! Ю Вз (см. стр. 156). Дли бескокечных групп последняя теорема, вообще говоря, неверна.
Рассмотрим бесконечную циклическую группу — аддитивную группу целых чисел. Отображение Г, ставншее в соответствие числу й матрицу Г (й) [1 01 является (двумерным) представлениехг этой группы, так как Г (й) Г (лг) = ~ ~ ~ ~ = ~ ~ = Г (й + л!). Одномерное подпространство (ед инвариантно относительно всех преобразований Г(й), но длн него не найдется инвариантного дополнительного подпространства, так как (двумерное) пространство )г представлении Г не имеет никаких других подпространств, инвариантных относительно Г(й). Действительно, собственные значении преобразования Г(й) находятся из уравнения 1 — Л О ~=(! — Л)э=о, и значит, Л,, = 1.
Соответствующие собственные векторы удовлет- ворнют уравнениям Ох, + Оха = О, йх, + Охз = О, т. е. х, = О, в это — только векторы, коллинеарные е,. Т е о р е м а 2. Всякое представление к о н г ч н о й группы либо неприводимо, либо является прямой суммой неприводимых представлений. До к аз а тельство.
Если представление Г группы б в пространстве )с приводимо, то, по теореме 1, его можно разложить в прямую сумму представлений меньших размерностей. Если какое-нибудь из слагаемых приводимо, с ним поступим так же, и т. д. Этот процесс не может продолжаться до бесконечности, так как размерности слагаемых уменьшаются, а размерность пространства представления конечна. Окончательно наше представление разложится в прямую сумму неприводимых представлений: г=г ег в...вг.
РЯГуляРнОе ПРедстдвление 339 з 61 $ 6. Регулярное представление Для каждой конечной группы можно построить так называемое р е г у л я р н о е представление, играющее важную роль в общей теории представлений групп. Пусть аь ам ..., а,— все элементы группы 6. Рассмотрим й-мерное векторное пространство Й, элементы базиса которого поставим во взаимно однозначное соответствие элементам группы гг; короче говоря, мы просто перенумеруем элементы базиса элементами группы 6: е,„е,„...,е, . Далее, положим, по определению, Г(а,)е„у = е.г. Мы получим й-мерное п р е д с т а в л е н и е группы О, так как Г (ач) Г (а;) е,, = Г (ад е,, = е,г(,,) = е(...,), = Г (агау) е...
т. е. для всех базисных векторов е,„е,„..., е,д— а значит, и для всех векторов х пространства )г,— имеем Г(а,) Г(а,)х = Г(ага,)х; следовательно, Г(а,)Г(а,) = Г(а,а,). Определенное таким образом представление группы О и называется ее регулярным представлением. Рассмотрим несколько п р и м е р о в. 1, Регулярное представление группы Ст.
Пусть е и а — элементы группы, причем аа = ее). Пространство представления будет двумерным с элемен- тами базиса е, и е.. По определению, Г (е) е, = е„ Г (е) е, = е„ Г (а) е, = е„ Г (а) е, = е,. = е„. и соответствующие матрицы имеют вид Г(н) =~ ], Г(а) =~ ') Здесь гг далее мы часто будем обозначать единицу группы 0 греческой буквой а, а не латинской буквой е. з»о линвиныв певдстлвлвння конечных геэпп !гл.
хп 2. Регулярное представление группы С». Здесь элементы группы е, а, аг, а' и базис пространства представ. ленни образуют четыре вектора е„е, е,*, е; Г (а) е,» = еы, Г (а) е,» = е,; Г (а') е,* = е„Г (а') е,* = е„! Г(а') е, = е„Г(а') е,* = е»», соответствующие матрицы имеют вид О О о 1 оо»о о»оо 3. Регулярное представление группы У. Элементы группы е, а, Ь и аЬ = Ьа, причем а' = Ь' = е; базис пространства представления е„е„е», е.». По определению, Г(а)е, = е., Г(а)е,= е„Г(а)е,= егы Г(а)е.,= е,; Г(Ь) е, = е„Г(Ь) е, = — е.„Г(Ь)е, = е„Г(Ь)е., = е„; Г(аЬ)е,= е.„Г(аЬ)е,= е„Г(аЬ)е, = е., Г(аЬ)е„= е„ соответствующие матрицы имеют вид ~!!!~ц!!~ П 4.
Регулярное представление диэдральной группы 0». Здесь элементы группы е, г, га, э, зг, зг', причем гз=з»= = е, гз = зг', Базис пространства представления е„е„, е„., е„е,„, е»»». Проверьте сами, что соответствующие матрицы имеют вид По определению, Г(а)е,=е„, Г(а)е,=е4ь Г (а') е, = е,», Г (а') е, = е,*, Г (а') е, = евн Г (а') е, = е„ ! ~!!) ооо! оо»о о!оо ооо йл Функгтии. определенные на ГРуппе 34! ооо ооо ооо о о о|о о о о о о о о ~ о о о о ооо ооо ооо ооо ооо оот о о ото 1оо о~о о о ооо ооо ооо При я 'з 1 регулярное представление и р и в о д и м о, так как, например, одномерное подпространство, порожденное вектором( = е,, + ее, + ... + ее„, инвариантно относительно группы 6: при всех г Г(аг)г = Г(ат)(еч, +ее, + ... + е,„) = =е„„+ е„.„+ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
