Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Тогда для каждого неприводи мого представления Г, группы Х 1(О)Г1(О) =+()(и1)П=О, аЕО где О есть нулевой оператор. Покажем, что сумма ~ 1(а) Г(а) = О и в том случае, когда представление аЕ6 Г при водимо. Действительно, пусть Г является суммой, например, двух (неприводимых) представлений Г, и Гг. Тогда в соответственно выбранном базисе матрицы представления Г имеют вид 1 г (а) о ~о г (а) где Г,(и) — матрица представления Г, в пространстве представления )га 1= 1, 2. Но так как 2", ~(и)Г,(О) = О и К 1(а)Г,(О) = О, аЕО аЕО 1За ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ (гл. хи! ТО И )' Г (а) Г (а) = «~ ~1 (а) (Г 1 аав ~О Г (а)1 ~ч-а~ ~ /(а) Г (а) О О ( (а) Га(а) ~ч~~ т'(а) Г (а) О О.
О ~Ч~ ) (а) Г (а) аео Аналогичное утверждение верно и для любого числа слагаемых, т, е. для любого представления Г группы О и любой центральной функции ), ортогональной ко всем характерам неприводимых представлений этой группы, имеем ~ 1" (а) Г(а) = (у. аео Пусть теперь Гь — р е г у л я р н о е представление группы О, а„аы ..., а,— все ее элементы (а~ е— единичный элемент), е,„еа„..., е, — базисные векторы пространства представления )т. Применим оператор Х )'(а)Га(а) (являющийся, по доказанному выше, нуаеа левым оператором) к вектору е,, Мы получим ~ 'Г (а,) Г, (а,) еж = Х 1 (а~) е, = бт. авэо агав Но так как векторы е„линейно независимы, то 1(а,) = О для всех 1= 1, 2, ..., й, и значит, 1(а,)= 0 для всех а,~ О, т.
е. функция ) на группе О тождественно равна нулю. Теорема 4, Каждая центральная функция на группе О является линейной комбинацией характеров неприводимых представлений этой группы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть У вЂ” пространство всех центральных функций, определенных на группе О, и У~ ()(и )(м ..., )(Р) — его подпространство, порожденное характерами всех неприводимых представлений, Тогда Фн пРедстАВления коммутАтиВнои ГРуппы 365 пространство У равно прямой сумме подпространства У< и его ортогонального дополнения У~1: У = УГ <Т< У~Г.
Однако Ут =10), так как каждая центральная функция, ортогональная ко всем 11„ равна нулю. Следовательно, У= Уь т. е. характеры неприводимых представлений группы 6 образуют в пространстве всех определенных на нгй центральных функций (ортонормированный) базис — каждая центральная функция является линейной комбинацией характеров. Т е о р е м а 5. Число попарно нгиэоморфных нгприводимых представлений группы 6 равно числу классов сопряженных элементов этой группы. По предыдушей теореме, размерность пространства всех центральных функций, определенных на группе 6, равна числу неприводимых и неизоморфных между собой представлений этой группы.
В то же время размерность пространства центральных функций равна числу р классов сопряженных элементов группы 6 (стр. 343), откуда и следует утверждение теоремы. Окончательно мы имеем соотношение й=п,+и,+ ... +пэ, где й — порядок группы 6, и,— степень неприводимого представления Гь р — число классов сопряженных элементов группы. Все и, являются делителями й и по крайней мере одно из них равно 1. $ 6. Представления коммутативной группы Если группа 6 коммутативна (и только в этом случае), число р ее классов сопряженных элементов равно порядку й группы. Из равенства й = пт + пт + ... + ПА следует, что все 1целые положительные) числа и, равны 1, т. е. что всг нгприводимыв представления коммутативной группы одномерны, причем число их равно порядку группьи Обратно, если все неприводимые представления группы одномерны, т.
е. если все п, = 1, то число р классов сопряженных элементов равно порядку й группы, и группа коммутативна. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 1гл. ХИ! Итак, для того чтобы группа 4х бьиа коммутативной необходимо и достаточно, чтобы все ее неприводимыв представления были одномерны (имели степень 1). Из зтого результата, в частности, вытекает, что для групп См С4, 'Р' выше (на стр. 326 — 327) были найдены в с е их неприводимые представления. й 7. Представления циклических групп Пусть ф— циклическая группа порядка и, состоящая из злементов е, а, аз, ..., а'-1, где а" = е.
Так как группа С„коммутативна, то все ее неприводимые представления одномерны, причем число неизоморфных между собой неприводимых представлений равно и. Пусть Г(а) = а; тогда Г(а!) = аз, Г(аь) =аз, ..., наконец, Г(а") = а" = Г(е) = 1. Следовательно, а" = 1 и а есть корень и-й степени из 1. Положим 2л .. 2л а = соз — + 15!и —. л л Тогда 1, а а' = соз — 2+1з)п — 2, ...
2л 2л л л 2л 2л ...,а"-' = соз — (и — 1) р ! з|п — (и — 1) л л — все корни и-й степени из 1. Это дает и одномерных представлений группы С„, совпадающих со своими характерами 211, 1(1,..., у.. л! аз! пгвдстхвлания диэдвхльных гегпп 337 Полученные представления, будучи одномерными,— неприводимы: Так как )(ь уь ..., )(„— различны, то эти и представлений попарно неизоморфны (п. 3, стр.
355). Таким образом, мы нашли все л неиземорфных между собой неприводимых представлений циклической группы С.. $8. Представления диэдральиых групп л Диздральная группа Р„при четном п имеет — 4-3 классов сопряженных элементов, а при нечетном а число классов сопряженных элементов этой группы равно а+3 2 Для четного и имеем 2п = 1' 4 + 2' ( — — 1) (число слагаемых в правой части равно 4+ — — 1 = л 2 з = — + 3) — и, значит, группа Р„имеет 4 одномерных и а — — 1 двумерных неприводимых представлений. Для нечетного п 2п=1'. 2+2' —" 2 (число слагаемых здесь равно 2+ — = — )— л — 1 а+3 2 2 л — ! и группа имеет два одномерных и — двумерных не- приводимых представлений. 1.
Рассмотрим сначала случай, когда и = 2пг четно. Элементы группы Р. = Р, выше мы обозначали так: е,г,гз,,ге ',з,зг,згз,...,згз-!. Они следующим образом разбиваются на — + 3 = !и + 3 2 ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 388 ~гл. х!п классов сопряженных элементов: (е), (г, гх"-1), (гх, гх -х), ..., (г"-', г"11), (г"*) (з згз згх -х) (зг згз згг -1) Обратим внимание на то, что элементы 1 ' и г +' сопряжены между собой. Пусть à — одномерное представление группы Р„с характером у и Г(г) = т(г) = а.
Тогда Г(г" ') = т(г" ') = а" ' и Г(г"+') = т(г"+1) = а "'. Но характер на сопряженных элементах принимает одинаковые значения; поэтому а" ' = а +'. Так как а Ф О, то аз = 1 и а = ~ 1. Если, далее, Г(з) = р, то Г(з') = =йз = 1, т. е. р = ~ 1. Это дает 4 одномерных представления (совпадающих со своими хзрактерами): или короче, Легко видеть, что эти представления непри води. мы н попарно неизомор фи ы. Для того чтобы найти д в у м е р и ы е представления группы Р„, заметим, что так как Р„является группой 5 В! представления диэдрлльных групп 369 преобразований плоскости, то она сама и будет одним из своих представлений (основным). Выпишем соответствующие матрицы.
Если г — поворот вокруг начала координат на угол 2л — а з — симметрия, скажем, относительно оси Ох, то 2л соз — И 2л ып — И л Г (с) = ~ ,1, Г (г') = 2л — 5!п — И и 2л с 2л С05 И п 2л — 5!и И и Г(з) = 1о !1, Г(зг") = Г! о1 где И = О, 1, 2, ..., и — 1.
Другие представления этой группы можно получить, 2л. отнеся элементу г поворот на угол — „'2, на угол 2л 2л — 3, ..., наконец, на угол — „(т — 1). Так мы полул чим т — 1 = — — 1 представлений Гп Г„..., Г в, где 2л — 5!и — ИИ л 2л 2л — 51п ИИ л 2л — соз — ИИ л 2л С05 ИИ л 2л — 510 Ий Л здесь И = 1, 2, ..., лв — 1, А = О, 1, 2, ..., л — 1 (при И = 1 получается выписанное выше представление Г = = Г,).
Характер представления Гв: ув (гв) = 2 соз — йй, ~в (згв) = О. 2л л Кроме найденных гл — 1 представлений Гь Гв, ..., Г и каких. либо новых представлений мы таким путем не получим, так как если 2л элементу г поставить в соответствие поворот на угол — .ги = л л то это представление будет приводимым, ибо прн таком преобразо- Гв(гв) = Г„(хг") = 2л С05 ИИ 2л 5!п — ИИ и 2л ип — И л 2л С05 И И !гл.
хш теория хлрлктввов зуо ванин (центральная симметрия) все векторы пространства являются 2н 2л собственными. При поворотах жена углы — (и+ !), — (и+ 2), ... л В ..., и т. д, получатся представлеаин, иаоморфиые уже найденным представлениим Гл. Итак, мы нашли все — — 1 двумерных представлений группы Р„. Эти представления н е п р н в о д и м ы, так как одномерных подпространств, инвариантных, на2н пример, относительно поворота на угол — й, где й = = 1, 2, ..., пт — 1, не существует. Ясно также, что найденные представления Г, попарно н е и з о м о р ф н ы (и.
3, стр. 355). П. Пусть теперь п = 2т + 1 н е ч е т н о. Элементы группы Р„следующим образом разбиваются на классы сопряженных элементов: (е), (г, г'") (г' г' -'), ..., (г , г "),(з, зг, ..., згя -'), Найдем сначала два о д н о и е р н ы х представления. Если Г(г) = а, то Г(г") =а'", Г(г"+') = ы"'+', и так как элементы г" и г"+! сопряжены между собой, то а" = = а"+!, откуда а = 1. Далее, если Г(з) = (1, то Г(зв) = = рв = 1 и (! = ~1.
Так мы получаем два одномерных представления (совпадающие со своими характерами): Хг или, короче, агь Пг +! 1 в1 пРедстАвления диэдРАльных ГРупп 371 Д в у м е р н ы е представления этой группы находятся так же, как в случае четного л (см. п. 1). А именно, имеем 2л 2л С05 ИИ вЂ” 5!П 1й Л Л 2л 2л 5!П ИИ Ссв 1й Л Л где Ь = 1, 2, ...
Пв, л = О, 1, 2, ..., л — !. Характер И-го представления ти(гв)=2соэ — „" йй, ур,(ег") = О. Все эти представления неприводимы и попарно не иэо. морф ны. Выпишем полностью таблицы характеров для групп 05, 0„ 05. При л = 4 группа 05 имеет 4 одномерных и одно двумерное представления.
Их характеры: ГА(гв) = Гв(аг") = 2л сов — ИИ Л 2л — 5!П ИИ Л 255 — МП вЂ” ИИ Л 255 — сов — „1й ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 372 [ГЛ. Хп! При л = 6 группа имеет 4 одномерных и 2 двумерных представления с характерами: — — х х Наконец, группа 05 имеет два одномерных и два двумерных представления. Их характеры: хх х х 2л 2 са5— 5 4л 2 са5 5 ! 4л 2 С05 5 2л 2 С05 5 5хй 4=0,1,2,3,4 $ И ХАРАКТЕРЫ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ ТЕТРАЭДРА 373 9 9.
Характеры группы вращений тетраэдра Число классов сопряженных элементов этой группы равно 4, порядок ее равен 12. Так как ! 2 = 1'+ 1'+ 1' -1- 3', то группа имеет три одномерных и одно трехмерное представления. Найдем о д н о м е р н ы е представления. Пусть Г(сз) = а. Тогда Г (с,') =а' и Г(с,') =сАА=1.Следовательно, и — кубический корень из 1. Пусть Г(се) = р; тогда Г(с,') = ()'= 1 и р = ~ 1. Но характер каждогонеприводимого неединичного представления должен быть ортогонален характеру единичного представления, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
