Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 57
Текст из файла (страница 57)
е. 1+ 4а+ 4из+ Зр = О, (2) 4 (1+ а + аз) + 3 (3 — 1) = О. Л так как а' = 1, то прн сс чь 1 имеем 1+ а+ аз = О, и, значит, р = 1 (Заметим, что для неединичного представления и не может равняться 1, так как в этом случае из равенства (2) вытекало бы, что (1 = — 3, что невозможно). Итак, мы нашли характеры трех одномерных представлений группы Т: Ел .. 2п где а = соз — +(з(п —. Эти представления неприводи- 3 з' мы и попарно неизоморфны. Далее, так как группа Т является группой преобразований трехмерного пространства, то она и будет одним ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 1гл.
Хш зп из своих представлений. Мы не будем находить матрицы итого (основного) представления в каком-нибудь фиксированном базисе, но ограничимся тем, что найдем только х а р а к т е р представления. Это приводит к значительным упрощениям, потому что след матрицы линейного преобразования не зависит от базиса, и мы можем для каждого преобразования выбирать базис так, чтобы его матрица выглядела возможно проще. Особенно удобно принимать ось вращения за одну из координатных осей. Так, если принять ось вращения за ось Ог (а оси Ох и Оу, ортогональные оси Ог и между собой, выбрать произвольным образом), то матрицы поворотов на углы 2л 4и — и — соответственно будут иметь вид 3 3 1 2 1 — Р'й 2 о ! — — Уз о 2 ! 2 о о 1 2 1 — — ~/3 2 о 2УЗ О 1 1 г о о Следы их равны нулю.
Матрица поворота вокруг оси Ог на угол и имеет след, равный — 1. Это дает характер трех м ер- ного представления группы Т: Соответствующее представление неприводнмо, так как (Хо Х4) = !2(9+ 3) = 1, 1 и не изоморфно, очевидно, ни одному из предыдущих, $!01 ХАРАКТЕРЫ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ КУБА зтз $10. Характеры группы вращений куба н группы симметрии тетраэдра Число классов сопряженных элементов группы вращений куба О равно 6, порядок ее 24. Из равенства 24 1з + 1т -(- 2Т + 3' + Зз видим, что группа имеет два одномерных, одно двумерное н два трехмерных представления. Найдем нх характеры. Группа О изоморф на группе 5, подстановок нз четырех элементов. Подстановки бывают четные и нечетные. Произведение двух подстановок одинаковой четности — четно, произведение подстановок разной четности — нечетно.
Поэтому для группы 5з (как ндля каждой симметрической группы) мы сразу получаем два одномерных представления — единичное и такое, которое всем четным подстановкам ставит в соответствие 1, а всем нечетным подстановкам — 1. Каким же вращениям куба отвечают четные подстановки? Выше мы нашли, что группа О состоит нз 6 классов сопряженных элементов, содержащих один, шесть, три, восемь и шесть элементов. Четные подстановки образуют Б группе 5з нормальную подгруппу 12-го порядка. Но нормальная подгруппа должна содержать целиком. несколько классов сопряженных элементов. Кроме того, единичный элемент обязательно должен в нее войти.
Следовательно, кроме единицы, в зту нормальную подгруппу войдут элементы, образующие классы из восьми и т ех элементов, осемь элементов образуют повороты вокруг диагоналей на углы 2п/3 н 4п/3 — класс (Зсз). Трн элемента — это повороты вокруг осей четвертого порядка на угол п — класс [Зс,'!. Остальные элементы группы: класс, состоящий из 6 поворотов вокруг осей четвертого порядка на углы и/2 н Зп/2,— это (бс,), н класс, состоящий нз 6 поворотов вокруг осей второго порядка — (6сх), !гл. хш ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ зта Итак, характеры о д н о м е р н ы х представлений группы О: Чтобы найти характер Х! одного из трехмерных представлении группы О (а она сама является одним из своих трехмерных представлений), снова будем каждый раз ось вращения принимать за ось Ог.
Так мы получим матрицы 1 2 — Уз 1 2 о — — 1"з о 1 2 1 2 о Г(е)= о ! о, Г (с,) = о Го — ! о1 Г-1 о о1 Г(с,)=~! О О~, Г(с',) =-Г(с,)=~ Π— ! О~. "О О ! О О 1~ Соответствующий характер у,(е) = 3, т,(с,) = О, )1,(с,') = — 1, Х4 (с4) 1 Х4 (сз) 1 Далее, если мы уже имеем одно трехмерное представление группы О, то второе можно получить следующим образом: не изменяя преобразований соответствующих четным подстановкам, все остальные умножим на — 1. Покажем, что при этом мы снова получим представ.
ление группы О. Пусть первое (трехмерное) представление обозначено через Г, второе — через Г', и пусть а, Ь !и О, тогда Г (аЬ) = Г (а) Г (Ь). Если оба элемента а и Ь отвечают четным подстановкам, то и элемент аЬ тоже отвечает четной подстановке; при этом Г'(а) =Г(а), Г'(Ь) =Г(Ь), Г'(аЬ) =Г(аЬ), и значит, Г'(аЬ) = = Г'(а) Г'(Ь), 5 Ри ХАРАКТЕРЫ ГРУППЫ ВРАЩЕНИЙ КУБА 377 Если элементы а и Ь отвечают нечетнь|м подстановкам, то аЬ по-прежнему четно, и Г'(а) = — Г(а), Г'(Ь) =* = — Г(Ь), Г'(аЬ) = Г(аЬ), откуда Г'(аЬ) = Г'(а) Г'(Ь), Наконец, если элементу а соответствует четная, а элементу Ь вЂ” нечетная подстановка, то элементу аЬ отвечает нечетная подстановка, н мы имеем Г'(а) Г(а), Г'(Ь) = — Г(Ь), Г'(аЬ) = — Г(аЬ), и значит, Г'(пЬ) =* = Г'(а) Г'(Ь).
При умножении преобразования на — 1 его матрица в любом базисе,— а значит, и ее след — умножаются на — 1. Поэтому второе трехмерное представление группы О будет иметь характер Х, (е) = 3, Х, (с,) = О, Х, (с',) = — 1, Хз (сз) = — 1, Хз (сз) 1. Оба трехмерных представления неприводимы, поскольку — (9+3+6+6) =1, и не изоморфны между собой: 3 3+3 — 6 — 6=0. Наконец, характер уз двумерного представления можно найти алгебраически. Пусть Хз(е) = 2в Хз(сз) = 'з Хз(сз) = Р Хз(~з) = уз Хз(сз) Запишем условия ортогональности этого характера к че- тырем, уже найденным: 2+ 8а + 38+ 67 + бб = О, 2+ 8а+ Зр — бу — 68 = О, 6 — З(1 + бу — бб = О, 6 — 3~ — 67 + бб = О.
Складывая и вычитая первые два уравнения, получим ! 2+ 8зз -1- Зр = О, бу +68=0. !гл, хш ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 373 А складывая и вычитая третье н четвертое, будем иметь ! 6 — Зр = О, бу — 66 = О. Следовательно, р=2, у=6=О, а= — 1, и значит, характер ть двумерного представления группы О таков: )(ь (е) = 2, у, (с,) = — 1, уь (сь) = 2, уь (с) = О, )(ь (с,) = О. Легко видеть, что и это представление неприводнмо; 1/24 (4+8+8 4) = 1. Выпишем полную таблицу характеров группы вращений куба: хь Группа симметрии тетраэдра Ть изоморфна группе О, и ее таблица характеров идентична таблице характеров группы О: ТЕОРИЯ ХАРАКТВРОВ ггл. хп! ззо а В аьВ...а„В а„тВ а„В...
а„„В ... амЬ т а,ь,1 ... а11 1т ... аг„ь11 ... а„,Ьгт ... а ... а11Ь1т а1„Ьт '' ' с11ьгт '.. а1пьт ... со Ь1т 11 11 смыв а11Ьт1 ... омыт ~11 т1 ... 11 т„, ... ~1тьт1 ..., Ь а Ь ... с Ь ... а „Ь ... с а11Ь11 ... а11Ь1 аг,Ь,1 ...
Рт1Ь, ... а1„Ь„... а.,Ь, -суд т1''' т1 тт пь т1''' а1 тт'''атп т1''' тА тта Ь ... с Ь а Ь ... и ,Ь ... а Ь й 12. Тензорное произведение векторных пространств Здесь мы предполагаем, что читатель знаком с понятием тензора, введенным в главе (Г1И, и с соответствующими обозначениями. Этот и следующий параграфы можно и пропустить без ущерба для понимания дальнейшего; однако от этого несколько пострадает полнота проводимых дальше доказательств. Если воспользоваться введенными в главе П11 обозначениями, то тензорное произведение матриц А = [а,'1 порядка и и В = [Ь",] порядка т, где верхний индекс— номер строки, а нижний — номер столбца, есть матрица [а',:Ь",1: Кронекеровское произведение матрицы порядка и и матрицы порядка п1 будет, очевидно, матрнцей порядка тп.
Легко проверяются следующие соотношения: 1) А ХО„= О „, 2) Е„ХЕ =Е., 3) А Х(В+ С) = А ХВ+ А Х С, 4) (А+В)ХС = А ХС+ВХ С, 5) (аА)Х(РВ) = (ар) (А Х В), где ΄— нулевая матрица, а ń— единичная матрица по- рядка й. Заметим, что след тензорного произведения матрац 1г(АХВ) аи1гВ+а111гВ+...+а..1гВ=1гА 1гВ равен произведению следов сомножителей. 2 12) ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВСЛЕНИЕ ВЕКТОРНЫХ ПРОСТРАНСТВ 381 д'Ьт .
д1Ьт д'Ьт . д'Ь ' . д'Ьт ... 21Ьт Д11 ''' 1 21''' 2т ''Дп1 ' 'Дп т д1Ь1 ... д1Ьт д2Ь1 ... ддЬп, ... В„Ь, ... длЬ,„ 212121212121 плат длат длЬ™ длЬт длЬт дльт 1т 11 221 л1 пт элементы а]Ь2 которой (их можно обозначить короче: с,'В = а;Ь",) занумерованы двумя парами индексов 1, р и /, д, причем при лексикографическом упорядочении этих пар !1, 12,..., 1т, 21, 22, ..., 2т, ..., п1, п2, ..., пт верхняя пара определяет номер строки, а нижняя — номер столбца. Пусть матрицы А = ] а,'], В = 162] — невы- рожденные, и пусть А '=1а,'], В '= ~ЬД. Покажем, что матрицей, обратной к тензорному произведению А Х В, будет матрица, равная тензорному произведению обратных матриц А ' и В ', т.
е. что (А ХВ) (А 'Х ХВ-1) = Е„„. Действительно, элемент (1, р)-й строки и (г, з)-го столбца произведения (А Х В) (А ' ХВ ') имеет вид (а,'ЬР2) (а',Ьд) = (а1а,') (Ь" Ьд) = 6,'6," = 6,'," (в тензорных обозначениях — по индексам / = 1, 2, ... ..., и и а = 1, 2, ..., т ведется суммирование), где 6",,' — символ Кронекера (ср.
$1 главы ЧП1), равный 1, если пары 1, р, и г, з тождественны, т. е. если 1= г и р = з; и равный О, если 1чь г или если р чье. Таким образом произведение (А Х В) (А ' Х В ') есть единичная матрица порядка тп, и значит, матрицы А Х В и А-1Х В-' взаимно обратны (откуда, в частности, видно, что если 1А( Ф 0 и (В( Ф О, то и 1А Х В1 ~ О). Дадим теперь определение тензорного произведения векторных пространств. Пусть имеются два простраист. ва: Я1 — размерности и и )тз — размерности т. Выберем в пространствах Я, и )Х2 соответственно базисы е1, е2, ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
