Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 54
Текст из файла (страница 54)
Следовательно, й = й, т. е. все пространство )с оператором Я вЂ” )лэ отображается в нулевой вектор, откуда Л вЂ” Ю=бУ и Л=М. $10. Следствия из леммы Шура Вспомогательное предложение. Пусть Г, и Г, — произвольные представления группы б в пространствах й, и йт и Ж вЂ” произв.аль ног линейное отображение Я, в Гс,. Тогда МО = ~ Г, (а-1) МГ, (а), аео являющееся, как легко видеть, линейным отображением й, в йг, удовлетворяет условию гэОГ1 = Ггиво, т. е. для каждого элемента Ь группы 6 уэОГ1(Ь) =- ГО(Ь)тэО, или, что то же самое, Г,' (Ь) МОГ, (Ь) = ээО. До к аз а тел ьство. Мы имеем Г, ' (Ь) Я,Г, (Ь) = ГО (Ь-') Я Г, (Ь) = = 2', Г, (Ь-') Г, (а-') ЗйГ, (а) Г, (Ь) = аеС = 2~ Г,(Ь-'а-') МГ,(аЬ) = ~~э~ Г, ((аЬ)-')ЖГ,(аЬ).
оео ОЕС Но если а пробегает все элементы (конечной!) группы ззо линейные пРедстхвления конечных ГРупп ?Гл. хп О, а Ь вЂ” фиксированный элемент этой группы, то произведение СЬ тоже пробегает все элементы группы О только, вообще говоря, в каком-то другом порядке. Следовательно, ~ Г,((аЬ) ') Я,Г2(СЬ) = йео. «СС Мы доказали, что [Го(Ь)]-?МОГ?(Ь) = Аао, или ЛОГ?(Ь) = Го(Ь)ЯО, где Ь вЂ” любой элемент группы О. Следствие из 1-й ч асти л ем м ы Ш у р а. Пусть Г, и Го — неприводимые неизоморфные представления группы О в пространствах )1! н )12 и йв — произвольное (линейное) отображение )с! в )со.
Предположим, что в пространствах )Г! и )со выбраны о р т о н о р м и р оп а н н ы е базисы, и пусть в этих базисах элементы матриц операторов Г, (а), Го(а) и отображения йв" будут соответственно у??? (а), у?! (а) и Ьи. Мы видели, что отображение аао = ~ Г,(а-?) ЯГ2(а) «СС пространства )Г! в )А?2 удовлетворяет условию «аОГ! = Го««О. Тогда, по 1-й части леммы Шура, поскольку представления Г, и Го не изоморфны, Яо = О. Элемент Ьро, стоящий на пересечении р-й строки (о? и д-го столбца матрицы Но, равен ЬРО = Х ".Г ТР2? ( -') Ьиу(о? (а) = Х Ьп '.Г ТР'? ( -') у?,'? (а) аео ?,; 2,? «ес (здесь суммирование ведется по 1 от 1 до и, и по 1' от 1 до пь где п„1= 1, 2,— размерность пространства )с!)— и он равен нулю при любом отображении Ж, т.
е. и р и л ю6 ы х Ьв. Следовательно, коэффициент при Ьи в правой части последнего равенства равен нулю при всех !', 1': с~~ уо! (а ') у?о (а) = О. «СС $101 следствия из леммы шурл (Легко видеть, что если сумма~2',иойи равна нулю 1.) при подстановке любых значений йв, то все ее коэффициенты ив равны нулю. Действительно, положив, например, пи —— 1, а все остальные й„= О, мы получим, что ~а(,п(, =аи,и значит, аи — — О, и т, д.) Но выше мы условились (см. стр. 335), что все рассматриваемые операторы у н и т а р и ы.
Следовательно, Г,(а-') = =(Ге(а)]-( =[Г,(а)1". Так как базис в пространстве 1((я — ортонормированный, то элементы матрицы [у((("(а)] оператора Г"'(а) удовлетворяют условиям: Тр((а-') = = у(р (а) прн всех (, р. Таким образом, при всех ), 1 ъР (Яр) ( ) и) (а) О сев Если матричные элементы у(р, у„рассматривать (д) (1) как функции, заданные на группе 6, то последнее равенство означает, что скалярное произведение любых двух таких функций, взятых для неизо мор фиых н еп р иводимых представлений, равно нулю: (у' ), у((„')) = О при всех (, 1, р, (), т.
е. что эти .функции попа р но орто гон альпы. Так, в пРимеРах, пРиведенных в $8, фУнкции Ти, Тм, тя(, ум ортогональны функциям Г) и Гм а также Г) ортогональна Ге (см. равенства (3) на стр. 345). Полезно заметить, что поскольку для каждой группы имеется единичное представление ГВ(а) = 1 для всех а(в 6, то, если Тч(а) — элементы матРицы пРоизвольного (неприводимого) неединичиого представления этой группы, то (уььГ,)= ~ у( (а)=О, аео т, е, для любых (, 1' сумма всех значений функции ув равна нулю.
Следствие из 11-й части леммы Шура. Пусть à — неприводил(ое представление группы (г в (и- мерном) пространстве )г и ве — произвольный линейный оператор в )с. Тогда, как было показано выше (вспомо- 352 линеЙные пРедстлвления конечных ГРупп !Гл. хп гательное предложение для случая Г! — — Гэ = Г, = )11 = уг'), линейный оператор вайа = ~ Г(а-') ййГ(а) аео в пространстве уг удовлетворяет условию М!уГ = ГЯ!ь и значит (по лемме Шура, часть 11), Яе — гомотетия: ~ Г(а-1) ЯГ(а) = Л8'.
(6) аео Элемент, стоящий на пересечении р-й строки и уу-го столбца матрицы ~з ~Г(а-')ЯГ(а), равен аео ~ У„!(О-') Ьуутуа(О) = ~ Ьи ~~'„УР!(О-1) У; (а). аЕО у,у=у !.1=1 аоо Элемент, стоящий на соответствующем месте в матрице Ж, равен 6„Л, где (1, если р = у), блч = (О, если р+д. Найдем значение Л. Для этого вычислим след обе- их частей равенства (6).
След правой части равен 1Г(Луэ ) = Лп След левой части равен ~2Р~ 1г ((Г (а))-' МГ (О)] = ~з„1г М = Ь 1г Я, аео аЕО (см. Стр. 127; здесь Ь вЂ” порядок группы Гу), и так как п 1г М = ~ 6ПЬН, то у,у=1 и Лп = Ь ~ 61,Ьп. и а Мы нашли, что Л = — „,~ 61;Ьп и, значит, элемент, 1,1=1 стоящий на пересечении р-й строки и д-го столбца мат- и А рицы М, равен 6„,— „,~, 6ПЬп.
Таким образом, мы РЧ Л СЛЕДСТВИЯ ИЗ ЛЕММЫ ШУРА имеем ~ йи ~ у, (т') у;, (а) = Ь вЂ” ~~~ 61;йи, аец С1=1 причем это равенство справедливо при всех йц. Следовательно, при всех 1, 1, р, д т А' 7Р1 (и ') ут9 (и) = ц 5 Р951 и (7) аец (Если равенство ~ 9111й11 = ~~ р11й11 выполняется при подстановке любых значений йи, то ~(9111 — р11)йи =О 1,1 тоже при любых йц, и значит, ац — рц — — О, т. е. ац — — Рц пРи всех 1 и 1 — см. замечание в скобках на стр. 355) Пользуясь унитарностью оператора Г(а), равенство (7) можно переписать еще и так: '%'а— 1 — „,1, тй Р (и) ут9 (и) = — „бР951 и аео или 1 (ута т1Р) л бРЧбы и значит, О, если р~д или 1+1, —, если р=д и 1=1, и' (ср.
с равенствами (4), (5')„(5а) на стр. 346). хлглктнг пеедстлвления $ и Х(е) = 1г Г(е) = и. 2, Характер является центральной функциеи" на группе: Х(Ь 'аЬ) =Х(а). Действительно, у(Ь 'аЬ) = 1г Г(Ь 'аЬ) = (г Г(а) = Х(а) (см. стр. 127). 3, Изоморфные представления имеют одинаковые характеры. В самом деле, если ЯГ, = Г,УУ, Г, = ж-1Г,УУ то и Х,(а) =(г Г, (а) = 1г(йст 'Г,(а)Я) =(г Г,(а) =Хз(а).
4. Если представление Г является прямой сумлюй представлений Г1 и Гт, то характер Х представления Г равен сумме характеров Х, и Х, представлений Г~ и Г,: Х = Х~+Хг. По условшо, й = Я,С+Ж, где й, Рь йз — пространства представлений Г, Гь Г,. Если базис )г выбрать так, чтобы первые п, (где и, — размерность Л,) векторов принадлежали подпространству ггь а последние пз векторов (где пт — размерность Йт) — подпространству Я,, то матрица представления Г(а) будет иметь вид где Г1(а) — матрица представления Г, в пространстве )гь Характеры играют очень важную роль в теории представлений, Можно сказать, что характер представления определяет это представление, так как дальше будет показано, что представления с одинаковыми характерами нзоморфны, Рассмотрим простейшие свойства х ар а ктер о в. 1.
Для любого представления Х(е) = и, где е — единица группы 6, а и — степень представления. Действительно, Г(е) есть единичная матрица порядка и, и значит, ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ !Гл. хш а Гз(а) — матрица представпения Гт в пространстве )гм Но в таком случае, очевидно, для каждого а ~ О у(а) = 1г Г(а) = 1г Г, (а)+ 1г Г,(а) = Х, (а)+ Хх(а), т.
е, Х = Х~ + Хх. 5. Для любого а ~ сг х(а-') = х(а). Пусть Хь Хв ..., Մ— все собственные значения оператора Г(а), причем каждое взято столько раз, какова его кратность. Так как оператор Г (а) — у и и т а р н ы й, то Г(а ')=[Г(а)] ' =[Г(а)]", и значит, собственные значения оператора Г(а-') совпадают с собственными значениями [Г(а)]*. Но, ввиду следствия на стр. !68, собственными значениями оператора [Г(а)]Р будут Хи Х,, ...,Л. (где также каждое собственное значение взято столько раз, какова его кратность). Следовательно, Х(а-г) = 1гГ(а-') = 1г(Г(а))' = Х, +ХХ, + ...
+ А„= = 1г Г (а) = Х (а). 6. Если Хв — характер регулярного представления Г, группы гт порядка й, то [й, если а= в, (О, если аде. Действительно, пусть а~ — — е, ам..., а„— все элементы группы 6, и базис пространства представления образован векторами е,„в,„..., епм Так как а1 —— е — единичный элемент, то хв(а~) = 1г Г,(а,) = й (п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
