Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 53
Текст из файла (страница 53)
+е„,„. Но а;ан а,а„..., а,а„— это те же элементы ан аж ..,, а„ только, быть может, взятые в каком-то другом порядке. Следовательно, Г(а;)1 = г. Легко видеть, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы регулярного представления один иэ элементов равен д а все остальные элементы равны О (докажите это сами), $7. Функции, определенные на группе Пусть 6 — произвольная (конечная) группа; предпо- ложим, что каждому элементу а группы 6 поставлено в соответствие какое-то, вообтпе говоря, комплексное чи- сло тр(а). Мы будем говорить тогда, что на группе 6за- дана функция тр, Если естественным образом определить сложение функций: (%+ ту) (а) = ~р(а) + тр(а) для каждого а еж 6 и умножение функции на число: (агр) (а) = агр(а) для каждого а ~ 6 и любого (комплексного) числа а, ~оо о1о о о ооо ооо ооо ооо ооо ооо о о о 1 о оо1 ооо ооо ооо о ~ о о о о о о ~ о о о о о ооо ооо ооо о~о о о о о ооо ооо ооо ооо ооо ооо о|о о о о о ооо ооо ооо о о о о о1о о о о о о 1 о ооо' ооо ооо 342 линейные пРедстлвлення конечных ГРупп [Гл.
хп то очевидно, что множество всех комплексно-значных (т. е. принимающих комплексные значения) функций, определенных на группе 6, станет векторным прас т р а н с т в о м. Покажем, что если порядок группы равен й, то это пространство и-мерно. Действительно, пусть элементы группы будут а[, а,, ..., а,; рассмотрим й функций ф,(а), где ! = 1, 2, ..., Ь, определяемых следующим образом: ~1, если ! = 1', ф! (а;) = [О, если Легко видеть, что эти й функций линейно независи- м ы и что каждая функция, определенная на группе О, является их линейной комбинацией. В самом деле, если Р— произвольная функция на группе 6 и, скажем, р(а ) = а, то, очевидно, ь А г" (а) = ~~'., ы[ф! (а), т.
е. р = ~г а[Грь [=! [=! О п р е д е л е н и е 7. Функция ф(а), определенная на группе 6, называется ц е н т р а л ь и о й, если для любых двух элементов а, Ь ~ 6 !р (аЬ) = ф (Ьа) . Пусть ф — центральная функция на группе 6. Тогда для любых а, Ь !и О имеем !р(Ь-'аЬ) = [р((Ь 'а)Ь) = !р(Ь(Ь-!а)) = = !р((ЬЬ-') а) = [р(а). Обратно, пусть для всех а, Ь ~ 6 имеет место равенство [р(Ь-'аЬ) = ф(а). Полагая Ь 'а = с (откуда а = Ьс), получим ф(сЬ) = ф(Ь 'аЬ) = [р(а) = ф(Ьс). Итак, если равенство [р(аЬ) = ф(Ьа) выполняется тождественно для всех элементов группы 6, то тождественно выполняется и равенство р(Ь-'аЬ) = ф(а), и наоборот.
Следовательно, функция ф на группе О в том и только в том случае является центральной, если она принимает равные значения на всех сопряженных между собой элементах группы, Можно сказать поэтому, что цент- 4П ФУНКЦИИ, ОПРЕДЕЛЕННЫЕ НА ГРУППЕ 343 ральная функция определена н а к л а с с а х сопряженных элементов группы.
Множество всех центральных функций является и одп рос т р а н с т вам пространства функций, определенных на группе О так как сумма центральных функций и произведение центральной функции на число тоже являются, очевидно, центральными функциями, Теорем а 3, Размерность пространства центральных функций, определенных на группе О, равна числу р классов сопряженных элементов этой группы. Доказательство. Пусть Сп С„..., ф— все классы сопряженных элементов группы О. Если Р— про. извольная центральная функция на группе 6, то она может рассматриваться как функция, определенная на этих класса х, т. е. функция, ставящая в соответствие каждому классу С, определенное число Р(С,).
Рассмотрим р (центральных) функций фь 2р2, где (О при 1~). функции фь очевидно, линейно независимы, и каждая центральная функция является их линейной комбинацией: если Р .произвольная центральная функция на 6 иР(С) =аь1'=1,2,...,р,то Р = ~2 а22рь Значит, размерность пространства центральных функций, определенных на группе О, равна числу классов сопряженных элементов этой группы.
Выше мы видели, что если à — одномерное представление группы 6, то Г(Ь-'аЬ) = Г(а) для любых а, Ь~ ~ О; поэтому одномерные представления любой группы являются определенными на ней ц е н т р а л ь н ы м и ф у н к ц и я м и. Так, для группы Рг на стр. 328 мы нашли две определенные на ней центральные функции Г2 и Г2. Г~ тождественно равна 1 и Г,(е) = 1, 1 2 (т) = Г2 (т2) Г2(э) = Г2(вг) = Гг(эг') = — 1, з44 линииныи пгадстлвлвния конвчных групп !гл, хп 5 8.
Скалярное произведение на группе где суммирование распространяется на все элементы а группы 6. Проверим, что при этом будут выполнены все аксиомы скалярного произведения: 1. (ф, ф) = — л~е ф(а) ф(а) = — ~~~ ф(а) ф(а) = (ф, ф). ОЕС ОЕС 2. (аф, ф) = — у~ аф (а) ф (а) = а«р, ф). ОЕС (ф +ф ф)= = — ,~ ~[ф, (а) + ф,(а)! ф (а) = «р„ ф) + (ф„ ф). ОС С При этом пространство функций, определенных на группе 6, будет евклидов ым, так как 4. «р, ф) = — ~ ф (а) ф (а) = — л,[ ф (а) ['.=э О, аао ОЕС и если (ф, ф) = О, то ф(а) = О для каждого а ен 6, и значит, ф = — О. Рассмотрим еще несколько примеров.
Выше (в $ !) мы нашли 3 представления диэдральной группы Оз. два одномерных Г! вв 1 и Гз(е) = Г,(г) = Г,(г ) = 1, Гз(з) =Гз(зг) =Ге(зг ) = — 1, и двумерное, назовем его Гз! 1 ! — — ~ У(1 ! - 1 — р'з —— 2 2 Г (У)= — — т Уз~ 1 1 — — у'з —— 2 2 В пространстве функций, заданных на группе 6 по- рядка й, определим скалярное произведение, полагая (ф, ф) = — ~' ф(а) ф(а), ОЕ С зв! СКАЛЯРНОЕ ПР9ИЗВЕДЕНИЕ НА ГРУППЕ 345 ! 1 — — — -е- у'з 1 1 2 — — Уз 2 Гв(зг') = Г,(зг) = Рассмотрим шесть функций на группе Рвь Гь Гв и функции (и, Ъв, "(вь '(вв, определенные следующим образом: 1 у (е)=(, у (г)= — —,, 1 Ум( )— 1 1 Тм (зг) — — —, ум (зг') = — —; уп(з) = ! 1 1 у„(е) = О, у„(г) = — — в/3 у„(г') = — )гз, 1 1 7 (з) =О 7! (з') = — 2 )' 3 Т! (зг') = 2 )ГЗ! у„(е) = О, у„(г) = 2 ! 3, ум(г') = — — )/3, Твв (з) = О, увв (зг) = — 2 )' 3 ! 7,(')= — ) з; 1 2 1 ! гв~ (е) = 1 1гв~ (г) 2 ~ гвв(Г ) = — — ~ 1 2 ' (таким образом, (ч — это соответствующие элементы матрицы Гв).
Вычислим попарные скалярные произведения этих функций: (гь г)= 1 у.„(зг') =— 2 = —,!) )+! )+! (+(( — !)+)( — !)+)( — !)) =О; (г„у„) — ~!.(+ ! ~ — )+ ! ( )+ (з) +( — !) )+( — !)( — —,)+(- Ц(, )1= О Аналогично получаем (Гь Ъ!) = (Гь (вв) = (Гь ТЕ1) = (Гь (вв) = (Гм "(!в) = =(Гм (в!) =(Гь Твв) = О 346 линейные предстлвления конечных ГРупп !Гл. хи Далее, (щтт, рта) = — ~1 0 -)- ( — †) ( — — ) 3) + ( — -) — $. 3 + +1 О+( — 2)( — 2 )' 3)+( — 2) 2 )' 31 О. (4) Аналогично, (Тп Тм) = (Тп, Тм) = (Тм Тм) = = (Тщ Тм) = (Тть Тая) = О. Все рассматриваемые функции, таким образом, попарно ортогональньс Скалярные квадраты этих функций равны (Г„Г,) = — (1'+ 1а + 1а + 1' + )а + 1«) = 1 = (5') (Г„Г,)= —,' (1 +1+1+1+1+Р)=1= ! а также и ()м, Т„) = (Теа, Т„) = — — длЯ двУмеРных представлений. Всюду в знаменателе правой части стоит степень соответствующего представления. Ниже (в $10) мы докажем аналогичные равенства для общего случая.
$ 9. Лемма Шура Лемма Шура состоит из двух частей с «Прологом» и «Эпилогом». Пролог леммы Шура" ). Пусть Г! и Га — два линейных представления группы Сг в пространствах )с! и гта соответственно и Я вЂ” линейное отображение прост- ') Что же касается «Эпнлога» леммы Шура, то он пояаптся у нас только в следующей главе (см.
стр. 337). — для одномерных представлений и 1 / ! 1 1 1 ! 6(+4+4++4+4! 6(,+4+4+4+4) з з 3 31 ! 2 ' (5«) 2 ЛЕММА ШУРА 347 ранства )с, в Яь В отличие от отображения, фигурирующего в $ 2, Ж не предполагается взаимно одиозна ч н ы м; точнее говоря, каждому вектору х ~ Я, поставлен в соответствие определенный вектор АЭХ ~ Рм таК Чта эв(х+ у) = ээх+ уэу и ээ(ах) = ауэх, но не предполагается, что к а ж д ы й вектор из )сэ является образом хотя бы одного вектора из И1 и что из равенства уух = Жу вытекает х = у. Предположим, далее, что юГ1 — — ГэЖ, т.
е. что ЯГ,(а) = Гз(а)М для каждого элемента а ~и б и, значит, ЯГ,(а)х = Гз(а)Мх для каждого вектора х ~в Я, Последнее означает, что безразлично, сначала ли применить к вектору х оператор Г~(а), соответствующий элементу а группы О, а затем отобразить полученный вектор Г,(а)х в й„или сначала отобразить х в Ям а потом к полученному вектору Жх применить оператор Гз(а), соответствующий тому же элементу а и 6 (см. «Коммутативную диаграмму» на стр. 331).
Докажем, что в нашем предположении образ Ж)с, пространства Р~ в й» (т. е. совокупность всевозможных векторов вида Жх, где х ~ Л1) и ядро й7 отображения Я (образованное всеми такими векторами х ~и Иь что Уех =- О), являются подпространствами, инв ариа нтн ым и относительно группы 6. То что УУ)А1 в Иэ и М в И1 являются подпростр а н с т в а м и, доказывается совсем просто (ср, стр. 115).
Докажем инва риантность этих подпространств. 1. Инвариантность мИР Пусть х ~ мИь тогда х = =ахи где х1 ~ Яь Нам надо показать, что вектор Г,(а)х тоже принадлежит мИР Но так как .ьэГ, = =Г»Я, то Гэ(а)х = Гт(а)Жх, = УвГ1(а)хь и значит, Гз (а) х ш РИ ь 2. Инвариантность Л1. Пусть у~)у', т. е. Яу = О. Нам надо показать, что и Г,(а)у ~в й7. Но так как «ьГ1 — 1 зЖ, то ЯГ,(а)у = Гг(а)Жу = О, и значит, Г, (а)у ш У. 348 ЛИНЕИНЫЕ ПРЕДС1АВЛЕННЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП !ГЛ. Хп Таким образом, подпространства Ж!«! ы ««а и М «= лг! инвариантны относительно группы 6.
Лемма Шура, часть Е Если в сформулированнь«х выиле условиях (Г! и Г! — представления группы 6 в пространствах !«! и Я! и Ж вЂ” линейное отображение пространства л«! в й! такое, что ЖГ! = ГУЖ) представления Г, и Г! неприводимы, то либо Ж = !.'У, либо представления Г, и Гз изоморфны. Доказательство. Так как представления Г, и Гз неприводимы, то ни ««!, ни л«! не могут содержать нетривиальных подпространств, инварнантных относительно группы 6.
Однако образ Ж««! пространства )«! является в Я! инвариантным иодпространством; следовательно, либо Ж«с! = О, либо Жй! —— Я,. Но если ЗИ, = О, то Ж отображает все ««! в нуль, и значит, Ж = бг. Если же ЖЯ! = )«р, то Ж отображает пространство гг! н а в с е й, (т. е. каждый элемент из ««! будет образом хотя бы одного элемента из )«!).
Далее, ядро й! отображения Ж является в )г! инвариантным подпространством, и значиг, либо й! = О, либо ЛГ = л«!. Если Ф = ««!, то все пространство )«! отображается в нулевой вектор, и значит, Ж = «У. Если же йг= О, то отображение Ж взаимно однозначно. Действительно, из равенства Жх = Жу вытекает, что Ж(х — у) = О, откуда следует, что х — у «в Л«, и значит, х — у=О, т.
е. х=у. Итак, если Ж чь бт, то Ж взаимно однозначно отображает пространство л«! на все )«ь Так как, кроме того, зто отображение линейное, то оно будет изоморфныл! отображением )«! на )«ь В силу равенства ЖГ, = Г,Ж, представления Г, и Га изоморфны. Л е м м а Ш у р а, ч а оть Н. Пусть à — неприводимое представление группы гл в пространстве Я и Ж— такой линейный оператор в пространстве лг, что ЖГ = =ГЖ; тогда Ж является гам отетией (т. е. существует такое число Л, что Ж = Лд'). Доказательство. Пусть Л вЂ” одно из собственных значений оператора Ж, а х Ф О вЂ” соответствующий собственный вектор.
Тогда Жх = Лх, или (Ж вЂ” ЛЖ) х = О. 4 Ш1 следствия из леммы шуРА 349 Из равенства ЖГ = ГЯ вытекает, что (Я вЂ” М') Г = Г(эв" — Аер). Как доказано в «Прологеэ (если применить его к оператору эв" — Ад' при Й1 = ЙО = )с и Г1 = ГО = Г), ядро Ф оператора уэ — Хо инвариантно относительно группы б, а так как представление Г неприводимо, то либо Ф = О, либо Ф = )с. Однако равенство )У = О невозможно, поскольку ненулевой вектор х принадлежит Ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
