Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 55
Текст из файла (страница 55)
1). Если а, Фа~ = е, то ГА (а;) е,„= е„, ~ е, так как из равенства а,а, = а, вытекало бы, что а<— хлелктегы напгиводимых пгедстлвлвнии ззт = е = а!. Следовательно, при 1 Ф 1 базисный вектор е, оператором Г,(а,) переводится снова в базисный вектор е...„, однако — в вектор, отличный от него самого, Это значит, что для любого р в р-м столбце матрицы Гч (а,) единственный отличный от нуля элемент— это единица, стоящая не на главной диагонали, а следовательно, все элементы главной диагонали такой матрицы равны нулю, и значит, след ее равен нулю. й 2.
Характеры неприводимых представлений Этот параграф, содержащий дальнейшие следствия леммы Шура, можно назвать ее «Эпилогом». Теорем а 1. Характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений конечной группы образуют ортонормированную систему функций (отсюда, в частности, будет следовать, что конечная группа имеет конечное число неприводимых представлений). Как и лемма Шура, эта теорема состоит из двух частей: 1.
Если Х, и Хл — характеры неприводимых не изоморфных между собой представлений Г, и Гг группы б, то (Х!, Х!) = О. Действительно, пусть й — порядок группы б. Тогда так как каждое слагаемое этой суммы равно нулю (см. стр. 351). 11. Если à — неприводимое представление группы О с характером Х, то (Х, Х) = 1, ! (Хм Ка) = а а,'л Хт(а) Ха(а) = «СС вЂ” и л, у'„' (а) ~ у';~ (а) аео ! -Х а Х<' С! аао — ~' 1гГ,(а)1гГ,(а) аео — ~~~ ,~'„ у(! (а) уф (а) = «ОС ФЗ (а) ТЯ!(а) =,~',(ТЯ!, уЯ!) = О, <,! 1гл. хгп ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 858 Действительно, (Х Х) = ~ «~ Х (а) ХХ (а) = †, ~~~ 1г Г (а) 1г Г (а) = и:С аеС и и и — )луи(а) )' ун(а) = — ~,~' уи(а)у;,(а) = аео 1=1 1=-1 аСС1,1-1 — л., уи(а)ун(а)= Ц.=1 аео и и и и~с ! = 2'.
(уи,ун) =,'~(уи,уи) =~ — „=1, 1 так как ((и, Т„) = О при 1чь), а (уп уи) = — „(см. стр. 353). Теорема доказана. Так, для группы 51 -— Ра (см. таблицу на стр. 354) имеем (Х„Х1) — —,(1+1+1 — 1 — 1- 1) — О, (Х, Х.)— 1 1 = — (2 — 1 — Ц = О, (Хги Х,) =О, (Х1,Х) = =,' (1+1+1+1+1+1) =1, (Х„Х,) =1, (Х„Х,) =1. Но, с другой стороны, (Х4 Ха) = 8 (9 + 1 + ! + 1) = 2 и (Ха, уа) = — ° 36 = 6; значит, представления Г4 и Гз этой группы не являются не п р и водим ы ми.
Найдем скалярный квадрат характера Х, регулярного представления произвольной группы 6 порядка я Выше мы видели, что ХВ(а,) =- к и Х,(а,) = О, если 1 ~ 1. Следовательно, (ХО Ха)иа а.йй=й; отсюда снова получаем, что регулярное представление любой (не состоящей из одной единицы) группы и р ив о д и м о (ср. стр.
341). 4»1 дАльнейшие своиствА хАРАктеРОВ 359 $ 3. Дальнейшие свойства характеров Пусть à — линейное представление группы 6 в пространстве )т с характером Х. Разложим Г в прямую сумму неприводимых представлений Г< — пусть Г=Г ЕГ В...ЕГ,. Характер (неприводимого) представления Г, (где 1 = = 1, 2, ..., з) обозначим через Хь Тогда характер представления Г х = х + хе+" + х* Среди представлений Г< могут быть и изоморфные между собой, им отвечают р а в н ы е характеры.
Наоборот, характеры неизоморфных между собой неприводимых представлений не могут быть равными, так как если Х~ = Хг то (Хь Хт)=(ХИ Х1)= 1, а не О, как должно быть по п. 1 предыдущего параграфа. Объединяя сла. гаемые, отвечающие изоморфным представлениям, последнюю сумму можно переписать так: х = т х + техт+... +т,х„ (1) где т, †«кратность» представления Г, (здесь 1 = 1, 2, ..., д и представления Гь Гм ..., Г, попарно не изоморфны).
Пусть теперь Г' — произвольное неприводимое представление группы 6 с характером Х'. Рассмотрим скалярное произведение (Х', Х) =(Х', т~х~+ ттхт+" +т,Х.) = =т (Х', Х )+ т (Х', Х )+ "+ т (Х', Х ). Но (у', Х,) = О, если Г' не изоморфно Г, и (Х', у,) = 1 если представления Г' и Г, изоморфны. Следовательно, скалярное произведение (Х', Х) обязательно является г(елым числом, которое показывает, сколько раз неприводимое представление Г' содержится в Г.
С л е д с т в и е 1, Представления Г~ и Гь имеющие одинаковые характеры, изоморфньь так как каждое не- приводимое представление Г' и в Гь и в Гт содержится одинаковое число раз (см. конец 9 4 гл. ХП). С л е д с т в и е 2. Разложение представления Г в прямую сумму неприводимых представлений Г, (с точностью до изоморфизма слагаемых) однозначно, 366 ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ [Гл. хн! Вернемся к (вообще говоря, приводимому) представлению Г с характером Х. Из равенства (1) вытекает, что скалярный квадрат характера Х равен (Х, Х) =в[1+и[1+ ...
+пзч. Следовательно, скалярный квадрат характера всегда является целым числом, которое в том и только в том случае равно 1, если представление Г нвприво- димо. Можно сказать поэтому, что для того, чтобы пред- ставление было неприводимым, необходимо и достаточ- но, чтобы скалярный квадрат его характера был ра- вен 1.
(Значит, в частности, представления Гь Г, и Га группы 01 неприводимы:) Далее, для того чтобы два не- приводимых представления группы были неизоморфны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение их характеров было равно нулю (необходимость этого была доказана выше, а достаточность вытекает из того, что если два неприводимых представления изоморфны, то их характеры равны: Х! —— Хя и, значит, скалярное произведение (Х[, Хт) = (Х[, Х!) = 1). Пример.
Для группы 51 О, (см. стр, 354) имеем 1 1 (Хз, Хз) = Г (3 — 1 — 1 — 1) = О, (Хм Ха) = Г (3+ 1+ 1+ 1)=1 1 (Уз,Хз) = Г 6=1; и представление Г, равно прямой сумме Гз н Гз. Далее, 1 ! 1 (Хы Хь) = 6 6 =! (Хь Хь) = [,. 6 = 1, (Хз Хь) = 6 12 = 2, и значит, Хь = Хз + Хз + 2хз регулярное представление Гз содер- жит по одному разу каждое из одномернык представлений Г! и Гз и два раза — двумерное представление Гз. 3 4. Основное соотношение Л е м м а. Пусть Гь — р е г у л я р и о е представление группы 6.
Тогда каждое неприводимое представление Г, втой группы содержится в Гв столько раз, какова гго степень. Доказательство. Пусть Хо — характер (регулярного) представления Го и Г, — произвольное непрнводн- основное соотношанив 361 мое представление группы 0 степени л, с характером Х<. Тогда ! 'чз — 1 (Х, Хо) - а,~~ Х< (а) Ха (а) = — „Х (е) Ха (е) = Х< (е) = л оаа Но, как мы уже знаем (см. 5 3), скалярное произведение (Х«Ха) показывает, сколько раз (неприводимое) представление Г< содержится в (регулярном) представлении Га Теорема 2. Сумма квадратов степеней всех нелриводимых (не изоморфных между собой) представлений конечной группы равна порядку группы.
Иными словами, если 0 — (конечная) группа порядка я и ль пз, ..., и, — степени всех ее неприводимых представлений, то л', + п,'+... + и', = я. Доказательство. Пусть Га — р е гул яр нос представление группы О. Если Г<, Г<ь ..., Гр — все не- пРиводимые пРедставлениЯ гРУппы б, Хь Хз, ", Хр — их хаРактеРы и п„пз, ..., л, — их степени, а Хв — хаРактеР регулярного представления Гы то Хо = п<Х<+ пзХз+ + ирХр. Скалярный квадрат Хо равен (Хо Хо) л< + пз + ° ° ° + лр. Но, по доказанному в конце $2, скалярный квадрат (Ха, Хо) регулярного представления равен й. Следовательно, п< + пз + ° ° ° + лр = й. Заметим, что среди чисел и, могут быть и равные. Так, для группы 0з имеем л< — — лз =! и лз = 2.
Поскольку порядок группы 0з равен 6 и 1з+ 1з+ 2з 6, то зги представления Гь Гз и Гз — это все неприводимые представления группы 0з. Так как у каждой группы имеется единичное представление, то среди чисел и, по крайней мере одно равно 1. Можно доказать, что все и< являются делителями порядка я группы. ! 3 л. и.
Головина 1гл. х!п ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 5 5. Число неприводимых представлений группы Л е м м а. Пусть 1(а) — центральная функция, определенная на группе 6 порядка й и à — неприводимое представление группы 6 в пространстве )т размерности и с характером у. Тогда линейный оператор вй(Т) = ~~Р~ Т(а) Г(а), действующий в пространстве )т, является гомотетией с А коэффициентом гомотетии, равным — ()(, Г). Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого элемента Ь группы 6 имеем Г '(Ь) М(()Г(Ь) = Х Г '(Ь)((а) Г(а) Г(Ь) = аео ~ ~ (а) Г (Ь ') Г (а) Г (Ь) = ~ ~ ~а) Г (Ь 'аЬ) = аео аСС = ~ г'(Ь 'аЬ)Г(Ь 'аЬ) аСС (так как Г(а) — центральная функция, то Г(а) = =Г(Ь-1аь)). Но произведение Ь 'СЬ, где Ь вЂ” фи к с и- рованный элемент группы 6, а а пробегает все э л е м е н т ы г р у п п ы, тоже пробегает (по одному ра- зу) все элементы группы (произвольный элемент х группы равен х = Ь-'(Ьхь-')Ь; здесь а = Ьхь-').
Следо- вательно, последняя сумма равна ~~з /(а) Г(а) = вй(Т), аао т. е. для любого Ь ~ 6 г- (ь)уйаг(ь)= лу), Из равенства Г-1М(~) Г = М()) вытекает, что М(Г)Г = ГМ(1). Но тогда из второй части леммы Шура следует, что ЯВЦ) является гомотетней, т.
е. чтодля некоторого Х ~ ~(а) Г (а) = Хй'. аео Для того чтобы найти Х, вычислим след обеих частей этого равенства. В правой части получим (гМ =)1п. ь ь1 число нвпгиводимых пяедстлвлвнии ггтппы ава След левой части равен (г 2', 1(а) Г (О) = ~ 1г 17 (а) Г (О)] = аЕО аЕО = ~ 1(а) 1г Г (а) = ~ Г (а) )((О) = й (у,1).
аЕО аЕО а Следовательно, Х = — „()(, 1) и Х ~ (О) Г (О) = ' (к, 1) в Т е о р е м а 3. Центральная функция 1, определенная на группе 6 и ортогональная ко всем характерам неприводимых представлений Г, этой группы, тождественно ровна нулю. Доказательство. Пусть Хь уэ, ..., )(а — харантеры всех неприводнмых представлений группы б. Предположим, что (11О ~) = О для каждого 1= 1, 2, ..., р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
