Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 50
Текст из файла (страница 50)
$8. Группа симметрии куба Оа Кроме 13 осей симметрии куб имеет 9 плоскостей симметрии (и центр симметрии): три плоскости симметрии — такие, как РггММ на рис. 36, а, н шесть диагональных плоскостей †так, как РВВ'Р' на рис. 36, б. Рассмотрим всевозможные ортогональные преобразования пространства, при которых куб переходит в себя. Те нз этих преобразований, определитель которых равен 1 (вращения), образуют подгруппу О (изоморфиую, как мы видели, симметрической группе 54), Пусть д — одно из преобразований симметрии куба с опреде. 320 ГРуппы симметРнп Геометгпческнх ФпгуР [Гл.
х[ лителем, равным — 1. Умножив его на центральную с и м м е т р и ю 1 (преобразование с определителем, равным — 1), мы получим преобразование а с определите. лем, равным + 1, т. е. вращение. Из равенства )д = а имеем у = [а. Таким образом, все преобразования, при которых куб переходит в себя,— это всевозможные вращения и всевозможные произведения вида )а, где /— центральная симметрия, а а — вращение. ЛЛ а[ д' 4 лУ Рис. Зб. Покажем, что центральная симметрия 1 перестановочна с любым вращением и, даже, более того,— с любым линейным преобразованием л2.
Действительно, для любого вектора х имеем )х = — х, и, значит. мг()х) = Ф( — х) = — Фх = 1'(Фх), т. е,,Ф)' = )мг. Тождественное преобразование е и центральная симметрия 1 в группе О, образуют циклическую подгруппу второго порядка У = (е, У) ([п = е). Покажем, что группа О„равна прямому произведению своих подгрупп О и У.
1) Подгруппы О и У в группе О, являются нормальными: О как подгруппа индекса 2 (ср. выше стр. 293), а У вЂ” как подгруппа, оба элемента которой коммутируют со всеми элементами группы О„. 2) Пересечение подгрупп О и У состоит из одного единичного элемента. 3) Каждый элемент группы О, представляется в виде произведения элемента из О н элемента из У: если а[ = е, ам ..., а14 — все 24 элемента группы О, то ЗАКЛЮЧЕНИЕ 32! элементы группы Оь — это еаь еа„..., еаз4 и 1аь )ам ..., )аы.
Группа Оь состоит нз 48 элементов. Так как в группе Π— пять, а в группе Х вЂ” два класса сопряженных элементов, то число классов сопряженных элементов группы О, равно 10. Если (а;„ а;„ ..., а~( — какой-то класс сопряженных элементов группы О, то в группе О, ему соответствуют два класса: (аь, а;„...,а; ) и ()ап,)ап,...,)а; (. $9. Заключение Правильным многогранником называется такой (выпуклый) многогранник, все грани которого— равные между собой правильные многоугольники и все многогранные углы которого равны между собой.
Еще Ф г з l йт' Рис. 37. а7 в древности было известно, что существует всего пять правильных многогранников; правильный тетраэдр, ограниченный четырьмя правильными треугольными гранями, и имеющий б ребер и 4 вершины; куб (или правильный гексаэдр), ограниченный шестью квадратными гранями и имеющий 12 ребер и 8 вершин; правильный октаэдр, ограниченный восемью треугольными гранями и имеющий 12 ребер и 6 вершин (рис. 37, а); правильный додекаэдр, ограниченный двенадцатью пятиугольными гранями и имеющий 30 ребер и 20 вершин (рис. 37, б); и, наконец, правильный икосаэдр, ограни- ЗЯЯ ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР !ГЛ. Х! ченный двадцатью треугольными гранями и имеющий 30 ребер и 12 вершин (рис. 37, в).
Куб и правильный октаздр в определенном смысле двойственны друг другу: если соединить центры граней куба, как указано на рис. 38, а, то получится правильный октаэдр, и, наоборот, если соединить центры граней а,! г! Рис. зз. октаэдра, то получится куб (рис. 38, б). Поэтому группа вращений октаэдра изоморфна группе вращений куба (и обозначается эта группа буквой 0), а группа симметрии октаэдра — группе симметрии куба О,.
В описанном смысле правильный тетраздр двойствен саи себе (рис. 38, в); правильные агг додекаэдр и икосаздр двойственны друг другу, и их группы вращений изоморфны — обозначается эта группа буквой !, Она состоит из 60 элементов и изоморфна знакопеременной подгруппе Ае симметрической группы 3! пятой степени. Группа симметрии додекаэдра (икосаэдра) 7, состоит из 120 элементов и является прямым произведением группы ! и циклической группы второго порядка. Кроме перечисленных пяти правильных многогранников, в пространстве существует еще «вырожденный правильный многогранник» вЂ” правильный многоугольник, который можно рассматривать как многогранник, состоящий из двух равных правильных и-угольников (двугранник).
Циклическая группа С„ есть группа вра. щений правильного п-угольника, т. е. вырожденного правильного многогранника в содержащей его плоскости, а диэдральная группа 0„— это группа его вращений в пространстве, ззз Ф а) Заключение Существует такая общая теорема: Циклические группы С„, и = 1, 2, ..., диэдральньсе группы 0„, и = 1, 2, ..., группа вращений тетраэдра Т, октаэдра (куба) О и икосаэдра (додекаэдра) 1 — это все конечные подгруппьс группы вращений трехмерного пространства вокруг неподвижной точки. «Это,— пишет Г.
Вейль,— и есть современный эквивалент того перечня правильных многогранников, который дали древние греки»'). Полный список всех конечных подгрупп группы орт о г о н а л ь н ы х преобразований содержит, кроме определенных выше групп симметрии многогранников, еще несколько отдельных групп и серий групп; в этой книге они не рассматриваются**). ") Г, Вейль, Сиииетрия (М.: Наука, 1968), стр. 105. *") См., наприиер, ту же книгу Г, Вейля. ГЛАВА Х!! ЛИНЕПНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ КОНЕЧНЫХ ГРУПП $1. Определения и примеры Пусть дана группа 6, гомоморфная некоторой другой группе 6'.
Тогда, по теореме о гомоморфизмат, группа 6» изоморфна фактор-группе группы 6 по некоторой нормальной подгруппе Н. Следовательно, группа 6» «устроена» в некотором смысле проще, чем группа 6; в частности, если группа 6 — конечного порядка, то порядок группы 6' меньше порядка группы 6 (или равен ему). С другой стороны, группа 6' «подобна» группе 6: так,если!' — гомоморфизм, отображающий группу 6 на 6', то из того, что аЬ = с (где а, Ь, с ~ 6), следует, что ! (а) !" (Ь) = !'(с) (где Г(а), Г(Ь), 1(с) я 6 ). Говорят, что группа 6» представляет группу О, или, точнее, что гомоморфное отображение ( группы 6 на группу 6* является представлением группы 6 (группой' 6*).
Существует т е о р е м а К э л и, в силу которой каждая конечная группа порядка и изоморфна (а изоморфизм есть частный случай гомоморфизма!) некоторой подгруппе группы подстановок из и элементов. В этом случае группа 6» устроена в точности так, как группа 6, что позволяет назвать это представление группы 6 группой 6* точным представлением.
Следовательно, каждая конечная группа может быть точно представлена некоторой группой подстановок. Наиболее интересны для теории и приложений так называемые линейные представления групп, Говоря о л и н е й н о м представлении группы 6, мы предполагаем, что нам дано (вообще говоря, комплексное) векторное пространство )с размерности и, в котором действуют невы рожденные линейные операторы. Эти операторы образуют группу 6", которой гомо- Фн определения и приме ы морфна наша группа 6 — группа 6* и представляет группу 6. Итак, можно дать следующее Определение 1. Гомоморфнов отображение Г группы 6 на группу 6* нгвырожденных линейных операторов, действующих в и-мгрном векторном (комплексном) пространстве Я, называется линейным представлением группы 6 (группой 6*). Таким образом, если Г есть линейное представление группы 6 группой 6', то каждому элементу а группы 6 поставлен в соответствие н е в ы р о ж д е н н ы й линейный опер а тор Г(а) ев 6', действующий в пространстве тс, так, что для любых а, Ь ее 6 Г(аЬ) = Г(а) Г(Ь).
При этом, как мы знаем, Г(г) = Е, где в — единица группы 6, а Š— единица группы 6е (тождественный оператор) и Г(а ') = [Г(а))-' для любого асв 6 (см. выше стр. 302). Пространство )с, в котором действуют опграторьс из группы 6*, называется пространством представления группы 6. Иногда и само это пространство называют представлением группы 6.
Размерность пространства тс называется размерностью, или, чаще, степенью, рассматриваемого представления. В приложениях вместо операторов часто рассматривают соответствующие им матрицы. Если в пространстве Я выбрать базис, то каждому линейному оператору Г(а) будет отвечать определенная матрица, т. е. каждому элементу а группы 6 будет поставлена в соответствие (невырожденная) квадратная матрица Г(а)') порядка и так, что Г(аЬ) = Г(а)Г(Ь). Если пространство тс одномерно, то эти матрицы— первого порядка.
В этом случае каждому элементу а группы 6 поставлено в соответствие (вообще говоря, комплексное) отличное от нуля число Г(а), так что Г(аЬ) = Г(а) Г(Ь). При этом единичному элементу г группы отвечает число 1. ') Здесь н дальше мм обозначаем оператор Г(а) и соответствуюшую ему в заданном базисе матрицу о д н о й н т о й ж е буквой. Зте линвиныя пввдстлвлвния конвчных гттпп !гл. хп Заметим, что если à — одномерное представле. ние группы б и элементы а и в сопряжены в б: й = с-'ас, то Г(6) = Г(с-'ас) = Г(с-') Г(а)Г(с) = = (Г(с)]-'Г(а)Г(с) = Г(а), Тривиальным, ио важным для теории примером может служить одномерное представление (т. е. представ. ление степени 1), при котором каждому элементу а группы б поставлено в соответствие число 1, так что Г(а) 1 для каждого а~ б. Такое представление называется единичным представлением группы б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
