Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 58
Текст из файла (страница 58)
..., е„и 11, 12, ..., )„и рассмотрим линейное простран- ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 382 !Гл. хп! ство Е размерности тп с базисом е,1„, где 1= 1, 2, ... ..., и, й = 1, 2, ..., и!. (Заметьте, что мы никак, разумеется, не пер ем нож а ем векторы е, и ~ь взятые из р аз н ы х пространств — базис пространства )с образован просто ларами векторов, причем пара еь 1„обозначена через е<1,). Элементы этого базиса упорядочим лексикографически: е<~<, еБ ..., е<~., ег~„ его, ..., его , ° .
, е„1<, е.!г, " ., е-1 и обозначим е;1„через Е„. (Ясно, что векторы Е<м взятые в этом, лексикографическом, порядке, можно занумеровать и числами 1, 2, ..., тп; однако нам будет удобнее нумеровать их пар а ми чисел.) Предположим теперь, что в пространстве )с! мы перешли к новому базису е'„е'„...,е'„с матрицей перехода А = [а<! (и значит, е< = а<ег — не забывайте о суммировании по индексу я1), а в пространстве Ег — к новому базису Т<,1„..., 1„с матрицей перехода В = [()Р~ (и значит, )„= рРТ,). По определению, будем считать, что при этом в пространстве й совершается переход к новому базису с матрицей перехода, равной тензорному произведению АХ В матриц перехода в пространствах Е! и Ег, т.
е. что в пространстве Е соответствующий новый базис будет образован векторами А г «г Е,р — — е4р — — а<(1РЕА„= а! рзег/„. (Заметьте, что правая часть формально является ирой ' г ИЗВЕДЕНИЕМ СУММ а<ЕА = Е< И РР!'г = )Р!. Тан ОарЕдЕЛЕН- ное пространство Й называется тензорным, или крон е к е р о в с к и м, произведением пространств )1! и Ег и обозначается )(<! 8 Из доказанного выше вытекает, что если АХ В— матрица перехода к новому базису в пространстве й<, то обратной к ней будет матрица А ' Х В '. $ 13. Тензорное произведение линейных операторов Пусть имеются два пространства: Е! размерности я и )сг размерности т, и пусть <с = Й! 8 А<г — их тензорное произведение. Предположим, что в пространстве р! $1Л ТЕНЗОРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРЛТОРОВ Ззз задан линейный оператор зФ вЂ” двухвалентный смешанный тензор а,', при переходе к новому базису преобразующийся по формуле а; = сс,'ар1ачр, а в пространстве )сз — линейный оператор Я вЂ” такой же тензор Ь, преобразующийся по формуле Ь, = р',р„"Ь™1.
(Здесь А = [а11 — матрица перехода к новому базису в пространстве „ = [р1[ — матрица перехода в пространстве 9г„А ' = [а)1, В ' = [ Р1] ). Рассмотрим кронекеровское произведение А' Х В' (где А' — матрица оператора зФ в новом базисе пространства )г„а В' — матрица оператора Я в новом базисе пространства 199) и покажем, что элементы этой матрицы получаются из элементов матрицы А Х В по правилу преобразования тензора один раз ко- и один раз контравариантного.
Действительно, имеем а,'Ь," = (ачар1а9) ((1; рр,Ь~ ) = (ачр~) (йр)1„") (аР9Ь)"). (Здесь а91р„— элементы матрицы перехода к новому базису в пространстве В, ир $" — элементы обратной матрицы, а суммирование ведется п о п а р а м индексов д, 1 И Р, Пг.) Мы показали, что кронекеровское произведение мат. риц при переходе к новому базису преобразуется как смешанный двухвалентный тензор, а значит, оно определяет л и н е й н ы й о п е р а т о р, действующий в пространстве В. Этот оператор, обозначаемый через зФ ХЯ, называется тензорным (или кронгквро в с к им) произведением операторов зФ и Я.
На базисные векторы пространства 19 он действует так: (зФ х Я) Ен = а1Ь,ЕР, — — а,Ь1ергч. Р9Р9 (Заметьте, что правая часть формально является произведением сумм агер =,р~е1 и Ь,'1, = Я)1). Итак, тензорное произведение линейных операторов не зависит от выбора базисов в пространствах )с1 и Ам По доказанному в конце 5 11 след кронекеровского произведения линейных операторов равен произведению следов сомножителей. !гл. хш ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ Докажем теперь тождество АВ Х СР = (А Х С) (В Х Р), (3) где А и  — любые матрицы порядка и, а С и Р— матрицы порядка лт.
Пусть в каких-то фиксированных базисах пространств )?1 и )?т элементы каждой из матриц обозначены теми же буквами латинского алфавита, что и сами матрицы, но не прописными, а строчными. Тогда (1, й)-й (т. е. стоящий на пересечении 1-й строки и й.го столбца) элемент матрицы А — это свертка а,'Ь», а (р, а)-й элемент матрицы СР равен сиде. Следовательно, элементы тензорного произведения АВХСР— это (а)Ь») (свдс) = (а,'с,") (Ь»де).
В правой части стоит свертка произведения матриц А Х С н В Х Р по паре индексов ), з, т. е. элементы обычного матричного произведения (А Х С)(В Х Р). Формула (3) доказана. $ 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп) Наша ближайшая задача состоит в следующем. Предположим, что группа 6 равна прямому произведению своих подгрупп А и В: 6 = А Х В. Спрашивается, как, зная все неприводимые представления групп А и В, найти все неприводимые представления их прямого произведения 6? Пусть Г" — какое-нибудь представление группы А и à †представлен группы В. Если д = аЬ, где а еи А, Ь ~  — произвольный элемент группы 6, то по определению, положим ') Г(й) = Г (а)ХГ (Ь).
Проверим, что так мы действительно получим п р едет а вл ение группы 6, т. е. что если д, = а|Ь1 и дв = а,Ьв — произвольные элементы группы 6 (где аь авеи внА, Ьь ЬтяВ), то Г(д1ут) =Г(у1)Г(дт). ') Читатель, пропусти»шва Ц 12 — 13, может считвть, что Г" (и) и Гв (Ь) — вто просто и в т р и ц ы соответствующих операторов. танзорнов произведении представлении заз З !41 Мы имеем Г" (а,а,) =Г" (а,)Г" (а,), так как Г"— представление группы А, и Г (Ь,Ь,) =Г (Ь,)Г (Ь,), поскольку Гв — представление группы В. Пользуясь определением оператора Г и тождеством (3) из предыдущего параграфа '), получаем Г(й,дз) = Г(а,Ь, а,Ь,) = Г(а,аа Ь,Ьа) = Г" (а,а,) х Г (Ь,Ь,) = [Г" (а,) Г" (а,)] х Х[Гв(Ь) Гв(Ьз)]= [Гл(а)ХГв(Ь!)] [ГА(а)ХГ (Ь)] = = Г(а,Ь,) Г(ааЬ ) = Г(д!) Г (дз), т.
е. à — действительно представление группы 6. Представление Г группы 6 называется г е н з о р н ы м произведением представлений Г" и Г и обозначается символом Г" хГ". Пусть, далее,)( — характер представления Г, у. А А В характер Г и Х вЂ” характер их тензорного произведе- в ния Г" хГи. Тогда, если а = аЬ, где а !и А, Ь !и В, то )((й) = х(аЬ) = (гГ(аЬ) = (г [Г" (а)ХГ (Ь)] = = (г Г" (а) (г Г (Ь), т. е.
Х(д) = ХА(а) Хв(Ь) Это — важная формула, выражающая характер представления прямого произведения групп через характеры представлений сомножителей. Пример. Мы знаем, что группа )т= А ХВ, где А =(е, а) и В =(е, Ь) — циклические группы второго порядка (см. стр. 297). Зная характеры представлений этих групп: х! Хз ! 1 *) Читателю, пропустившему йй !2 — 13, придется принять вту формулу без доказательства. !гл. хгп ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ мы можем составить таблицу характеров их прямого произведения — группы )т: !) е аь "'~! ! хз х, (! ! х." х. (( (разумеется, совпадаю!дую с найденной на стр. 327).
Те о р е м а 6. Пусть группа 6 равна прямому произведению А Х В. Если представления Г" группы А и Г группы В неприводимы, то и их тензорное произведение ГАХГ неприводимо *). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть Хл — характер представления Г, Х вЂ” характер представленияГ, й — порядок А В в группы А и ! — порядок группы В. Пусть, далее, а„ ах, ..., а„— все элементы группы А и Ьь Ьм ..., Ь,— все элементы группы В.
Тогда элементами группы А Х В = 6 будут всевозможные произведения а,Ьь где 1=1,2,...,Й,/=1,2,...,6 Пусть Х вЂ” характер тензорного произведения Г" Х Гв, Вычислим его скалярный квадрат: (Х Х)= = — '~Р~ Х (а 1 Ь;) Х (азЬ!) =,— '),'5'„Хл (а,) Х в (ЬВ Хл (а,) Хв (Ь.) ь = — ~ХА(ат)ХА(а1)' ! ~Хв(Ь.) Хв(Ь) (ХА ХА)(Хв Хв) 1=1 У=1 ') Пусть читатель ие удивляется, встретив в литературе и прямо противоположное утверждение. Дело в том, что, помимо определенного здесь тензорного произведения представлений двух р а з н ы х групп супхествует (несколько похожее на это) определение тензорно. го произведения двух яредставлеиий одной и той же группы (оно тоже аудет некоторым представлением этой группы).
Для этого, другого, тензорного произведения теорема, аналогичная теореме 6, неверна. з н1 тянзояноа пэоизвадаиие пгвдстлвлании зат Но (тл,тл) = 1 и (ув,тв) =1, так как оба представления Г" и Гв по условию, неприводимы. Следовательно, (Х, Х) = 1, и значит, представление Г"Х Гв неприводимо. Т е о р е м а 7, Каждое неприводимое представление группы 0 = А Х В изоморфно тензорному произведению некоторого неприводимого представления группы, А и некоторого неприводимого представления группы В. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Предположим, что число классов сопряженных элементов группы А равно р, а число классов группы  — равно д, и пусть Г~, Гз, ...,Гр— л л л все неприводимые неизоморфные между собой представ- в в в ления группы А, а Г,, Г,,..., Гч — все неприводимые попарно неизоморфные представления группы В. Тогда всевозможные теизорные произведенияГ, хГ, = Г„яв- А В ляются, по теореме б, неприводимыми представлениями группы 6.
Число таких представлений равно рд. Число классов сопряженных элементов группы б тоже равно рд (следствие из теоремы 10 5 10 главы Х). Значит, если мы докажем, что произведения Гкчп е и за мор ф н ы между собой, то это и будут в с е йеприводимые представления группы 6, чем наше утверждение и будет доказано. Вычислим скалярное произведение характеров двух таких представлений Г„, и Гко ! ~$ (Х.*,')(ь ) = аТ,„Х,. (а.Ьз) у.ьс(аА) = =,—,~~ Я(а~) ув(Ь,) тьл(амтв(Ь,) =- из ~~Рыл(а,.) ул(ад ~ ~~Р в(Ь,) вР,~ 1=1 у-~ — (.(А Ул) ( В ХВ) Так как либо Г„" не изоморфно Г~ь, либо Гв не нзо. морфно Г~~ (а, возможно, что имеет место и то, н дру.
гое), то по крайней мере одно из скалярных произведений в правой части равно О. Следовательно, (т„, уд,) = = О,— и представления Г„и Г„группы 0 не изоморфны между собой. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ 1гл. х!и 388 $15. Характеры группы симметрии куба Эта группа является прямым произведением группы О н циклической группы У второго порядка (см. $8 главы Х1). Она имеет 10 классов сопряженных элементов. В соответствии с разложением 48 24, 2 (1г+ 1г+ 2г+ За+ Зг)2 группа О, имеет 4 одномерных, 2 двумерных н 4 трехмерных представления. Характеры нх определяются следующей таблицей: е без Зсэ бс„без 1 8!са 3/с4 б/с4 б1са г Хг ! 1 ! !! 1! 1 1! 1! 1! 1! 1! 1 Хз !! 1 ! 1! 1! — 1! — 1! 1! 1! 1! — 1! — 1 (! 2 — 1! 2! О! О! 2 — 1! 2! О! О о — 1! 1! — 1! з 3 о о †1 ! †1 ! 1 ! з Ха ! 3 Хт 1 ! 1! 1! — 1! — 1! — 1! — 1! — 1! 1! 1 Хе ! 2 1 ! 2 ! О ! О ! 2 ! 1 ! 2 ! О ! О 3 о — 1! 1! — 1 з! о (! 3 ! о — 1! — 1! 1! — з! о 3 а д а ч а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
