Л.И. Головина - Линейная алгебра и некоторые её приложения (1113051), страница 31
Текст из файла (страница 31)
е. чтобы при всех х Ф О выполнялось неравенство (.Фх, х) = А (х, х) ) О. Методами математического анализа можно показать, что наименьшее из собственных значений Лг, Ля, ... ..., Л„самосопряженного оператора .иб равно минимуму, а наибольшее — максимуму квадратичной формы А(х, х) = (зйх, х) на «единичной сфере». х',+х,'+... ° ° +х'„=1. (Йля того чтобы доказать это, надо найти экстремумы функции Л,х', )- Л,х,, + ... + Л„х'„при услоВни Что Х»т + Хя + °, + Х« = 1 ) $ 6. Билинейный функционал в комплексном векторном пространстве Билинейный функционал в комплексном пространст.
ве иногда задают определением 1; однако чаще используется следующее 0 п р е д е л е н и е Г. Функция А (х, у) двух переменных, заданная в комплексном векторном пространстве )т, называется билинейным функционалом, если для всех х, у, г из )с и любого (комплексного) числа а А(х+у, г) = А(х, г) +А(у, г), А(ах, у) = аА(х, у), А(г, х+у) = А(г, х) +А(г, у), А(х, ау) = аА(х, у). (Б дальнейшем мы будем относить определение 1 только к вещественному пространству, понимая под билинейным функционалом в комплексном пространстве функцию, удовлетворяющую условиям определения 1'*).) ° ) В каучной и учебной литературе удовлетвориюшую перечисленным условиям функцию Л(», у) двух векторов комплексного линейного пространства чаше называют билинейной зрмнтозой, или лолуторолннейной, и говорят, что она является линейной по первому переменному » и онгнлкнейной по второму переменному у (или является линейной У-ао родо по переменному » и линейной 2-го рода по переменному у).
А(ы, однако, и здесь сохраним термин «билинейная форма» (или «билинейный функционал»), о 02 БилинеЙные и квАдРАтичные ФОРмы !Гл. 71 Легко видеть, что в комплексном векторном пространстве билинейный функционал в координатах представляется билинейной формой и А(х,у)= ~ а[»х[у», где ам=А(е[,е»). 1,»=1 В частности, скалярное произведение (х, у) представя ляется билинейной формой ~ умх[у» где дмии (е,е»); т,»=1 и в ортонормированном базисе (х, у) = ~ х;у[.
т=1 При переходе к новому базису с матрицей перехода С = [ст») билинейная форма А(х,у) = ~2~ а[»х[у» пре- 1,»=1 и образуется в ~2'.~ Ь,х,,уе, где Ь„е = А (ер, еД. Если С'— 1,»=1 матрица, транспонироваиная к С, а С вЂ” матрица, комплексно сопряженная к матрице С (все ее элементы являются комплексно-сопряженными к соответствующим элементам матрицы С), и В = [Ь„], то В = С'АС. Это можно показатм например, тзк: я обозначениях А 3 главы !!! Хот СХооо, Уот = Суиоо и А (»', Э) =Хо А Гот =- А„„= С'А„С. Билинейный функционал, а также соответствующая ему билинейная форма А(х, у) называются эрмитовымн, если А(х, у) = А(у, х) при всех х, уен)т.
В этом случае а„= А(еи в„) = А(е„, е,) = а„, при всех 1', й = 1, 2, ... ..., л, т. е. А = А*. Очевидно и обратное: если матрица А билинейной формы равна А*, т. е. если при всех 1, й а„= а„и то соответствующий билинейный функционал — эрмитов. Таким образом, для того чтобы билинейный функционал был эрлгитовым, необходимо и достаточно, чтобы лтатрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) была эрмиговой (ср. стр. 172). Пусть А(х, у) — эрмнтов билинейный функционал.
Г)оложив у = х, мы получим эрмитов квадратичный $61 ФункциОнАл В кОмплекснОм пРОстРАнствв 203 функционал (форму) А (х, х). В этом случае А (х, х) = = А(х, х) при всех хан )с, и значит, зрмитова квадратичная форма принимает только вещественные значения.
В комплексном векторном пространстве каждая зрмитова квадратичная форма А(х, х) в некотором базисе приводится к виду А(х, х) =51(х~!1+51(хх(1+...+$„)х„)1, (6) где все $, вещественны (это нетрудно доказать, видоизменив соответствующим образом доказательство теоремы 1, см, стр.
191), причем если зрмитова квадратичная форма в двух разных базисах приведена к виду (6), то число положительных и число отрицательных квадратое е обоих случаях одно и то же. Наконец, определение положительно определенной эрмитовой формы и критерий Сильвестра без труда переносятся на комплексный случай. Пусть теперь )т — (комплексное) евклидово пространство. Аналогично вещественному случаю (см. лемму на стр. 199), можно показать, что матрица перехода С от одного ортонормированного базиса к другому, тоже ортонормированному, у и и т а р и а Пусть еь е,, ..., е„— ортонормированный базис в й, и пусть А (х, у) — эрмитов билинейный функционал, который в этом базисе представляется билинейной формой в А(х, у) = ~ агах;уы 1,А=1 где ач = а„при всех 1, й.
Рассмотрим линейный оператор лг' с матрицей А', транспонированной по отношению к матрице А билинейной формы А(х, у). Так как эта форма эрмитова, то А* = А и оператор зР' — э р м и т о в, а следовательно, его матрица, в некотором, тоже ортонормированном, базисе е„г.„..., г„приводится к диагональному виду В 0 Х1...0 причем все Х,— вещественны (5 Э главы Ч). Если С— матрица перехода к новому базису, то В = С-'А'С ($4 го4 БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ ПЛ. Ю главы ()!). А так как матрица перехода С унитарна, то С '= Г, и значит, В = С'А С.
ААалее, так как матрица В диагональная, то она сов. падает со своей транспонированной: В'= В Но В' =. (СА'С) ' = С АС. Р ° У С другой стороны, при переходе к базису е„е„..., е„ матрица А билинейной формы А(х, у) тоже преобразуется в С'АС (см. стр, 202), и значит, в новом базисе она совпадает с матрицей В' = В, Следовательно, в базисе Ф Р е„е,,...,е„билинейная форма А(х, р) имеет вид А (х, у) = Лгх,р| + Лзхтрз + ... + Л„х„у., где Л< — собственные значения линейного оператора м", (а значит, и собственные значения оператора зв); соответствуюгцая квадратичная форма А (х, х) приведется при этом к сумме квадратов: А (х, х) =Л, ! х, !'+ Л, ! х, !'+... + Л„! х„~ '.
ГЛАВА ЧП ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ И ПОВЕРХНОСТЕН ВТОРОГО ПОРЯДКА В трех первых параграфах этой главы рассматривается вещественное двумерное пространство (плоскость) с обычной, евклидовой метрикой, а в последнем параграфе — трехмерное вещественное евклидово пространство. й 1. Приведение общего уравнения кривой второго порвдка к каноническому виду Установим на плоскости прямоугольную декартову систему координат и рассмотрим общее уравнение второй степени )(х, у) = апх'+2амхр+амут+2а|х+2агу+а = О. (1) Множество точек, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), называется линией (или кривой) оторого порядка.
Как известно, при некоторых частных значениях коэффициентов уравнение (1) будет уравнением ~хч I х' эллипса ( —,, + е = 1),гиперболы( —., — ьч — — 1)или параболы (ут = 2рх). Мы докажем, что уравнение (1) всегда является уравнением одной из этих кривых: эллипса, гиперболы илн параболы (не считая случаев вырождения — пары прямых, если левая часть уравнения распадается в произведение двух линейных множителей, точки или «пустого множестваз, вовсе не содержащего точек). Обозначим через е1 и ез единичные векторы, направленные по осям выбранной (прямоугольной) системы координат.
Группу старших членов а„х'+ 2амхУ+ ат,Ут (2) уравнения (1) можно рассматривать как квадратичную эоа кгивые и повавкности втогого погядкл ггл. ти форму от координат х, у вектора (х, у). Как было показано в $5 главы И, эта квадратичная форма в некото. ром (ортонормированном же) базисе е„, е, приводится к сумме квадратов Л гх" + Лзр', где Лг и Лз — собственные значения матрицы '4 [а а„~' (4) а е, и е, — соответствугощие им собственные векторы.
Пусть вектор е, получается из вектора е, поворотом на угол ф против часовой стрелки. Так как вектор ее ортогоиален ег, а е, ортогонален е„ то вектор е, получается из вектора ез либо поворотом на угол гр, либо поворотом на угол ф и симметрией относительно начала координат. Во втором случае заменим его иа вектор е, = — е, который тоже будет собственным вектором матрипы (4) с тем же собственным значением Лег если „~~с, = Л,е,, то Ф~ Ф Р Фее =,Ф ( — ек) = — с~е~ = — Лее, = Л,е,. Ф Таким образом, можно считать, что новый базис е, е, получается из старого поворотом на некоторый угол ф против часовой стрелки, т. е. что е, = соз гр е, + зги гр.
е„ 1 е,= — згпгр е,+созф е,, (5) д = згпф ° х'+ созф р'. Подставив значения (5) в уравнение (1), мы приведем это уравнение к виду Лгх'~ + Леу'~ + 2Ь!х' + 2Ьзу' + Ь = О, (5) где Ьь Ьм.Ь вЂ” некоторые новые коэфф~гггиеггты. 3та операция называется отнесением линии к главным осям— Но в таком случае старые координаты х, у (вектора, а значит, и соответствующей точки) и новые координаты х', д' связаны соотношениями х = созф ° х' — з!игр ° у', 40 пвнввдениа к кхноническомэ видх 207 из дальнейшего будет видно, что если линия (1) представляет собой эллипс или гиперболу, то новые оси координат параллельны главным осям кривой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
